圆锥曲线综合题解.doc

直线和圆锥曲线综合题解
●知识梳理
解析几何是联系初等数学与高等数学的纽带，它本身侧重于形象思维、推理运算和数形结合，综合了代数、三角、几何、向量等知识.反映在解题上，就是根据曲线的几何特征准确地转换为代数形式，根据方程画出图形，研究几何性质.学习时应熟练掌握函数与方程的思想、数形结合的思想、参数的思想、分类与转化的思想等，以达到优化解题的目的.
具体来说，有以下三方面：
（1）确定曲线方程，实质是求某几何量的值；含参数系数的曲线方程或变化运动中的圆锥曲线的主要问题是定值、最值、最值范围问题，这些问题的求解都离不开函数、方程、不等式的解题思想方法.有时题设设计的非常隐蔽，这就要求认真审题，挖掘题目的隐含条件作为解题突破口.
（2）解析几何也可以与数学其他知识相联系，这种综合一般比较直观，在解题时保持思维的灵活性和多面性，能够顺利进行转化，即从一知识转化为另一知识.
（3）解析几何与其他学科或实际问题的综合，主要体现在用解析几何知识去解有关知识，具体地说就是通过建立坐标系，建立所研究曲线的方程，并通过方程求解来回答实际问题.在这一类问题中“实际量”与“数学量”的转化是易出错的地方，这是因为在坐标系中的量是“数量”，不仅有大小还有符号.

●思悟小结
在知识的交汇点处命题，是高考命题的趋势，而解析几何与函数、三角、数列、向量等知识的密切联系，正是高考命题的热点，为此在学习时应抓住以下几点：
1.客观题求解时应注意画图，抓住涉及到的一些元素的几何意义，用数形结合法去分析解决.
2.四点重视：①重视定义在解题中的作用；②重视平面几何知识在解题中的简化功能；③重视根与系数关系在解题中的作用；④重视曲线的几何特征与方程的代数特征的统一.
3.注意用好以下数学思想、方法：
①方程思想；②函数思想；③对称思想；④参数思想；⑤转化思想；⑥分类思想.
除上述几种常用数学思想外，整体思想、数形结合思想、主元分析思想、正难则反思想、构造思想等也是解析几何解题中不可缺少的思想方法.在复习中必须给予足够的重视，真正发挥数学解题思想作为联系知识与能力中的作用，从而提高简化计算能力.

解决直线和圆锥曲线的位置关系的解题步骤是：
（1）直线的斜率不存在，直线的斜率存，
（2）联立直线和曲线的方程组；
（3）讨论类一元二次方程
（4）一元二次方程的判别式
（5）韦达定理，同类坐标变换
（6）同点纵横坐标变换
（7）x,y，k(斜率)的取值范围
（8）目标：弦长，中点，垂直，角度，向量，面积，范围等等

运用的知识：
1、中点坐标公式：，其中是点的中点坐标。
2、弦长公式：若点在直线上，
则，这是同点纵横坐标变换，是两大坐标变换技巧之一，

或者
。
3、两条直线垂直：则
两条直线垂直，则直线所在的向量
4、 韦达定理：若一元二次方程有两个不同的根，则。

题1图
例1．如题1图，是抛物线上的动点，点在轴上，圆内切于，求面积的最小值．（2008年全国高中数学联赛A卷）
[解] 设，不妨设．
直线的方程:，
化简得 ．
又圆心到的距离为1，
，
故，
易知，上式化简得，…………… 
同理有． …………………………………‚
由 ‚知 　　　　　　　　　　　　　
所以，，则
．
因是抛物线上的点，有，则
，． 　　　　　　
所以
　　．
当时，上式取等号，此时．
因此的最小值为8．

例2：过点T(-1,0)作直线与曲线N ：交于A、B两点，在x轴上是否存在一点E(,0)，使得是等边三角形，若存在，求出；若不存在，请说明理由。
分析：过点T(-1,0)的直线和曲线N ：相交A、B两点，则直线的斜率存在且不等于0，可以设直线的方程，联立方程组，消元，分析类一元二次方程，看判别式，运用韦达定理，得弦的中点坐标，再由垂直和中点，写出垂直平分线的方程，得出E点坐标，最后由正三角形的性质：中线长是边长的倍。运用弦长公式求弦长。
解：依题意知，直线的斜率存在，且不等于0。
设直线，，，。
由消y整理，得
①
由直线和抛物线交于两点，得

即 ②
由韦达定理，得：。
则线段AB的中点为。
线段的垂直平分线方程为：

令y=0,得，则
为正三角形，
到直线AB的距离d为。

解得满足②式
此时。
思维规律：直线过定点设直线的斜率k，利用韦达定理法，将弦的中点用k表示出来，再利用垂直关系将弦的垂直平分线方程写出来，求出了横截距的坐标；再利用正三角形的性质：高是边长的倍，将k确定，进而求出的坐标。
特别提醒：与直线垂直的直线可设为：（想想为什么？）
与直线垂直的直线可设为：

