分类讨论思想在初中数学解题中的应用.doc

分类讨论思想在中学数学解题中的应用
丹阳市珥陵初级中学 李凌虹
摘 要:在中学数学教学中，我们要有计划、有意识、有步骤地渗透一些数学思想方法，引导学生去感悟基本的数学思想。分类讨论就是一种重要的思想方法，本文尝试通过几个典型例题的解析，揭示分类讨论思想的解题策略，感受分类讨论思想在解题中的运用。
关 键 词: 分类讨论思想 应用
初中数学的基础知识主要是“初中代数、几何中的概念、法则、性质、公式、公理以及由内容所反映出来的数学思想和方法。”学生从小学进入初中，数学学科不论是学习内容、学习方法，还是思维方法都发生很大变化，解决数学问题的思想方法将得到不断的充实更新。渗透在数学概念和方法中的数学思想需要在教学中充分的挖掘和应用，成为教学目标的不可缺少的组成部分。分类讨论是一种重要的数学思想，在解题中正确、合理、严谨的分类，可将一个复杂的问题大大的简化，达到化繁就简，化难为易，分而治之的目的，这是学习任何科学，包括数学学习的一种科学方法。如果能让学生理解并掌握分类讨论的思想方法，就可以培养学生的综合分析能力和思维的条理性、严谨性和完整性，提高和发展他们的思维能力。
一、什么是分类讨论
分类讨论是依据数学对象本质属性的异同,选取适当的标准不重复不遗漏地将其分为若干类，然后逐类进行讨论来解决问题的一种数学思想方法，是数学发现的重要手段。如在学习有理数、三角形、四边形、圆周角和弦切角定理的证明、一元二次方程求根公式的推导等知识时，就运用了分类讨论的思想。分类讨论思想的原则是：标准统一、不重不漏。分类讨论可以使问题化繁为简，化难为易，能很好地训练一个人思维的条理性和概括性。
二、分类讨论思想的原则
一个数学问题是否要分类及如何分类，这种经验的积累是十分重要的。一般情况下，当被研究的问题包含有多种可能的情况，导致我们不能将它们一概而论时，迫使我们将可能出现的所有情况来分类讨论，得出各种情况下相应的结论，而后进行综合。分类讨论一般应遵循以下的原则：
1. 对问题中的某些条件进行分类，要遵循同一标准。
2. 分类要完整：不重复，不遗漏。
3. 有时分类并不是一次完成，还须进行逐级分类，对于不同级的分类，其分类标准不一定统一。
数学思想方法是在数学知识的发生和应用的过程中形成和发展的，因此，我们要有机地利用数学学习过程进行渗透，不断加以归纳、提炼、强化。这就要求教师认真钻研教材，从整体出发，有计划、有目的地结合数学知识的学习，进行数学思想的教学。比如学习分类思想，要明确分类思想方法具体分散在哪些章节的哪些知识的教学中，不失时机地逐步引导学生建立分类讨论的思想，揭示分类讨论思想的本质，使学生能够自觉合理的运用分类讨论的思想解决相应数学问题，形成能力。
三、分类讨论思想在解题中的应用
在我们平常的生活中，都存在着分类的问题，比如说超市里物品的分类，大街上人群的分类等等，这些都是一些基本的常识，我们可以有效的利用这一点，将生活里的这种意识，转移到数学当中，然后在学习的过程中多多讲解这些，比如说像正数，负数的问题，绝对值的问题，还有不等式都可以夹杂讲解分类思想。分类讨论思想的应用和分类的标准既是重点又是难点。下面我们通过以下以例题来讲解分析：
【典型例题】
（一）、与数学概念、定义有关的分类讨论。
例1.
分析：
对值符号，这就要根据绝对值的概念进行分类讨论研究。
解法一：

解法二：

故应填8或2。
例2. 已知相切两圆的圆心距为5，一个圆的半径为2，则另一个圆的半径为__________。
分析：相切两圆分为内切、外切两种情况。
解：设另一个圆心的半径为r，则r＋2＝5或r－2＝5。
∴r＝3或7。
（二）、涉及数学运算法则或定理、公式的适用范围的分类讨论。
例3.
A. 第一、二象限 B. 第二、三象限
C. 第三、四象限 D. 第一、二、三象限
分析：
分两种情况讨论。
解法一：分两种情况讨论：
（1）当a＋b＋c≠0时，由等比性质，得

（2）当a＋b＋c＝0时，a＋b＝－c，

综合（1）（2），直线y＝kx＋k一定经过第二、三象限，故选B。
解法二：

例4.
误解：

分析：误解的结果是正确的，但解法是欠妥的，造成误解的原因是习惯性地把未知量x，y看作不相等，即忽视了x＝y的情况，这种错误易出现，但又难发现，因此必须高度重视。正确的解法是分类讨论：

说明：本例也可以应用因式分解法避免讨论：
解法二：

（三）、涉及问题中待定参数的变化的分类讨论。
例5.
根？
分析：方程有实数根，即方程有两个或一个实数根，相应的方程为一元二次方程或一元一次方程，所以对未知数最高次项的系数要分类讨论。
解：

说明：方程中最高次项的系数是含字母的不确定代数式，决定了它的取值的多种可能性，不能看到x2项就简单地认为是一元二次方程。

例6.
（1）k满足什么条件时，这两个函数在同一直角坐标系中的图象有两个交点？
（2）设（1）中的两个交点为A，B，试比较∠AOB与90°角的大小。
分析：
置，所以要注意分类讨论。
解：

（2）y＝－x＋8的图象经过第一、二、四象限，由于k的不同取值导致A、B的位置不同，因此应分类讨论：
①当0＜k＜16时，双曲线的两支分布在第一、三象限，则这两个函数图象的交点A和B都在第一象限，
∴∠AOB＜∠xOy，即∠AOB＜90°，如图所示；

②当k＜0时，双曲线的两支分布在第二、四象限，则这两个函数图象的两个交点A和B分别在第二、四象限，
∴∠AOB＞∠xOy，即∠AOB＞90°。

例7.

