高中数学高考总复习基本不等式重要不等式均值定理习题及详解.doc

高中数学高考总复习基本不等式重要不等式均值定理习题及详解

一、选择题
1．(2010·山东东营质检)在下列各函数中，最小值等于2的函数是(　　)
A．y＝x＋
B．y＝cosx＋
C．y＝
D．y＝ex＋－2
[答案]　D
[解析]　x<0时，y＝x＋≤－2，故A错；∵0<x<，∴0<cosx<1，∴y＝cosx＋≥2中等号不成立，故B错；∵≥，∴y＝＋≥2中等号也取不到，故C错，∴选D.
2．(文)(2010·山东潍坊质检)已知x>0，y>0，且＋＝1，若x＋2y>m2＋2m恒成立，则实数m的取值范围是(　　)
A．m≥4或m≤－2 B．m≥2或m≤－4
C．－2<m<4 D．－4<m<2
[答案]　D
[解析]　∵x>0，y>0，且＋＝1，
∴x＋2y＝(x＋2y)(＋)＝4＋＋≥4＋2＝8，当且仅当＝，即x＝2y时取等号，又＋＝1，∴x＝4，y＝2，∴(x＋2y)min＝8，要使x＋2y>m2＋2m恒成立，只需(x＋2y)min>m2＋2m，即8>m2＋2m，解得－4<m<2.
(理)(2010·东北师大附中)已知正项等比数列{an}满足：a7＝a6＋2a5，若存在两项am，an使得＝4a1，则＋的最小值为(　　)
A.　　　 B.　　　
C.　　　 D．不存在
[答案]　A
[解析]　由已知an>0，a7＝a6＋2a5，设{an}的公比为q，则a6q＝a6＋，∴q2－q－2＝0，∵q>0，∴q＝2，
∵＝4a1，∴a12·qm＋n－2＝16a12，∴m＋n－2＝4，
∴m＋n＝6，
∴＋＝(m＋n)＝≥＝，等号在＝，即n＝2m＝4时成立．
3．(2010·茂名市模考)“a＝”是“对任意的正数x，均有x＋≥1”的(　　)
A．充分非必要条件
B．必要非充分条件
C．充要条件
D．既非充分也非必要条件
[答案]　A
[解析]　∵a＝，x>0时，x＋≥2＝1，等号在x＝时成立，又a＝4时，x＋＝x＋
≥2＝4也满足x＋≥1，故选A.
4．(2010·广西柳州市模考)设a，b∈R，则“a＋b＝1”是“4ab≤1”的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不是充分条件也不是必要条件
[答案]　A
[解析]　a，b中有一个不是正数时，若a＋b＝1，显然有4ab≤1成立，a，b都是正数时，由1＝a＋b≥2得4ab≤1成立，故a＋b＝1⇒4ab≤1，但当4ab≤1成立时，未必有a＋b＝1，如a＝－5，b＝1满足4ab≤1，但－5＋1≠1，故选A.
5．若a>0，b>0，a，b的等差中项是，且α＝a＋，β＝b＋，则α＋β的最小值为(　　)
A．2 B．3 C．4 D．5
[答案]　D
