高聚物粘弹性力学模型的几个问题.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,高聚物粘弹性力学模型中值得探讨的几个问题,杨海洋,1,1,、,描述各向同性胡克弹性体的力学行为需要两个独立的力学常数，描述不可压缩牛顿流体的力学行为需要一个力学常数。高聚物在通常温度和通常的外力作用时间下就表现出明显的粘弹性，可以简单地认为是胡克弹性体和牛顿流体的线性组合，那么在高聚物粘弹性力学模型中描述高分子材料的力学行为所需要的力学常数为什么不是三个而是两个？,2,、,广义胡克定律只有在无限小应变条件下才是严格成立的。高聚物所涉及的形变如橡胶的高弹形变都不是无限小应变，为什么依旧可以用胡克弹性体和牛顿流体的线性组合来描述高聚物的力学行为？,3,、,高聚物流变性同样可以用粘弹性力学模型来描述，那么如何从胡克弹性体和牛顿流体的线性组合来解释在简单剪切条件下高聚物流体所表现出的异常力学行为,?,2,1.0,、,求和指标（哑指标）和自由指标（数学准备）,x,1,x,2,x,3,a,1,a,2,a,3,表示求和指标可以相互被置换,求和指标：,3,自由指标,：,小结：,自由指标在同一项中只出现一次，可任意取值；,求和指标在同一项中出现两次，可以被另一表示求和指标置换。,4,克罗内克尔符号（,Kronecker delta,）,5,1.1,、,描述各向同性条件下胡克弹性体力学行为所需要的,材料力学常数,（,初中物理教材,）,胡克定律,：,F,=,kx,k,：,弹簧的弹性系数,（,大学力学教材,）,广义,胡克定律,：,各向同性,其中：,第一拉梅（,Lame,）常数；,G,第二拉梅常数（剪切模量）,6,当,i,j,时，,12,2,G,e,12,23,2,G,e,23,31,2,G,e,31,G,：材料抗剪切应变能力大小,在简单剪切条件下，,23,=,31,=0,，,12,2Ge,12,=G,x,1,x,2,x,3,7,当,i,=,j,时，,kk,(3,+2G)e,kk,3,k,e,kk,=,3,k,V/V,k,：,抗体积变化能力的大小，称之为本体模量,11,22,33,P,：,其中,P,为静水压,V/V,P,/,k,在静水压条件下,8,kk,(3,+2G)e,kk,对广义胡克定律的展开形式求逆可以引伸出另外两个力,学常数,9,如果在,1,方向对材料进行单向拉伸（,22,=,33,=,0,）,杨氏模量,E,反映了材料抗拉伸能力的大小,-,e,22,/,e,11,=-,e,33,/,e,11,=,泊松比,反映了拉伸过程中材料的横向收缩与纵向伸长的比值,10,因为找不到一种简单的实验方法让第一拉梅常数,在某个方程里单独出现，因此其物理或几何意义都不明确，在实际过程中很少使用。,11,K,G,E,12,讨论：当,0.5,时，,E,=3,G,；,K,、,趋于无穷大,13,1.2,、描述不可压缩牛顿流体力学行为所需要的材料力学,常数,G,K,E,G,K,E,牛顿流体满足本构方程：,14,对牛顿流体来说不可压缩条件经常得到满足，相当于：,K,G,E,0.5,无穷 无穷,E,/,3,3,G,t,定义为剪切粘度，,t,定义为拉伸粘度，对不可压缩的牛顿流体来说，,t,3,15,小结：,、,描述各向同性胡克弹性体的力学行为需要两个独立的 力学常数,；,、,如果泊松比等于,0.5,，,则描述各向同性胡克弹性体的力学行为只需要一个力学常数，或者是剪切模量，或者是杨氏模量，其中杨氏模量是剪切模量的,3,倍,；,、,描述各向同性并且是不可压缩牛顿流体的力学行为只需要一个力学常数，或者是剪切粘度，或者是拉伸粘度，其中拉伸粘度是剪切粘度的,3,倍,。,16,1.3,、,高聚物粘弹性的力学模型被忽视的一个重要假定,麦克斯韦（,Maxwell,）模型,沃伊特（,Voigt,）模型或开尔文（,Kelvin,）模型,更加复杂的力学模型,高聚物在通常温度和通常的外力作用时间下就表现出明显的粘弹性，可以简单地认为是胡克弹性体和牛顿流体的线性组合。,17,单向拉伸时的麦克斯韦模型,E,t,11,e,11,总,=,e,11,弹,+,e,11,粘,18,由此得到单向拉伸时麦克斯韦运动方程：,应力弛豫条件下，,de,11,/,dt,=0,其中,=,t,/,E,，定义为单向拉伸时高聚物弛豫时间,19,纯剪切时的麦克斯韦模型,G,12,12,e,12,总,=,e,12,弹,+,e,12,粘,12,12,弹,12,粘,20,由此得到纯剪切时麦克斯韦运动方程：,应力弛豫条件下，,de,12,/,dt,=0,其中,=,/,G,，定义为纯剪切时高聚物弛豫时间,21,如果把单向拉伸和纯剪切时的弛豫时间,和,加以比较会发现，对,Maxwell,模型来说，在不同实验条件下（单向拉伸和纯剪切）得到的各向同性材料的弛豫时间竟然会不同，这是完全不能理解的。