椭圆、双曲线中的易错疑难问题.docx

椭圆、双曲线中的易错易混、疑难问题
教材易混易错问题
易错点1：求轨迹方程时忽略动点的限制条件
第1题
1、 已知中，角所对的边分别为，且，成等差数列，，求点的轨迹方程。
【解析】以所在直线为轴，线段的垂直平分线为轴建立平面直角坐标系（如图），
不妨令，设
因为成等差数列，所以，即.
由椭圆的定义得：点的轨迹是以为焦点的椭圆，且，即。所以点的轨迹方程为。
因为，即，所以点只能在轴的左侧，即，
又由于的三顶点不共线，所以点不在轴上，即。
于是所求点的轨迹方程为。
2、已知点和圆，过圆外一点的直线与圆相切与点，且，求动点的轨迹方程。
【解析】如图，为圆的切线,为切点。设。
第2题
则，，
由题意得，所以，
两边平方并整理得，，
再两边平方并整理得，
因为，即。
所以点的轨迹方程为。
【反思】在求动点的轨迹方程时，忽略方程变形的等价性是常见的错误，因此在化简变形过程中，应注意检查每一步是否是等价变形，若扩大了取值范围，则应加以限制。

易错点2：忽略椭圆于双曲线定义中的限制条件
3、若平面内一点到两定点的距离之和为10，则点的轨迹为 （ D）
A 椭圆 B 圆 C 直线 D 线段
【解析】 因为，所以点的轨迹为线段。
(3，4)(4，5)
4、若方程表示椭圆，则实数的取值范围为---------
【解析】由题意可知，解得。
【易错提醒】易错点是没有注意椭圆中a≠b这个条件，当a=b时，方程并不表示椭圆，而是圆。
5、 若一个动点到两个定点的距离之差的绝对值为定值，求动点的轨迹方程。
【解析】由题意的.
当时，轨迹是线段的垂直平分线，即方程为；
‚当时，由双曲线的定义可得，轨迹是以为焦点的双曲线，其中，，故动点的轨迹方程为；
ƒ当时，轨迹是两条射线，其方程为。
【反思】在求解与 椭圆、双曲线有关的轨迹问题时，要养成一种良好的思维习惯；看到动点的到两定点的距离之和或差是常数后，首先判断该常数与两定点间距离的大小关系。
易错点3：求椭圆或双曲线方程时忽略焦点的位置
6、 已知椭圆的中心为坐标原点，对称轴是坐标轴，离心率，且过点，求此椭圆的标准方程。
【解析】由题意无法确定焦点的位置在那个轴上，所以分两种情况讨论：
当焦点在轴上时，设椭圆标准方程为，
由题意得，解得，此时椭圆的标准方程为。
当焦点在轴上时，设椭圆标准方程为，
由题意得，解得，此时椭圆的标准方程为。
综上，所求椭圆的标准方程为或。
7、 已知双曲线的渐近线方程是，焦距为，求双曲线的标准方程。
【解析】由题意无法确定焦点的位置在那个轴上，所以分两种情况讨论：
当焦点在轴上时，设双曲线标准方程为，
由题意得，解得，此时双曲线的标准方程为。
当焦点在轴上时，设双曲线标准方程为，
由题意得，解得，此时椭圆的标准方程为。
综上，所求椭圆的标准方程为或。
【反思】此类题解错的原因是没有审清题意，而误认为椭圆或双曲线的焦点一定在轴上，从而导致漏解。当题目条件没有明确椭圆或双曲线的焦点所在的轴时，应当分两种情况讨论。

易错点4：忽略椭圆或双曲线的离心率的取值范围
8、如图，椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，分别为椭圆的左、右、下、上顶点，为其右焦点，延长与交于点，若为钝角，求该椭圆的离心率的取值范围。
【解析】设椭圆的标准方程为，
第8题
由题意得：，则
由于为向量的夹角，
且若为钝角，所以

又，则，化简得，
解得，因为，所以，
故该椭圆的离心率的取值范围为。
9、 已知双曲线的左、右焦点分别为，若双曲线上存在一点，使，求双曲线离心率的取值范围。
【解析】由已知条件知，点不是双曲线的顶点。
在中，由正弦定理得：。
又由已知得：，
于是且点在双曲线的右支上。
由双曲线的定义：，且由双曲线的几何性质，得：，即，解得：。
因为，所以，故双曲线的离心率的取值范围为。
【反思】椭圆、双曲线的离心率的计算公式可知离心率由确定，所以求离心率的值或取值范围时，需要建立关于的方程或不等式，再转化为关于离心率的方程或不等式，通过解方程或不等式求得离心率的值或范围。