[解析]　∵为a、b的等差中项，∴a＋b＝×2＝1.
a＋＋b＋⇒1＋＋＝1＋＝1＋，
∵≤，∴ab≤＝.∴原式≥1＋4.
∴α＋β的最小值为5.故选D.
6．(文)若直线2ax－by＋2＝0(a>0，b>0)被圆x2＋y2＋2x－4y＋1＝0截得的弦长为4，则＋的最小值是(　　)
A．1 B．2
C．3 D．4
[答案]　D
[解析]　圆(x＋1)2＋(y－2)2＝4，∵弦长为4，故为直径，即直线过圆心(－1,2)，∴a＋b＝1.
∴＋＝(a＋b)＝2＋＋≥4.
当且仅当a＝b＝时取等号．
(理)半径为4的球面上有A、B、C、D四点，AB，AC，AD两两互相垂直，则△ABC、△ACD、△ADB面积之和S△ABC＋S△ACD＋S△ADB的最大值为(　　)
A．8 B．16 C．32 D．64
[答案]　C
[解析]　根据题意可知，设AB＝a，AC＝b，AD＝c，则可知AB，AC，AD为球的内接长方体的一个角．故a2＋b2＋c2＝64，而S△ABC＋S△ACD＋S△ADB＝(ab＋ac＋bc)≤＝＝32.
等号在a＝b＝c＝时成立．
7．(文)已知c是椭圆＋＝1(a>b>0)的半焦距，则的取值范围是(　　)
A．(1，＋∞) B．(，＋∞)
C．(1，) D．(1，]
[答案]　D
[解析]　由题设条件知，a<b＋c，∴>1，
∵a2＝b2＋c2，∴＝≤＝2，∴≤.故选D.
(理)已知F1、F2分别为双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，P为双曲线右支上的任意一点，若的值为8a，则双曲线的离心率e的取值范围是(　　)
A．(1，＋∞) B．(1,2]
C．(1，] D．(1,3]
[答案]　D
[解析]　＝＝＋|PF2|＋4a≥4a＋4a＝8a，当且仅当＝|PF2|，即|PF2|＝2a时取等号．这时|PF1|＝4a.由|PF1|＋|PF2|≥|F1F2|得6a≥2c，即e＝≤3，∴e∈(1,3]．
8．(2010·南昌市模拟)已知a，b∈R＋，a＋b＝1，M＝2a＋2b，则M的整数部分是(　　)
A．1 B．2
C．3 D．4
[答案]　B
[解析]　∵a，b∈R＋，a＋b＝1，∴0<a<1，设t＝2a，则t∈(1,2)，M＝2a＋2b＝2a＋21－a＝t＋≥2，等号在t＝时成立，又t＝1或2时，M＝3，∴2≤M<3，故选B.
9．(2010·河南新乡调研)已知全集R，集合E＝{x|b<x<}，F＝{x|<x<a}，M＝{x|b<x≤}，若a>b>0，则集合M等于(　　)
A．E∩F B．E∪F
C．E∩(∁RF) D．(∁RE)∩F
[答案]　C
[解析]　∵a>b>0，
∴a＝>>>＝b，
如图可见集合M在E中，不在F中，故M＝E∩∁RF.

