第70直线与圆的位置关系.doc

70课时 直线与圆的位置关系，圆与圆的位置关系
一.【三维目标】
1.知识与技能：复习直线与圆的位置关系，圆与圆的位置关系
2.过程与方法：探究合作式学习
3.情感态度价值观：培养学生合作探究的能力.
二【.重难点】：
1.重点：直线与圆的位置关系，圆与圆的位置关系
2.难点：直线与圆的位置关系，圆与圆的位置关系的综合运用
三．【小测试】：
1.在求圆的方程和最值过程中，我们经常关注或用到的知识点有哪些？

四．【问题导学】：
1.直线与圆的位置关系有哪些？你有哪些方法判断直线和圆的位置关系？

2.圆与圆的位置关系有哪些？你有哪些方法判断圆和圆的位置关系？

五．【例题探究】：
题型一：直线与圆的位置关系
例1.若曲线C1：x2＋y2－2x＝0与曲线C2：y(y－mx－m)＝0有四个不同的交点，则实数m的取值范围是(　　)
A. B.∪
C. D.∪

例2.如图，在平面直角坐标系xOy中，点A(0，3)，直线l：y＝2x－4.设圆C的半径为1，圆心在l上．
(1)若圆心C也在直线y＝x－1上，过点A作圆C的切线，求切线的方程；
(2)若圆C上存在点M，使|MA|＝2|MO|，求圆心C的横坐标a的取值范围．

题型二：圆与圆的位置关系
例1.已知圆C1：(x－a)2＋(y＋2)2＝4与圆C2：(x＋b)2＋(y＋2)2＝1相外切，则ab的最大值为 (　　)
A. B. C. D．2
例2.过两圆x2＋y2＋4x＋y＝－1，x2＋y2＋2x＋2y＋1＝0的交点的圆中面积最小的圆的方程为________．

六．【作业】：
1.已知点M(a，b)在圆O：x2＋y2＝1外，则直线ax＋by＝1与圆O的位置关系是(　　)
A．相切 B．相交 C．相离 D．不确定
2.直线y＝－x＋m与圆x2＋y2＝1在第一象限内有两个不同的交点，则m的取值范围是(　　)
A．(，2) B．(，3) C. D.
3.“a＝3”是“直线y＝x＋4与圆(x－a)2＋(y－3)2＝8相切”的(　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
4.若直线ax＋by＝1与圆x2＋y2＝1相交，则P(a，b) (　　)
A．在圆上 B．在圆外 C．在圆内 D．以上都有可能
5．圆x2＋y2－4x＝0在点P(1，)处的切线方程为 (　　)
A．x＋y－2＝0 B．x＋y－4＝0 C．x－y＋4＝0 D．x－y＋2＝0
6．若直线y＝kx与圆(x－2)2＋y2＝1的两个交点关于直线2x＋y＋b＝0对称，则k，b的值分别为 (　　)
A．k＝，b＝－4 B．k＝－，b＝4 C．k＝，b＝4 D．k＝－，b＝－4
7.在平面直角坐标系中，A，B分别是x轴和y轴上的动点，若以AB为直径的圆

C与直线2x＋y－4＝0相切，则圆C面积的最小值为(　　)
A.π B.π C．(6－2)π D.π

8.圆(x－3)2＋(y－3)2＝9上到直线3x＋4y－11＝0的距离等于1的点有(　　)
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
9.圆(x＋2)2＋y2＝4与圆(x－2)2＋(y－1)2＝9的位置关系为(　　)
A．内切 B．相交 C．外切 D．相离
10.若圆C1：x2＋y2＝1与圆C2：x2＋y2－6x－8y＋m＝0外切，则m＝(　　)
A．21 B．19 C．9 D．－11
11.已知圆O1：(x－a)2＋(y－b)2＝4，O2：(x－a－1)2＋(y－b－2)2＝1(a，b∈R)，则两圆的位置关系是 (　　)
A．内含 B．内切 C．相交 D．外切
12.已知直线ax＋y－2＝0与圆心为C的圆(x－1)2＋(y－a)2＝4相交于A，B两点，且△ABC为等边三角形，则实数a＝________．
13.设点M(x0，1)，若在圆O：x2＋y2＝1上存在点N，使得∠OMN＝45°，则x0的取值范围是________．
14.已知圆C1：x2＋y2－2mx＋4y＋m2－5＝0与圆C2：x2＋y2＋2x－2my＋m2－3＝0，若圆C1与圆C2相外切，则实数m＝________．
15.两圆x2＋y2－6x＋6y－48＝0与x2＋y2＋4x－8y－44＝0公切线的条数是________．

