洛必达法则详述与其在高考中的实际运用.docx

一．L’Hospital法则（洛必达法则）
法则1 设函数和在点a的某个去心邻域内有定义，且满足：
(1) 及；
　　 (2) 和在内可导，且；
　　 (3) （A为常数，或为∞）
则有 =。

法则2 设函数和在点a的某个去心邻域内有定义，且满足：
(1)；
　　 (2) 和在内可导,且；
　　 (3) （A为常数，或为∞）
则有 =

利用洛必达法则求未定式的极限是微分学中的重点之一，在解题中应注意：
1.将上面公式中的x→a，x→∞换成x→+∞，x→-∞，，洛必达法则也成立。
2.洛必达法则可处理，，，，，，型。
3.在着手求极限以前，首先要检查是否满足，，，，，，型定式，否则滥用洛必达法则会出错。当不满足三个前提条件时，就不能用洛必达法则，这时称洛必达法则不适用，应从另外途径求极限。
4.若条件符合，洛必达法则可连续多次使用，直到求出极限为止。
型： =(化为型)
=(化为型，但无法求解)
型：===0(通分后化为型)
型： ===(化为型)
型： ====1(化为型)
型： ===1(化为型)

变形举例: ==-1(不变形求导无法求出)

二．高考题处理
1.(2010年全国新课标理)设函数。
（1） 若，求的单调区间；
（2） 若当时，求的取值范围
原解：（1）时，，.
当时，；当时，.故在
单调减，在单调增
（II）
由（I）知，当且仅当时等号成立.故，
从而当，即时，，而，
于是当时，.
由可得.从而当时，
，
故当时，，而，于是当时，
.
综合得的取值范围为

原解在处理第（II）时较难想到，现利用洛必达法则处理如下：
另解:（II）当时，，对任意实数a,均在；
当时，等价于
令(x>0),则，
令，
则，，
知在上为增函数，；
知在上为增函数，；
，g(x)在上为增函数。
由洛必达法则知，，
故
综上，知a的取值范围为。