10．(文)(2010·衡水市模考)已知△ABC中，点D是BC的中点，过点D的直线分别交直线AB、AC于E、F两点，若＝λ(λ>0)，＝μ(μ>0)，则＋的最小值是(　　)
A．9 B.
C．5 D.
[答案]　D
[解析]　＝－＝(＋)－
＝(λ＋μ)－＝＋，
＝－.

∵与共线，且与不共线，∴＝，
∴λ＋μ＝2，∴＋＝(λ＋μ)
＝≥，等号在μ＝，λ＝时成立．
(理)(2010·广东省高考调研)如图在等腰直角△ABC中，点P是斜边BC的中点，过点P的直线分别交直线AB、AC于不同的两点M、N，若＝m，＝n，则mn的最大值为(　　)

A. B．1
C．2 D．3
[答案]　B
[解析]　以AC、AB为x、y轴建立直角坐标系，设等腰直角△ABC的腰长为2，则P点坐标为(1,1)，B(0,2)、C(2,0)，∵＝m，＝n，
∴＝，＝，∴M、N，
∴直线MN的方程为＋＝1，

∵直线MN过点P(1,1)，∴＋＝1，∴m＋n＝2，
∵m＋n≥2，∴mn≤＝1，当且仅当m＝n＝1时取等号，∴mn的最大值为1.
二、填空题
11．(2010·山东聊城、山东邹平一中模考)已知b>0，直线b2x＋y＋1＝0与ax－(b2＋4)y＋2＝0互相垂直，则ab的最小值为________．
[答案]　4
[解析]　∵两直线垂直，∴ab2－(b2＋4)＝0，∴a＝，∵b>0，∴ab＝＝b＋≥4，等号在b＝，即b＝2时成立．
12．(文)(2010·重庆文，12)已知t>0，则函数y＝的最小值为________．
[答案]　－2
[解析]　y＝＝t＋－4
因为t>0，y＝t＋－4≥2－4＝－2.
等号在t＝，即t＝1时成立．
(理)(2010·安徽合肥六中质检)已知三个函数y＝2x，y＝x2，y＝的图象都过点A，且点A在直线＋＝1(m>0，n>0)上，则log2m＋log2n的最小值为________．
[答案]　4
[解析]　由题易得，点A的坐标为(2,4)，因为点A在直线＋＝1(m>0，n>0)上，所以1＝＋≥2，∴mn≥16，所以log2m＋log2n＝log2(mn)≥4，故log2m＋log2n的最小值为4.
13．(文)(2010·南充市)已知正数a，b，c满足：a＋2b＋c＝1则＋＋的最小值为________．
[答案]　6＋4
[解析]　＋＋＝＋＋＝＋＋＋4≥2＋2＋2＋4＝6＋4，
等号在＝，＝，＝同时成立时成立．
即a＝c＝b＝1－时等号成立．
(理)(2010·北京延庆县)已知x>0，y>0，lg2x＋lg8y＝lg2，则xy的最大值是________．
[答案]　
[解析]　∵lg2x＋lg8y＝lg2，∴2x·8y＝2，即2x＋3y＝2，∴x＋3y＝1，∴xy＝x·(3y)≤·2＝，等号在x＝3y，即x＝，y＝时成立．
14．(文)(2010·重庆一中)设M是△ABC内一点，且·＝2，∠BAC＝30°，定义f(M)＝(m，n，p)，其中m，n，p分别是△MBC，△MCA，△MAB的面积．若f(M)＝，则＋的最小值是________．
[答案]　18
[解析]　∵·＝||·||cos30°
＝|AB|·|AC|＝2，∴|AB|·|AC|＝4，
由f(M)的定义知，S△ABC＝＋x＋y，
又S△ABC＝|AB|·|AC|·sin30°＝1，
∴x＋y＝(x>0，y>0)
∴＋＝2(x＋y)＝2≥2(5＋2)＝18，等号在＝，即y＝2x＝时成立，∴min＝18.
(理)(2010·江苏无锡市调研)设圆x2＋y2＝1的一条切线与x轴、y轴分别交于点A，B，则AB的最小值为______．
[答案]　2
[解析]　由条件知切线在两轴上的截距存在，且不为零，故设切线方程为＋＝1，则＝1，
∴a2b2＝a2＋b2≥2ab，切线与两轴交于点A(a,0)和(0，b)，不妨设a>0，b>0，∴ab≥2，则AB＝|AB|＝≥≥2.
三、解答题
15．已知α、β都是锐角，且sinβ＝sinαcos(α＋β)．
(1)当α＋β＝，求tanβ的值；
(2)当tanβ取最大值时，求tan(α＋β)的值．
[解析]　(1)∵由条件知，sinβ＝sin，
整理得sinβ－cosβ＝0，
∵β为锐角，∴tanβ＝.
(2)由已知得sinβ＝sinαcosαcosβ－sin2αsinβ，
∴tanβ＝sinαcosα－sin2αtanβ，
∴tanβ＝＝
＝＝≤＝.
当且仅当＝2tanα时，取“＝”号，
∴tanα＝时，tanβ取得最大值，
此时，tan(α＋β)＝＝.
16．(文)(2010·江苏盐城调研)如图，互相垂直的两条公路AM、AN旁有一矩形花园ABCD，现欲将其扩建成一个更大的三角形花园APQ，要求P在射线AM上，Q在射线AN上，且PQ过点C，其中AB＝30米，AD＝20米．记三角形花园APQ的面积为S.