分析：本题在审题时要读懂题意，题设中未指明是涉及②中的哪个整数根，故要分类讨论。
解：

，
根据题设，对x1，x2进行分类讨论：

（四）、涉及几何元素位置变化的分类讨论。
1. 与几何基本概念有关的分类讨论。
例8.
C到直线l的距离是_________________。
分析：点A，点B与直线l的位置关系有两种情况：A、B两点在直线l的同侧或异侧。
解：（1）如图所示，当A、B两点在直线l的同侧时，

设AM⊥l于M，BN⊥l于N，CP⊥l于P，且

∵C是AB中点，AM∥CP∥BN，
∴CP是梯形AMNB的中位线，

（2）如图所示，当A、B两点在直线l的异侧时，过B作BR⊥AM的延长线于R，延长PC交BR于Q，则AM∥CQ∥BN，

∵AC＝BC，∴RQ＝QB，
∴CQ是△ABR的中位线，

2. 与三角形有关的分类讨论：
例9. 已知平面直角坐标系内两点A（－2，0），B（4，0），点P在直线

（1）点P的坐标，并标出点P的位置；
（2）经P、A、B三点且对称轴平行于y轴的抛物线是否存在？若存在，求出抛物线的解析式。
解：（1）如图所示，分三种情况讨论：

③设∠P为直角，点P（x，y），过P作PQ⊥x轴于Q，则Q（x，0），

而过A、B、P1或A、B、P2对称轴平行于y轴的抛物线不存在。

例10.
点，AD＝6，点E是过点D的直线与△ABC的另一边的交点，过点D能否作一条直线截原三角形所得的小三角形与原三角形相似？若能，求出DE的长，若不能，请说明理由。
解：

∴AC＝6，BC＝8，∵AD＝6，∴BD＝4。
分三种情况讨论，如图所示，

（1）过D作DE1∥AC交BC于E1，
∴△ABC∽△DBE1

（2）过D作DE2∥BC交AC于E2，
∴△ADE2∽△ABC，

（3）过D作DE3⊥AB于D，交BC于E3，
∴△E3BD∽△ABC

3. 与四边形有关的分类讨论：
例11. 在四边形ABCD中，AD∥BC，AB＝DC，AC与BD相交于点O，∠BOC＝120°，AD＝7，BD＝10，则四边形ABCD的面积是___________。
分析：满足题设条件的图形有两个：平行四边形或等腰梯形，如图1，图2。

解：分两种情况讨论：
（1）过D作DE∥AC交BC延长线于E点，过E作BD的延长线的垂线与BD延长线交于F点，
由∠BOC＝120°，得∠EDF＝60°
又根据勾股定理，BE2＝BF2＋EF2，设EF＝h，

（2）如图2，类似可得：

4. 与圆有关的分类讨论：
例12. 已知⊙O中，半径r＝5cm，AB、CD是两条平行弦，且AB＝8cm，CD＝6cm，求AC的长。
分析：由弦AB、CD的位置的不确定性来分类讨论。
解：（1）如图所示，由垂径定理及勾股定理，得弦心距

则弦AB、CD间的距离为4＋3＝7或4－3＝1，从而

说明：本例中隐含了两个层次的分类讨论思想：
（1）平行弦位置的不确定性，即它们可在圆心的同侧，也可在圆心的两侧。这就是
种情况。
（2）点的位置的不确定性，如当A，B确定后，C，D的排列有两种情形；

让同学们形成在数学学习中分类讨论的基本意识。还有能在这其中注意到一些非常基本的原则，比如说，分类的对象标准是统一的确定的，如若不然，分类的对象不一样，标准也不一样，那么就可能出现漏洞，重复到等等一切的错误，比如说我们要把有理数进行分类，却分成了负数，整数，正数，这就是因为分类的标准不一样而导致的。当这两点都确定了，并且保证正确了以后，我们还得能够分类好他们的层次，将他们的内涵挖掘出来，外延领读出来。。
在平常的学习生活中只要我们能够明确，稳妥的抓好需要分类讨论的原因，把握它的标准就可以很好的使用分类讨论思想。分类讨论思想在数学当中是重点，同时，他也是一个难点，它甚至是让很多同学讨厌数学的一个原因，想要杜绝这些，就需要老师客观的来讲，不要将说的太神让学生有压力，应该平和的让学生接受，再就是也不能过分的依赖于分类讨论思想，能简单的时候最好也是以简单为主，要多多的去发掘在题目当中存在的特殊的地方，用不同的角度去审查这些数据，总之，在解题的过程当中，要认真的去看待那些题目，去寻找最好的解决方法。
分类讨论思想如果可以完善的接受好，将这项能力培养到位的话，就一定能提高同学们对于学习数学的兴趣，大家的条理性，逻辑性，科学性也都能得到很大一部分的提升，而这种思维习惯一定会给同学们将来的求学路上，人生路上都带来非常深刻的影响的。