70课时 直线与圆的位置关系，圆与圆的位置关系
一.【三维目标】
1.知识与技能：复习直线与圆的位置关系，圆与圆的位置关系
2.过程与方法：探究合作式学习
3.情感态度价值观：培养学生合作探究的能力.
二【.重难点】：
1.重点：直线与圆的位置关系，圆与圆的位置关系
2.难点：直线与圆的位置关系，圆与圆的位置关系的综合运用
三．【小测试】：
1.在求圆的方程和最值过程中，我们经常关注或用到的知识点有哪些？

四．【问题导学】：
1.直线与圆的位置关系有哪些？你有哪些方法判断直线和圆的位置关系？
1．直线与圆的位置关系
设圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2，直线l：Ax＋By＋C＝0，圆心C(a，b)到直线l的距离为d，由
消去y(或x)，得到关于x(或y)的一元二次方程，其判别式为Δ.
位置关系　　　
方法
几何法　　　
代数法
相交
d<r
Δ>0
相切
d＝r
Δ＝0
相离
d>r
Δ<0

2.圆与圆的位置关系有哪些？你有哪些方法判断圆和圆的位置关系？
2.圆与圆的位置关系
设两个圆的半径分别为R，r，R＞r，圆心距为d，则两圆的位置关系可用下表来表示：
位置关系
外离
外切
相交
内切
内含
几何特征
d＞R＋r
d＝R＋r
R－r＜d＜R＋r
d＝R－r
d＜R－r
代数特征
无实
数解
一组实数解
两组
实数解
一组实数解
无实数解
公切线条数
4
3
2
1
0

五．【例题探究】：
题型一：直线与圆的位置关系
例1.若曲线C1：x2＋y2－2x＝0与曲线C2：y(y－mx－m)＝0有四个不同的交点，则实数m的取值范围是(　　)
A. B.∪
C. D.∪
解析　 (2)整理曲线C1的方程得，(x－1)2＋y2＝1，知曲线C1为以点C1(1，0)为圆心，以1为半径的圆；曲线C2则表示两条直线，即x轴与直线l：y＝m(x＋1)，显然x轴与圆C1有两个交点，依题意知直线l与圆相交，故有圆心C1到直线l的距离d＝＜r＝1，解得m∈，又当m＝0时，直线l与x轴重合，此时只有两个交点，应舍去．故选B.

