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一、选择题(本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.)
1.已知全集U为R,集合A={x|x2<16},B={x|y=log3(x-4)},则下列关系正确的是( )
A.A∪B=R B.A∪(∁UB)=R
C.(∁UA)∪B=R D.A∩(∁UB)=A
解析 因为A={x|-4<x<4},B={x|x>4},所以∁UB={x|x≤4},所以A∩(∁UB)=A,故选D.
答案 D
2.已知复数z=为纯虚数,其中i为虚数单位,则实数x的值为( )
A.- B.
C.-3 D.
解析 z===,因为复数z=为纯虚数,所以即x=-,故选A.
答案 A
3.设平面α与平面β相交于直线m,直线a在平面α内,直线b在平面β内,且b⊥m,则“a⊥b”是“α⊥β”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
解析 因为α⊥β,b⊥m,所以b⊥α,又直线a在平面α内,所以a⊥b;但直线a,m不一定相交,所以“a⊥b”是“α⊥β”的必要不充分条件,故选B.
答案 B
4.已知a=4,b=log,c=log3,则( )
A.a>b>c B.b>c>a
C.c>b>a D.b>a>c
解析 因为a=4>1,0<b=log=log43<1,c=log3<0,所以a>b>c,故选A.
答案 A
5.已知a,b,c是锐角△ABC中A、B、C的对边,若a=4,c=6,△ABC的面积为6,则b为 ( )
A.13 B.8
C.2 D.2
解析 因为S=acsin B=×4×6×sin B=6,所以sin B=,且△ABC为锐角三角形,所以B=,所以b2=16+36-2×4×6×cos =28,故b=2,故选C.
答案 C
6.已知函数f(x)=sin x-cos x,且f′(x)=f(x),则tan 2x的值是( )
A.- B.-
C.- D.
解析 因为f′(x)=cos x+sin x=sin x-cos x,所以tan x=-3,所以tan 2x===,故选D.
答案 D
7.运行如图所示的算法框图,则输出的结果S为( )
A.-1 B.0
C. D.-
解析 由程序框图知,
n=1,S=;n=2,S=0;n=3,S=-1;
n=4,S=-;n=5,S=-1;n=6,S=0;
n=7,S=;n=8,S=0;n=9,S=-1.
故以6为周期循环,而2 016=335×6+6,所以S=0,故选B.
答案 B
8.将标号为1,2,3,4的四个篮球分给三位小朋友,每位小朋友至少分到一个篮球,且标号1、2的两个篮球不能分给同一个小朋友,则不同的分法种数为( )
A.15 B.20
C.30 D.42
解析 四个篮球两个分到一组有C种,3个篮球进行全排列有A种,标号1、2的两个篮球分给一个小朋友有A种,所以有CA-A=36-6=30,故选C.
答案 C
9.若某几何体的三视图(单位:cm)如图所示,则此几何体的体积是( )
A.36 cm3 B.48 cm3
C.60 cm3 D.72 cm3
解析 由三视图可知,上面是个长为4,宽为2,高为2的长方体,下面是一个放倒的四棱柱,高为4,底面是个梯形,上、下底分别为2,6,高为2.所以长方体的体积为4×2×2=16,四棱柱的体积为4××2=32,所以该几何体的体积为32+16=48,选B.
答案 B
10.已知x,y满足约束条件目标函数z=6x+2y的最小值是10,则z的最大值是( )
A.20 B.22
C.24 D.26
解析 由解得代入直线-2x+y+c=0得c=5,即直线方程为-2x+y+5=0,平移直线3x+y=0,由得
即D(3,1),
当直线经过点D时,直线的纵截距最大,此时z取最大值,代入直线z=6x+2y得z=6×3+2=20,故选A.
答案 A
11.等差数列{an}中的a4,a2 016是函数f(x)=x3-6x2+4x-1的极值点,
则loga1 010=( )
A. B.2
C.-2 D.-
解析 因为f′(x)=3x2-12x+4,而a4和a2 016为函数f(x)=x3-6x2+4x-1的极值点,所以a4和a2 016为f′(x)=3x2-12x+4=0的根,所以a4+a2 016=4,又a4、a1 010和a2 016为等差数列,所以2a1 010=a4+a2 016,即a1 010=2,所以
loga1 010=-,故选D.
答案 D
12.已知点A是抛物线y2=4x的对称轴与准线的交点,点B是其焦点,点P在该抛物线上,且满足|PA|=m|PB|,当m取得最大值时,点P恰在以A,B为焦点的双曲线上,则双曲线的离心率为( )
A.-1 B.2-2
C.+1 D.2+2
解析 设P(x,y),可知A(-1,0),B(1,0),
所以m====,当x=0时,m=1;当x>0时,m==≤.当且仅当x=,即x=1时取等号,所以P(1,±2),所以|PA|=2,|PB|=2,又点P在以A,B为焦点的双曲线上,所以由双曲线的定义知2a=|PA|-|PB|=2-2,即a=-1,c=1,所以e==+1,故选C.
答案 C
二、填空题(本大题共4个小题,每小题5分,共20分.请把正确的答案填写在答题中的横线上.)
13.△ABC中,点M是边BC的中点,||=4,||=3,则·=________.
解析 ·=(+)(-)=(||2-|AB|2)=(9-16)=-.
答案 -
14.已知直线l1与直线l2:4x-3y+1=0垂直且与圆C:x2+y2=-2y+3相切,则直线l1的方程是________.
解析 圆C的方程为x2+(y+1)2=4,其圆心为(0,-1),半径r=2,设直线l1的方程3x+4y+c=0,则=2,解得c=14或c=-6.
答案 3x+4y+14=0或3x+4y-6=0
15.已知函数f(x)=2x2-4ax+2b2,若a∈{4,6,8},b∈{3,5,7},则该函数有两个零点的概率为________.
解析 要使函数f(x)=2x2-4ax+2b2有两个零点,即方程x2-2ax+b2=0要有两个实根,则Δ=4a2-4b2≥0,又a∈{4,6,8},b∈{3,5,7},即a≥b,而a、b的取法共有3×3=9种,其中满足a>b的取法有(4,3),(6,3),(6,5),(8,3),(8,5),(8,7)6种,所以所求的概率为=.
答案
16.若函数f(x)满足f(x-1)=,当x∈[-1,0]时,f(x)=x,若在区间
[-1,1)上,g(x)=f(x)-mx+m有两个零点,则实数m的取值范围是________.
解析 因为当x∈[-1,0]时,f(x)=x,所以当x∈(0,1)时,x-1∈(-1,0),由f(x-1)=可得,x-1=,所以f(x)=+1,作出函数f(x)在[-1,1)上的图象如图所示,因为g(x)=f(x)-mx+m有两个零点,所以y=f(x)的图象与直线y=mx-m有两个交点,由图可得m∈.
答案
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