教案：用一元一次方程解决工程问题.docx

用一元一次方程解决工程问题

【教材简析】
本节课所用教材为苏教版七年级上册数学课本。用一元一次方程解决实际问题这个章节是学生在学习了一元一次方程概念、解法之后，逐步加深对利用方程解决实际问题的认识，更加符合学生的认知规律。
本节课为用一元一次方程解决工程问题，是学生在学习了用一元一次方程解决行程问题等较为简单的问题之后的层次递进。通过具体的工程问题展现“问题—建立模型—解释、应用与拓展”这一数学模型，体现模型在解决实际问题中的重要作用和意义。
在教学过程中要注意促进学生分析问题及解决问题能力的提高，为此，在之前学习了表格等分析方法之后，本节课又引进了圆形饼图的方法帮助学生进一步分析问题，解决问题。
【教学内容】
苏教版七年级上册用一元一次方程解决工程问题。
【教学目标】
1． 借助圆形示意图分析复杂问题中的等量关系，进一步提高分析问题、解决问题的能力。
2． 能根据题中等量关系正确设未知数，列出一元一次方程解决工程问题。
3． 进一步体会方程模型的作用，提高应用数学的意识。
【教学重点】
根据题意找出等量关系，列出一元一次方程解决工程问题。
【教学难点】
正确找出实际工程问题中的等量关系。
【教学准备】
PPT、教学辅案
【教学过程】
一、 导入
1．一个圆形，从圆心出发，平均切割成三部分，每个圆心角( )度。
2．如果圆形的面积为S，那么每个部分的面积是( )。
【设计意图】导入部分用一个圆形图提问，契合本节课的主题，同时又暗含了本节课讲使用的圆形饼图的方法辅助我们分析和解决工程问题。

过渡：刚刚我们看的是一个圆形面积图。其实，今天我们要使用这种圆形图的策略来帮助我们用一元一次方程解决工程问题。
（揭示课题：用一元一次方程解决工程问题）。
二、新课
问题1 甲单独做：
甲同学将一批资料录入电脑，需要18小时完成，甲同学工作1小时的工作量是 ？
【设计意图】用“甲单独做”的问题让学生明确几点：工程问题涉及工作总量、工作时间和工作效率三个量及其关系；把工作总量看作1；单个人的单位时间的工作量怎么求。引导学生用圆形图分析。

教师：这个题要解决工程问题，工程问题涉及到哪几个量？
学生：工作总量、工作时间和工作效率
教师：他们之间的关系是什么？
学生：工作总量=工作效率×工作时间
教师：要求甲同学工作1小时的工作量，就是求什么？
学生：求工作效率。
教师：要求工作效率，必须要知道哪两个量？
学生：工作总量和工作时间。
教师：工作时间是多少？
学生：18小时。
教师：工作总量知道吗？题中告诉甲同学将一批资料录入电脑，这项工作是一个具体的量吗？
学生：没有。
教师：那我们不妨假设工作总量为S，那么工作效率是多少呢？
学生：工作效率为S18。
教师：现在工作总量、工作时间、工作效率三个量我们都知道了。那么我们再看这个公式：
工作总量=工作效率×工作时间
S = s18 × 18
教师：约分后得到一个式子S=S，那么你们想想，这个式子有没有意义呢？（没有）没有意义就表示我们可以用任何一个字母(b或者c)或数来代替这个S，上面的式子也成立。通常，在解决工程问题时，我们会用1来代替S，也就是把工作总量看作整体1.
教师：我们用一个圆来表示工作总量1，蓝色部分表示1小时的工作量，就是工作效率，为118。
过渡：现在这项工作换一个同学来做，请看问题2。
问题2 乙单独做：
乙同学将一批资料录入电脑，需要12小时完成，乙同学工作1小时的工作量是 ？
【设计意图】进一步强化问题1中的知识内容。

教师：请你们直接告诉我答案。
学生：112
教师：我们用整个圆来表示工作总量1，那么蓝色部分就表示乙工作一小时的 工作总量 ，也就是 工作效率 。
过渡：如果完成这项任务的对象又发生改变会怎样呢？请看问题3。
问题3 甲先做，乙后做：
将一批资料录入电脑，甲单独做需要18 h完成，乙单独做需要12 h完成，现在先由甲单独做9 h，余下的任务由乙单独完成，那么乙还需要多少时间完成任务？
【设计意图】此问题在问题1、2的基础上加深难度，由“甲、乙单独做”变成“甲先做，乙后做”的问题，而学生已会求甲和乙单独做的工作效率，现在用图形的方法分析归纳出题中的等量关系，进而列出方程。

解：设乙还需要h完成任务。
根据题意，得：
618 + 112 = 1
解这个方程，得
= 8
答：乙还需要8小时。
教师：这项录入资料的工作是怎么完成的呢？
学生：甲先单独做6小时，余下的任务由乙单独完成。（画线）
教师：我们用这个圆来表示全部工作量，红色部分表示甲6小时的工作量，蓝色部分表示乙的工作量。
教师：全部工作量和甲的工作量以及乙的工作量之间有没有等量关系？
学生：全部工作量 = 甲单独做的工作量 + 乙单独做的工作量
教师：全部工作量可以看做 ？ 学生：看作1。
教师：甲单独完成的工作量怎么求呢？
学生：甲单独完成的工作量=甲的工作效率×甲的工作时间
即 118×6 = 618
教师：乙单独做的工作量=乙的工作效率×乙的工作时间。乙的工作时间是我们要求的，那么我们就可以
设乙的工作时间为 。（PPT）
教师：那么乙的工作总量就是：112
教师：这样我们可以列出一个一元一次方程：
618 + 112 = 1
请你解答一下这个方程，求出。
过渡：接下来，我们再换一种方式去完成这项任务，请看问题4。
问题4 甲、乙合做：
将一批资料录入电脑，甲单独做需18 h完成，乙单独做需要12 h完成，甲、乙合做需要几小时完成？
【设计意图】这道题由“单独做”变成“合做”。教学过程中要注意启发学生的思维，用两种不同的方法解决这个问题：第一种方法把这项工程看作“甲的工作量+乙的工作量”，先要算出甲、乙两人单独的工作量；第二种方法先求出甲、乙两人合作的工作效率，再乘以工作时间。
解法一：

