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初二数学全等三角形综合题训练

一．解答题（共16小题）
1．已知△ABC，点D、F分别为线段AC、AB上两点，连接BD、CF交于点E．
（1）若BD⊥AC，CF⊥AB，如图1所示，试说明∠BAC+∠BEC=180°；
（2）若BD平分∠ABC，CF平分∠ACB，如图2所示，试说明此时∠BAC与∠BEC的数量关系；
（3）在（2）的条件下，若∠BAC=60°，试说明：EF=ED．

2．已知点C为线段AB上一点，分别以AC、BC为边在线段AB同侧作△ACD和△BCE，且CA=CD，CB=CE，∠ACD=∠BCE，直线AE与BD交于点F
（1）如图1，若∠ACD=60゜，则∠AFB=　　；
（2）如图2，若∠ACD=α，则∠AFB=　　（用含α的式子表示）；
（3）将图2中的△ACD绕点C顺时针旋转任意角度（交点F至少在BD、AE中的一条线段上），如图3．试探究∠AFB与α的数量关系，并予以证明．

3．如图（1）四边形ABCD中，已知∠ABC+∠ADC=180°，AB=AD，DA⊥AB，点E在CD的延长线上，∠BAC=∠DAE．
（1）试说明：△ABC≌△ADE；
（2）试说明CA平分∠BCD；
（3）如图（2），过点A作AM⊥CE，垂足为M，试说明：∠ACE=∠CAM=∠MAE=∠E=45°．

4．已知：如图①，在△AOB和△COD中，OA=OB，OC=OD，∠AOB=∠COD=50°
（1）求证：①AC=BD；②∠APB=50°；
（2）如图②，在△AOB和△COD中，OA=OB，OC=OD，∠AOB=∠COD=α，则AC与BD间的等量关系为　　，∠APB的大小为　　

5．如图，在四边形中ABCD中，AB∥CD，∠1=∠2，DB=DC．
（1）求证：△ABD≌△EDC；
（2）若∠A=135°，∠BDC=30°，求∠BCE的度数．

6．已知△ABC为等边三角形，点D为直线BC上一动点（点D不与点B，点C重合）．以AD为边作等边三角形ADE，连接CE．
（1）如图1，当点D在边BC上时．
①求证：△ABD≌△ACE；
②直接判断结论BC=DC+CE是否成立（不需证明）；
（2）如图2，当点D在边BC的延长线上时，其他条件不变，请写出BC，DC，CE之间存在的数量关系，并写出证明过程．

7．在Rt△ABC中，BC=AC，∠ACB=90°，点D为射线AB上一点，连接CD，过点C作线段CD的垂线l，在直线l上，分别在点C的两侧截取与线段CD相等的线段CE和CF，连接AE、BF．
（1）当点D在线段AB上时（点D不与点A、B重合），如图1
①请你将图形补充完整；
②线段BF、AD所在直线的位置关系为　　，线段BF、AD的数量关系为　　；
（2）当点D在线段AB的延长线上时，如图2
①请你将图形补充完整；
②在（1）中②问的结论是否仍然成立？如果成立请进行证明，如果不成立，请说明理由．

8．已知，在△ABC中，∠BAC=90°，∠ABC=45°，点D为直线BC上一动点（点D不与点B，C重合）．以AD为边作正方形ADEF，连接CF．
（1）如图1，当点D在线段BC上时．求证：CF+CD=BC；
（2）如图2，当点D在线段BC的延长线上时，其他条件不变，则CF，BC，CD三条线段之间有什么关系？并说明理由．

9．如图，在△ABC中，AB=AC，D、A、E在直线m上，∠ADB=∠AEC=∠BAC．
（1）求证：DE=DB+EC；
（2）若∠BAC=120°，AF平分∠BAC，且AF=AB，连接FD、FE，请判断△DEF的形状，并写出证明过程．

10．（1）某学习小组在探究三角形全等时，发现了下面这种典型的基本图形．如图（1），已知：在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，直线l经过点A，BD⊥直线l，CE⊥直线l，垂足分别为点D、E．证明：DE=BD+CE．
（2）组员小刘想，如果三个角不是直角，那结论是否会成立呢？如图（2），将（1）中的条件改为：在△ABC中，AB=AC，D、A、E三点都在直线m上，并且有∠BDA=∠AEC=∠BAC=α，其中α为任意锐角或钝角．请问结论DE=BD+CE是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由．
（3）数学老师赞赏了他们的探索精神，并鼓励他们运用这个知识来解决问题：如图（3），过△ABC的边AB、AC向外作正方形ABDE和正方形ACFG，AH是BC边上的高，延长HA交EG于点I，求证：I是EG的中点．

11．在△ABC中，AB=AC，点D是射线CB上的一动点（不与点B、C重合），以AD为一边在AD的右侧作△ADE，使AD=AE，∠DAE=∠BAC，连接CE，设∠BAC=α，∠DCE=β．
（1）如图1，当点D在线段CB上，且α=60°时，那么β=　　度；
（2）当α≠60°．
①如图2，当点D在线段CB上，求α与β间的数量关系；
②如图3，当点D在线段CB的延长线上，请将如图3补充完整，并求出α与β之间的数量关系．

12．如图①，在△ABC中，D、E分别是AB、AC上的点，AB=AC，AD=AE，然后将△ADE绕点A顺时针旋转一定角度，连接BD，CE，得到图②，将BD、CE分别延长至M、N，使DM=BD，EN=CE，得到图③，请解答下列问题：
（1）在图②中，BD与CE的数量关系是　　；
（2）在图③中，猜想AM与AN的数量关系，∠MAN与∠BAC的数量关系，并证明你的猜想．

13．（1）如图（1），已知：在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，直线l经过点A，BD⊥直线l，CE⊥直线l，垂足分别为点D、E．证明：DE=BD+CE．
（2）如图（2），将（1）中的条件改为：在△ABC中，AB=AC，D、A、E三点都在直线l上，且∠BDA=∠AEC=∠BAC=α，其中α为任意锐角或钝角．请问结论DE=BD+CE是否成立？如成立；请你给出证明；若不成立，请说明理由．
（3）拓展与应用：如图（3），D、E是直线l上的两动点（D、A、E三点互不重合），点F为∠BAC平分线上的一点，且△ABF和△ACF均为等边三角形，连接BD、CE，若∠BDA=∠AEC=∠BAC，求证：DF=EF．

14．如图，已知△ABC三个内角的平分线交于点O，点D在CA的延长线上，且DC=BC，AD=AO，若∠BAC=80°，求∠BCA的度数．

15．已知，点P是直角三角形ABC斜边AB所在直线上一动点（不与A，B重合），分别过A、B向直线CP作垂线，垂足分别为E、F，Q为斜边AB的中点．
（1）如图1，当点P与点Q重合时，AE与BF的位置关系是　　，QE与QF的数量关系　　；
（2）如图2，当点P在线段AB上不与点Q重合时，试判断QE与QF的数量关系，并给予证明．

16．已知：如图，AE=AC，AD=AB，ED=CB，BC延长线分别交AD、ED于点G、F．
（1）求证：△ADE≌△ABC．
（2）如果∠CAD=10°，∠B=20°，∠EAB=130°，求∠EFG的度数．

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参考答案

一．解答题（共16小题）
1．　　　；2．120°；180°-α；3．　　　；4．AC=BD；α；5．　　　；6．　　　；7．垂直；相等；8．　　　；9．　　　；10．　　　；11．120；12．BD=CE；13．　　　；14．　　　；15．AE∥BF；QE=QF；16．　　　；

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