弛豫时间反映的是材料粘弹性质的一个本征量，应该和实验方法（单向拉伸或纯剪切）无关。如果令,泊松比等于,0.5,，则,弛豫时间,和,恰好相等。,=,t,/,E,=,/,G,0.5,22,结论,在高聚物粘弹性力学模型中必须引入泊松比等于,0.5,的假定。如果引入该假定，则得到的弛豫时间是个本征量，与实验方法无关，因此通过对,Maxwell,模型进行单向拉伸就可以完整描述高聚物的粘弹性质。,23,2,、,广义胡克定律只有在无限小应变条件下才是严格成立的。高聚物所涉及的形变如橡胶的高弹形变都不是无限小应变，为什么依旧可以用胡克弹性体和牛顿流体的线性组合来描述高聚物的力学行为？,24,2.1,、,应变的两种不同描述方法,P,Q,P,Q,i,a,1,a,2,a,3,x,1,x,2,x,3,d,i,欧拉描述法：,拉格朗日描述法：,无限小应变时,25,在无限小应变条件下，广义胡克定律可以写成：,在讨论高聚物如橡胶的变形时习惯用形变量与变形以前的情况相比，所以在此用拉格朗日应变张量来描述物体的变形将更加方便。,26,2.2,、,无限小应变条件下广义胡克定律的展开形式,在各向同性条件下，广义胡克定律可以写成：,缩并,27,其中：,引入泊松比等于,0.5,假定,28,将应力和应变张量对角化并将方程展开，得到：,该方程组为无限小应变时广义胡克定律的展开形式,29,2.3,、,高聚物平衡态高弹形变时的应力,应变关系,假定高分子链符合高斯链统计模型，则一端固定在坐标原点，另一端出现在坐标（,a,1,a,2,a,3,）的总的几率为：,30,假设变形满足仿射形变假定，则单位长度自由体如图变形为边长为,1,2,3,的长方体，则交联链的末端坐标将相应地变成（,1,a,1,2,a,2,3,a,3,）,(,a,1,a,2,a,3,),(,x,1,x,2,x,3,),1,1,1,1,2,3,31,如果用,N,i,表示单位体积内交联链的数目，则单位体积试样在形变前后总的熵变应该为个分子链熵变的加和，,等温等容过程中：,32,33,34,单向拉伸时，,22,=,33,=,0,，令,1,，则,2,3,1/,1/2,E=3G,35,通过讨论单向拉伸时应力,应变关系，可以证明储能函数中引入的参数,G(=N,1,kT),就是剪切模量，将剪切模量和杨氏模量关系代入得到：,36,由此得到平衡态高弹形变时的应力,应变关系：,无限小应变时胡克弹性体的应力,应变关系：,新胡克弹性体,37,小结：,、如果泊松比等于,0.5,，那么只需要将应变张量的分量重新定义，那么在大变形时广义胡克定律依然成立，因此依旧可以用胡克弹性体和牛顿流体的线性组合来描述高聚物的力学行为。,、通过将讨论平衡态高弹形变时引入的拉伸比置换成应变分量，将有助于利用连续介质力学的知识来理解高聚物的流变行为，如简单剪切过程中法向应力的起源。,38,3,、,高聚物流变性同样可以用粘弹性力学模型来描述，那么如何从胡克弹性体和牛顿流体的线性组合来解释在简单剪切条件下高聚物流体所表现出的异常力学行为,?,39,3.1,、,简单剪切流场中高聚物流体的力学行为,11,22,33,问题：,1.,法向应力如何形成？与静水压有什么不同？,2.,11,+,22,+,33,=0?,3.,法向应力的严格定义是什么？,F,F,40,3.2,、,大变形时简单剪切条件下应变分量和应力分量的计算,a,3,a,1,a,2,1,根据定义,41,由此得到,大变形时,简单剪切条件下拉格朗日应变张量：,42,根据大变形时广义胡克定律，得到：,43,由此简单剪切条件下一点的应力状态可以写成：,11,+,22,+,33,0,44,由此得到简单剪切条件下的应力球张量。应力球张量与应变过程中物体体积变化相关。,假定泊松比等于,0.5,，即变形过程中体积不变，则应力球张量与应变无关。,45,利用应力张量减去应力球张量立即可以得到简单剪切条件下的应力偏斜张量。应力偏斜张量与应变过程中物体形状的变化相关。,讨论：,1,。,22,0,，说明在简单剪切条件下高聚物流体将在,2,方向伸长；,11,和,22,0,，说明高聚物流体将在,1,方向和,3,方向收缩；,2,。如果在平面上施加外力阻止,2,方向伸长，则在,3,方向,高聚物流体会产生突起；,3,。,11,22,33,0,，说明法向应力指的是,应力偏斜张量所对应的正应力，它的大小反映了高聚物流体弹性的强弱。,46,结论：,各向同性和泊松比等于,0.5,是高聚物粘弹性力学模型中最重要的两个假定，由此可以得到理想条件下高聚物的力学行为，它在研究实际高聚物力学性质中所起的作用与理想气体和理想溶液在研究实际气体和液体性质时所起的作用是完全一致的。,47,谢谢大家！,48,