易错点5：混淆椭圆于双曲线的几何性质
10、 若椭圆的离心率为，则双曲线的渐近线方程为
（ A ）
A B C D
【解析】由椭圆的离心率为，可得，即，故双曲线的渐近线方程为。
1
11、 若椭圆与双曲线有相同的焦点，则的值是----------。
【解析】由题意得，，解得。
12、 已知双曲线的焦距为10，点在的渐近线上，则双曲线的方程为--------------。
【解析】由题意得，。
因为在的渐近线方程为，点在的渐近线上，所以，
又，因此，所以双曲线的方程为。
教材疑难问题
疑难点1：求椭圆、双曲线的离心率
1、 如图，分别是双曲线的左右焦点，过的直线与的两支分别交于点，若为等边三角形，则双曲线的离心率为（B）
A 4 B C D

【解析】由双曲线的定义，知。
。
为等边三角形，所以，
即，所以，
所以，所以。
在中，由余弦定理，得，
即，所以，所以。
【反思】离心率的求解中可以不求出的值，而是求出的关系，从而求得，一般步骤如下：根据已知条件得到的齐次方程；‚化简得到关于的一元二次方程；ƒ求解的值；④根据双曲线的离心率的范围进行取舍。
2、 已知由公共焦点的椭圆与双曲线的中心为原点，焦点在轴上，左、右焦点分别为，且它们在第一象限的交点为，是以为底边的等腰三角形。若，双曲线离心率的取值范围为，求椭圆离心率的取值范围。
【解析】设椭圆的长半轴长、半焦距长，双曲线的实半轴长、半焦距长，，则，所以，
所以，所以，即。
故椭圆的离心率的取值范围为。
疑难点2：直线与椭圆、双曲线的位置关系
3、 已知直线与双曲线。
（1） 若直线与双曲线没有公共点，求实数的取值范围；
（2） 若直线与双曲线有两个公共点，求实数的取值范围；
（3） 若直线与双曲线只有一个公共点，求实数的取值范围。
【解析】由，得：
（1） 若直线与双曲线没有公共点，则方程无解。所以，解得，于是实数的取值范围为。
（2） 若直线与双曲线有两个公共点，则方程有两个不等的实数解。
所以，解得，
于是实数的取值范围为。
（3） 若直线与双曲线只有一个公共点，则方程有两个相等的实数解或只有一个实数解。所以，解得，
于是实数的取值范围为。
4、如图，在平面直角坐标系中，离心率为的椭圆的左焦点为，过原点的直线（与坐标轴不重合）与椭圆交于两点，直线分别与轴交于两点，若当直线的斜率为时，。
（1） 求椭圆的标准方程；
（2） 试问以为直径的圆是否经过定点（与直线的斜率无关）？请说明你的结论。
【解析】当直线的斜率为时，，此时可设点，
则，所以，代入椭圆方程得，因为椭圆的离心率为，所以，所以，所以，
（1）所以椭圆的标准方程为
（2）以为直径的圆过定点，证明如下：
设，则，且，即。
因为，所以直线的方程为，所以。
又直线的方程为，所以。
所以以为直径的圆得得方程为，
即，因为，所以。
令，则，解得。所以以为直径的圆过定点。
疑难点3：与向量、圆等知识相结合
5、 已知双曲线的左、右焦点分别为，点为坐标原点，点在双曲线右支上，内切圆的圆心为，圆与轴相切于点，过作直线的垂线，垂足为，则与的长度分别为 （ A ）
A B C D
【解析】由题意，可得，。
由圆的切线长定理，知。
设内切圆圆心的横坐标为，则，所以，所以。延长交于点，则为等腰三角形，所以，在中，。
6、如图，在平面直角坐标系中，圆内切与正方形，任取圆上一点，若，则满足等式。现有一椭圆内切与矩形，任取椭圆上一点，若，则-------。
【解析】建立如图所示的平面直角坐标系。
设，则，
于是。由，可得，代入，可。