解：设甲、乙合做需要小时完成。
根据题意，得
118 + 112 = 1
解这个方程，得：
=365
答：甲、乙合做需要365小时完成。
教师：这项工作又是怎么完成的呢？
学生：甲、乙合做。
教师：我们用一个整体圆来表示全部的工作量，红色部分表示甲的工作量，蓝色部分表示 乙的工作量 。
教师：谁能把等量关系式告诉我？
学生：全部工作量 = 甲的工作量 + 乙的工作量
教师：全部工作量是多少？
学生：可以看作1.
教师：甲和乙的工作总量分别等于他们的 工作效率 乘以他们的 工作时间。
教师：甲和乙的工作效率分别是多少呢？
学生：甲的工作效率是118，乙的工作效率是112。
教师：甲和乙的工作时间分别是多少呢？
学生：不知道
教师：不知道应该怎么办呢？这项工作甲乙合做，表示他们同时开始也同时结束，就是工作时间 相等 ，那么我们可以设甲、乙合做需要小时完成。
教师：现在甲的工作量是 118。乙的工作量是 112
教师：把一元一次方程列出来。
学生：118 + 112 = 1
教师：请你们快速解答一下这个方程，求出。
解法二

设甲、乙合做需要小时完成。
根据题意，得
（118 + 112） = 1
解这个方程，得：
=365
答：甲、乙合做需要365小时完成。
教师：请想想，这个题还能列出不同的关系式么？
提示：我们同样用一个圆来表示全部工作量，红色部分表示甲的工作效率，蓝色部分表示乙的工作效率。那么红色和蓝色一起表示两个人的工作效率之和
教师：等量关系式怎么列？
学生：工作总量 = 甲、乙的效率和 × 工作时间
教师：工作效率之和是多少？ 118 + 112
教师：工作一小时是118 + 112，那么工作两小时应该乘以 2 ，假设工作小时呢？
（118 + 112）
教师：请你们在学案上完成这道题。
问题5 先单独做，再合做：
将一批资料录入电脑，甲单独做需要18 h完成，乙单独做需要12 h完成，现在先由甲单独做8 h，剩下的部分由甲、乙合做完成，甲、乙两人合做了多少时间？
【设计意图】在前面四个题目的基础上，用一元一次方程解决工程问题的方法已经能掌握，那么课本中这个问题便能有效地解决。本题让学生分组进行讨论，解决问题，在讨论的过程中教室给予相应的指导。
教师：请大家读一读题，读完题后分组进行讨论。在讨论的过程中请大家注意以下几个问题：
1. 这项工程是如何完成的？
2. 你从题目中找到的等量关系是怎样的？
3. 怎样设未知数，列方程？
请你们在学案上试着完成这个题目。
方法一

全部工作量 = 甲单独做的工作量 + 甲、乙合做的工作量
1 818 （ 118 + 112 ）
解：设甲乙两人合做了h.
根据题意，得
818 +（ 118 + 112 ） = 1
解这个方程，得
= 4
答：甲乙两人合做了4 h.
方法二

全部工作量 = 甲做的工作量 + 乙做的工作量
1 118×8+118 112
解：设甲乙两人合做了h.
根据题意，得
8+18 + 112 = 1
解这个方程，得
= 4
答：甲乙两人合做了4 h.
小结：
在解决工程问题时：
1. 通常把全部工作量看作是1。
2. 解题策略：画圆形图，用整个圆的面积表示全部工作量1，用扇形面积表示有关工作量。
3. 解题时寻找等量关系，遵循整体和部分的原则。
三、课堂反馈
1．某下水管道工程由甲、乙两个工程队单独铺设分别需要10天、15天完成，如果两队从两端同时施工2天，然后由乙队单独施工，还需要多少天完成？
学生独立完成
解：设还需要天完成。
（110+115）×2 + 15 = 1 或 210+ 2+15 = 1
解这个方程得：
= 10
答：还需要10天完成。
2．整理一批图书，甲、乙两人单独做分别需要4 h、6h 完成，现在先由甲单独做1h，然后两人合做完成，甲、乙两人合作整理这批图书用了多少时间？
学生独立完成
解：甲、乙两人合作整理这批图书用了 h。
14+（14 + 16 ） = 1 或 1+4 + 6 = 1
解这个方程得：
= 95
答：还需要95天完成。
3. 一件工作，甲单独做15小时完成，甲、乙合做6小时完成．甲先单独做6小时，余下的乙单独做，那么乙还要多少小时完成？
学生独立完成
解：设乙还要 小时完成。
甲的工作量+ 乙的工作量= 工作总量

解这个方程得： = 6
答：乙还要6小时完成。
四、 拓展与延伸
1. 整理一批数据，由1个人做需20h完成。现在先若干人做2h，然后增加2人再共同做4h，完成了这项工作。开始时参与整理数据的有几个人？

五、板书设计
用一元一次方程解决工程问题
工作总量=工作效率×工作时间
问题
六、课后反思
这节课总体比较流畅；教师讲授和学生探索方式相结合，学生思维活跃，教学目标和效果达到。教师在学生探讨过程中注重引导，但是整个过程所用时间稍多，导致后面的练习量过小。