(1)当DQ的长度是多少时，S最小？并求S的最小值．
(2)要使S不小于1600平方米，则DQ的长应在什么范围内？
[解析]　(1)设DQ＝x米(x>0)，则AQ＝x＋20，
∵＝，∴＝，
∴AP＝，则S＝×AP×AQ＝
＝15(x＋＋40)≥1200，当且仅当x＝20时取等号．
(2)∵S≥1600，∴3x2－200x＋1200≥0，
∴0<x≤或x≥60
答：(1)当DQ的长度是20米时，S最小，且S的最小值为1200平方米；
(2)要使S不小于1600平方米，则DQ的取值范围是0<DQ≤或DQ≥60.
(理)某企业准备投入适当的广告费对产品进行促销，在一年内预计销售量Q(万件)与广告费x(万元)之间的函数关系为Q＝(x≥0)．已知生产此产品的年固定投入为3万元，每生产1万元此产品仍需再投入32万元，若每件销售价为“年平均每件生产成本的150%”与“年平均每件所占广告费的50%”之和．
(1)试将年利润W(万元)表示为年广告费x(万元)的函数；
(2)当年广告费投入多少万元时，企业年利润最大？最大利润为多少？
[解析]　(1)由题意可得，产品的生产成本为(32Q＋3)万元，每万件销售价为×150%＋×50%，
∴年销售收入为(×150%＋×50%)·Q
＝(32Q＋3)＋x，
∴年利润W＝(32Q＋3)＋x－(32Q＋3)－x
＝(32Q＋3－x)＝(x≥0)．
(2)令x＋1＝t(t≥1)，则
W＝＝50－.
∵t≥1，∴＋≥2＝8，即W≤42，
当且仅当＝，即t＝8时，W有最大值42，此时x＝7.
即当年广告费为7万元时，企业利润最大，最大值为42万元．
17．(文)(2010·广州市调研)已知点F(0,1)，直线l：y＝－1，P为平面上的动点，过点P作直线l的垂线，垂足为Q，且·＝·.
(1)求动点P的轨迹C的方程；
(2)已知圆M过定点D(0,2)，圆心M在轨迹C上运动，且圆M与x轴交于A、B两点，设|DA|＝l1，|DB|＝l2，求＋的最大值．
[解析]　(1)设P(x，y)，则Q(x，－1)，
∵·＝·，
∴(0，y＋1)·(－x,2)＝(x，y－1)·(x，－2)．
即2(y＋1)＝x2－2(y－1)，即x2＝4y，
所以动点P的轨迹C的方程为x2＝4y.
(2)设圆M的圆心坐标为(a，b)，则a2＝4b①
圆M的半径为|MD|＝.
圆M的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝a2＋(b－2)2.
令y＝0，则(x－a)2＋b2＝a2＋(b－2)2，
整理得，x2－2ax＋4b－4＝0②
将①代入②得x2－2ax＋a2－4＝0，解得x＝a±2，
不妨设A(a－2,0)，B(a＋2,0)，
∴l1＝，l2＝.
∴＋＝＝
＝2＝2③
当a≠0时，＋＝2≤2
＝2.
当且仅当a＝±2时，等号成立．
当a＝0时，由③得，＋＝2.
故当a＝±2时，＋的最大值为2.
(理)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)以双曲线－y2＝1的焦点为顶点，其离心率与双曲线的离心率互为倒数．
(1)求椭圆C的方程；
(2)若椭圆C的左、右顶点分别为点A，B，点M是椭圆C上异于A，B的任意一点．
①求证：直线MA，MB的斜率之积为定值；
②若直线MA、MB与直线x＝4分别交于点P、Q，求线段PQ长度的最小值．
[分析]　由两曲线关系可求得椭圆方程中的系数a、b，即可写出椭圆方程，进而可求得点A，B坐标，设出M点坐标，可列出kMA·kMB的表达式，利用M在椭圆上可消元，通过计算验证结果为常数，再根据点A、M、P三点共线和M、B、Q三点共线就可以找到点P、Q的纵坐标之间的关系，即可求出线段PQ长度的最小值．
[解析]　(1)易知双曲线－y2＝1的焦点为(－2,0)，(2,0)，离心率为，故在椭圆C中a＝2，e＝，∴c＝，b＝1，故椭圆C的方程为＋y2＝1.
(2)①设M(x0，y0)，(x0≠±2)，由题易知A(－2,0)，B(2,0)，则kMA＝，kMB＝，
故kMA·kMB＝·＝，
点M在椭圆C上，则＋y02＝1，
即y02＝1－＝－(x02－4)，故kMA·kMB＝＝－，直线MA，MB的斜率之积为定值．
②解法一：设P(4，y1)，Q(4，y2)，则kMA＝kPA＝，kMB＝kBQ＝，由①得·＝－，即y1y2＝－3，当y1>0，y2<0时，|PQ|＝|y1－y2|≥2＝2，当且仅当y1＝，y2＝－时等号成立，同理可得，当y1<0，y2>0时，当且仅当y1＝－，y2＝时，|PQ|有最小值2.
解法二：设直线MA的斜率为k，直线MA的方程为y＝k(x＋2)，从而P(4,6k)，由①知直线MB的斜率为－，直线MB的方程为y＝－(x－2)，故得Q，故|PQ|＝|6k＋|≥2，当且仅当k＝±时等号成立．