例2.如图，在平面直角坐标系xOy中，点A(0，3)，直线l：y＝2x－4.设圆C的半径为1，圆心在l上．
(1)若圆心C也在直线y＝x－1上，过点A作圆C的切线，求切线的方程；
(2)若圆C上存在点M，使|MA|＝2|MO|，求圆心C的横坐标a的取值范围．
解　(1)由题设，圆心C是直线y＝2x－4和y＝x－1的交点，解得点C(3，2)，于是切线的斜率必存在．
设过A(0，3)的圆C的切线方程为y＝kx＋3，
由题意，得＝1，解得k＝0或－，
故所求切线方程为y＝3或3x＋4y－12＝0.
(2)因为圆心在直线y＝2x－4上，
所以圆C的方程为(x－a)2＋[y－2(a－2)]2＝1.
设点M(x，y)，因为|MA|＝2|MO|，
所以＝2 ，
化简得x2＋y2＋2y－3＝0，即x2＋(y＋1)2＝4，
所以点M在以D(0，－1)为圆心，2为半径的圆上．
由题意，点M(x，y)在圆C上，所以圆C与圆D有公共点，则|2－1|≤|CD|≤2＋1，
即1≤≤3.整理得－8≤5a2－12a≤0.
由5a2－12a＋8≥0，得a∈R；由5a2－12a≤0，得0≤a≤.
所以点C的横坐标a的取值范围是.
题型二：圆与圆的位置关系
例1.已知圆C1：(x－a)2＋(y＋2)2＝4与圆C2：(x＋b)2＋(y＋2)2＝1相外切，则ab的最大值为 (　　)
A. B. C. D．2
解析　由两圆相外切可得圆心(a，－2)，(－b，－2)之间的距离等于两圆半径之和，即(a＋b)2＝9＝a2＋b2＋2ab≥4ab，所以ab≤，即ab的最大值是(当且仅当a＝b时取等号)，故选C.
答案　C
例2.过两圆x2＋y2＋4x＋y＝－1，x2＋y2＋2x＋2y＋1＝0的交点的圆中面积最小的圆的方程为________．
(2)由
①－②得2x－y＝0，代入①得x＝－或－1，
∴两圆两个交点为，(－1，－2)．
过两交点圆中，以，(－1，－2)为端点的线段为直径的圆时，面积最小．
∴该圆圆心为，半径为
＝，
圆方程为＋＝.
答案　(1)B　(2)＋＝
规律方法　判断两圆的位置关系时常用几何法，即利用两圆圆心之间的距离与两圆半径之间的关系，一般不采用代数法．若两圆相交，则两圆公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差消去x2，y2项得到．
六．【作业】：
1.已知点M(a，b)在圆O：x2＋y2＝1外，则直线ax＋by＝1与圆O的位置关系是(　　)
A．相切 B．相交 C．相离 D．不确定
解：(1)因为M(a，b)在圆O：x2＋y2＝1外，所以a2＋b2＞1，而圆心O到直线ax＋by＝1的距离d＝＝＜1，故直线与圆O相交．
规律方法　(1)判断直线与圆的位置关系时，若两方程已知或圆心到直线的距离易表达，则用几何法；若方程中含有参数，或圆心到直线的距离的表达较繁琐，则用代数法
2.直线y＝－x＋m与圆x2＋y2＝1在第一象限内有两个不同的交点，则m的取值范围是(　　)
A．(，2) B．(，3) C. D.
解：(2)当直线经过点(0，1)时，直线与圆有两个不同的交点，此时m＝1；当直线与圆相切时有圆心到直线的距离d＝＝1，解得m＝(切点在第一象限)，所以要使直线与圆在第一象限内有两个不同的交点，则1＜m＜.
规律方法(2)已知直线与圆的位置关系求参数的取值范围时，可根据数形结合思想利用直线与圆的位置关系的判断条件建立不等式解决．
3.“a＝3”是“直线y＝x＋4与圆(x－a)2＋(y－3)2＝8相切”的(　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
解：(1)若直线y＝x＋4与圆(x－a)2＋(y－3)2＝8相切，则有＝2，即|a＋1|＝4，所以a＝3或－5.但当a＝3时，直线y＝x＋4与圆(x－a)2＋(y－3)2＝8一定相切，故“a＝3”是“直线y＝x＋4与圆(x－a)2＋(y－3)2＝8相切”的充分不必要条件．
4.若直线ax＋by＝1与圆x2＋y2＝1相交，则P(a，b) (　　)
A．在圆上 B．在圆外 C．在圆内 D．以上都有可能
解析　由<1，得>1，∴点P在圆外．
答案　B
5．圆x2＋y2－4x＝0在点P(1，)处的切线方程为 (　　)
A．x＋y－2＝0 B．x＋y－4＝0
C．x－y＋4＝0 D．x－y＋2＝0
解析　易知圆心C坐标为(2，0)，则kCP＝＝－，
所以所求切线的斜率为.故切线方程为
y－＝(x－1)，即x－y＋2＝0.
答案　D
6．若直线y＝kx与圆(x－2)2＋y2＝1的两个交点关于直线2x＋y＋b＝0对称，则k，b的值分别为 (　　)
A．k＝，b＝－4 B．k＝－，b＝4 C．k＝，b＝4 D．k＝－，b＝－4
解析　因为直线y＝kx与圆(x－2)2＋y2＝1的两个交点关于直线2x＋y＋b＝0对称，则y＝kx与直线2x＋y＋b＝0垂直，且2x＋y＋b＝0过圆心，所以解得k＝，b＝－4.
答案　A
7.在平面直角坐标系中，A，B分别是x轴和y轴上的动点，若以AB为直径的圆C与直线2x＋y－4＝0相切，则圆C面积的最小值为(　　)
A.π B.π C．(6－2)π D.π
解析　由题意得以AB为直径的圆C过原点O，圆心C为AB的中点，设D为切点，要使圆C的面积最小，只需圆的半径最短，也只需OC＋CD最小，其最小值为OE(过原点O作直线2x＋y－4＝0的垂线，垂足为E)的长度(如图)．由点到直线的距离公式得|OE|＝.所以圆C面积的最小值为π＝π.故选A.
答案　A
8.圆(x－3)2＋(y－3)2＝9上到直线3x＋4y－11＝0的距离等于1的点有(　　)
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
解析　因为圆心到直线的距离为＝2，
又因为圆的半径为3，所以直线与圆相交，由数形结合知，
圆上到直线的距离为1的点有3个．

