圆柱和圆锥-----等积变形问题类型分析及解答策略.doc

《圆柱和圆锥》------“等积变形”问题类型分析及解答策略 金台区宝平路小学 杨卫莉

在《圆柱和圆锥》这个单元的学习内容中，“等积变形”问题是圆柱和圆锥体积公式应用的重头戏。而对于学生来说，无疑是一个重点中的难点。
“等积变形”即体积相等，形状改变。如何利用不变的体积来解决未知的问题，是解决“等积变形”问题的关键所在。
类型一： 最后一步必须是V除以（ ）
如“一个圆锥形麦堆，底面周长是25.12米，高3米。把这些小麦装入底面直径是4米的圆柱形粮囤中，正好装满。这个粮囤的高是多少？先根据圆锥的底面周长除以2∏算出底面半径，再根据圆锥的体积公式V=∏r2h算出圆锥的体积----小麦的体积，小麦的体积没变----“等积”；小麦“变形”------变成了圆柱形，即已知圆柱的体积和底面直径，求圆柱的高：先利用圆柱的底面直径除以2，算出底面半径，再利用底面积公式S=∏r2算出底面积，求圆柱的高h=V÷S,从而解决粮囤的高。
类型二： 最后必须是3V除以（ ）
如“有一段钢材可做底面直径8cm，高9cm的圆柱形零件，如果把它改制成高12cm的圆锥形零件，零件的底面积是多少平方厘米?
先根据圆柱的底面直径除以2算出底面半径，再根据圆柱的体积公式V=∏r2h算出圆柱的体积----钢材的体积，钢材的体积没变----“等积”；钢材“变形”------变成了圆锥形，即已知圆锥的体积和高，求圆锥的底面积：根据圆锥的底面积S=3V÷h,从而求出圆锥形零件的底面积。

类型三：

如“一个圆锥形沙堆，底面周长是12.56米，高是1.5米，把这堆沙铺在长5米，宽3米的沙坑里，这堆沙能铺多少厘米厚？
先根据圆锥的底面周长除以2∏算出底面半径，再根据圆锥的体积公式V=∏r2h算出圆锥的体积----沙子的体积，沙子的体积没变----“等积”；沙子“变形”------变成了长方体；即已知长方体的体积、长和宽，求长方体的高，根据h=V÷a÷b，求出长方体的高----沙子的厚度，同时注意米与厘米的单位换算问题。
如果是圆柱形变形成长方体时，只需根据题目的已知条件算出圆柱的体积-----长方体的体积，再根据长方体的已知条件，可以计算a= V÷b÷h 或 b= V÷a÷h或h=V÷a÷b。

类型四：

如“一辆货车箱是一个长方体，它的长是4米，宽是1.5米，高是4米，装满一车沙，卸后沙堆成高是5dm的圆锥形，它的底面积是多少平方米？
先根据已知长方体的长、宽、高，利用V=abh算出长方体的体积即沙子的体积--------不变 --------“等积”，沙子“变形”------圆锥形，利用圆锥已知的体积和高（分米换算成米）求底面积的公式S=3V÷h,求出圆锥的底面积。如果是长方体变形成圆柱形时，只需根据题目的已知条件算出长方体的体积-----圆柱的体积，再根据题目的已知条件，可以计算或 s= V÷h或h= V÷s。
从以上的四个类型的变形问题来看，关键的问题是变形前求体积的问题，和变形后如何利用不变的体积来解决题目的问题，相对来说，变形后如何利用不变的体积来解决题目的问题是学生不容易掌握的，从类型二和四的分析过程，我们不难看出，最后变形为圆锥体时，最后必须是3V除以已知量求出未知量；最后变形为圆柱体时，最后必须是V除以已知量求出未知量。