答案　C
9.圆(x＋2)2＋y2＝4与圆(x－2)2＋(y－1)2＝9的位置关系为(　　)
A．内切 B．相交 C．外切 D．相离
解析　(1)两圆圆心分别为(－2，0)和(2，1)，半径分别为2和3，
圆心距d＝＝.
∵3－2<d<3＋2，∴两圆相交．
3．(2014·湖南卷)若圆C1：x2＋y2＝1与圆C2：x2＋y2－6x－8y＋m＝0外切，则m＝(　　)
A．21 B．19 C．9 D．－11
解析　圆C1的圆心C1(0，0)，半径r1＝1，圆C2的方程可化为(x－3)2＋(y－4)2＝25－m，所以圆心C2(3，4)，半径r2＝，从而|C1C2|＝＝5.由两圆外切得|C1C2|＝r1＋r2，即1＋＝5，解得m＝9，故选C.
答案　C
10.已知圆O1：(x－a)2＋(y－b)2＝4，O2：(x－a－1)2＋(y－b－2)2＝1(a，b∈R)，则两圆的位置关系是 (　　)
A．内含 B．内切 C．相交 D．外切
解析　由O1：(x－a)2＋(y－b)2＝4得圆心坐标为(a，b)，半径为2；由O2：(x－a－1)2＋(y－b－2)2＝1得圆心坐标为(a＋1，b＋2)，半径为1，所以两圆圆心之间的距离为|O1O2|＝＝，因为|2－1|＝1＜＜2＋1＝3，所以两圆相交，故选C.
答案　C
11.已知直线ax＋y－2＝0与圆心为C的圆(x－1)2＋(y－a)2＝4相交于A，B两点，且△ABC为等边三角形，则实数a＝________．
解析　依题意，圆C的半径是2，圆心C(1，a)到直线ax＋y－2＝0的距离等于×2＝，于是有＝，即a2－8a＋1＝0，解得a＝4±.
答案　4±
12.设点M(x0，1)，若在圆O：x2＋y2＝1上存在点N，使得∠OMN＝45°，则x0的取值范围是________．
解析　法一　当x0＝0时，M(0，1)，由圆的几何性质得在圆上存在点
N(－1，0)或N(1，0)，使∠OMN＝45°.当x0≠0时，过M作圆的两条切线，切点为A、B.
若在圆上存在N，使得∠OMN＝45°，
应有∠OMB≥∠OMN＝45°，∴∠AMB≥90°，
∴－1≤x0＜0或0＜x0≤1.综上，－1≤x0≤1.
法二　过O作OP⊥MN，P为垂足，OP＝OM·sin 45°≤1，
∴OM≤，∴OM2≤2，∴x＋1≤2，∴x≤1，∴－1≤x0≤1.
答案　[－1，1]
13.已知圆C1：x2＋y2－2mx＋4y＋m2－5＝0与圆C2：x2＋y2＋2x－2my＋m2－3＝0，若圆C1与圆C2相外切，则实数m＝________．
解析　(1)圆C1和圆C2的标准方程为(x－m)2＋(y＋2)2＝9，(x＋1)2＋(y－m)2＝4，圆心分别为C1(m，－2)，C2(－1，m)，半径分别为3，2.当两圆外切时，＝5，解得m＝2或m＝－5.
14.两圆x2＋y2－6x＋6y－48＝0与x2＋y2＋4x－8y－44＝0公切线的条数是________．
解：(2)两圆圆心距－＜d＝<＋，
∴两圆相交，故有2条公切线．