例3：已知过点(0，1)的直线l与曲线C：交于两个不同点M和N。求曲线C在点M、N处切线的交点轨迹。（高中数学竞赛2007年全国高中数学联合竞赛一试试卷）
解：设点M、N的坐标分别为(x1，y1)和(x2，y2)，曲线C在点M、N处的切线分别为l1、l2，其交点P的坐标为(xp，yp)。若直线l的斜率为k，则l的方程为y=kx+1。
由方程组，消去y，得，即(k−1)x2+x−1=0
由题意知，该方程在(0，+∞)上有两个相异的实根x1、x2，故k≠1，且
Δ=1+4(k−1)>0 …………………………………………(1)
…………………………………………(2)
……………………………………………(3)
由此解得
对求导，得，则，
于是直线l1的方程为，
即，
化简后得到直线l1的方程为 …………………………(4)
同理可求得直线l2的方程为 …………………………(5)
(4) −(5)得，
因为x1≠x2，故有………………………………………………(6)
将(2)(3)两式代入(6)式得xp=2
(4) +(5)得 …………………………………(7)其中，代入(7)式得 2yp=(3−2k)xp+2，
而xp=2，得yp=4−2k ， 又由得，即点P的轨迹为(2，2)，(2，2.5)两点间的线段（不含端点）。

例4： 给定椭圆，称圆心在原点，半径为的圆是椭圆Ｃ的“准圆”.若椭圆C的一个焦点为，其短轴上的一个端点到Ｆ的距离为.
（I）求椭圆Ｃ的方程和其“准圆”方程；
(II )点P是椭圆C的“准圆”上的一个动点，过点P作直线，使得与椭圆C都只有一个交点，且分别交其“准圆”于点M，N .
（1）当P为“准圆”与轴正半轴的交点时，求的方程；
（2）求证：|MN|为定值.
解：（I）因为，所以 ……………2分
所以椭圆的方程为，
准圆的方程为 . ……………4分
（II）（1）因为准圆与轴正半轴的交点为P（0，2）, ……………5分
设过点P（0，2），且与椭圆有一个公共点的直线为,
所以，消去y ，得到 , ……………6分
因为椭圆与只有一个公共点,
所以 , ……………7分
解得. ……………8分
所以方程为. ……………9分
（2）①当中有一条无斜率时，不妨设无斜率，
因为与椭圆只有一个公共点，则其方程为或，
当方程为时，此时与准圆交于点，
此时经过点(或)且与椭圆只有一个公共点的直线是
(或)，即为(或)，显然直线垂直；
同理可证 方程为时，直线垂直. ……………10分
② 当都有斜率时，设点，其中，
设经过点与椭圆只有一个公共点的直线为,
则，消去得到，
即,
，
经过化简得到:,
因为，所以有,
设的斜率分别为,因为与椭圆都只有一个公共点，
所以满足上述方程,
所以，即垂直. ……………12分
综合①②知：因为经过点，又分别交其准圆于点M，N，且垂直，
所以线段MN为准圆的直径，所以|ＭＮ|＝４. ……………13分

例5：已知抛物线C：与直线l：没有公共点，设点P为直线l上的动点，过P作抛物线C的两条切线，A，B为切点．（2009湖北省预赛）
(1)证明：直线AB恒过定点Q；
(2)若点P与（1）中的定点Q的连线交抛物线C于M，N两点，证明：．
证明 (1)设，则．
由得，所以．
于是抛物线C在A点处的切线方程为，即．
　　设，则有．
设，同理有．
这表明两点均在直线由两点决定一条直线知AB的方程为
，即，
所以直线AB恒过定点．
(2)PQ的方程为，与抛物线方程联立，消去y，得
．
设，，则
…………………… … 
要证，只需证明，即
……………………………………………‚
由①知②式左边=
．
故②式成立，从而结论成立．

例6、（2008年湖南省高中数学竞赛试题A卷）

例7. ：已知双曲线：和圆：（其中原点为圆心），过双曲线上一点引圆的两条切线，切点分别为、．
（1）若双曲线上存在点，使得，求双曲线离心率的取值范围；
（2）求直线的方程；
（3）求三角形面积的最大值．（2011年广州二模）
解：（1）因为，所以，所以，
由及圆的性质，可知四边形是正方形，所以．
因为，所以，所以，
故双曲线离心率的取值范围为．
（2）方法1：因为，
所以以点为圆心，为半径的圆的方程为．
因为圆与圆两圆的公共弦所在的直线即为直线，所以联立方程组
消去，，即得直线的方程为．
方法2：设，已知点，
则，．
因为，所以，即．
整理得．
因为，所以．
因为，，根据平面几何知识可知，．
因为，所以
所以直线方程为．
即．
所以直线的方程为
方法3：设，已知点，
则，．
因为，所以，即，
x
y
O
P
A
B
整理得．
因为，所以
这说明点在直线上．
同理点也在直线上．
所以就是直线的方程．
（3）由（2）知，直线的方程为，
所以点到直线的距离为．
因为
所以三角形的面积
以下给出求三角形的面积的三种方法：
方法1：因为点在双曲线上，
所以，即．
设
所以
因为
所以当时，，当时，．
所以在上单调递增，在上单调递减．
当，即时，
当，即时，．
综上可知，当时，；当时，．
方法2：设，则．
因为点在双曲线上，即，即．
则
令，则．
所以当时，，当时，．
所以在上单调递减，在上单调递增．
当，即时，，
当，即时，．
综上可知，当时，；当时，．
方法3：设，则．
因为点在双曲线上，即，即．
所以
令，
所以在上单调递增，在上单调递减．
因为，所以，
当，即时，，此时．

当，即时，，此时．
综上可知，当时，；当时，

例8：已知椭圆，以A（0，1）为直角顶点，边AB、BC与椭圆交于两点B、C。若△ABC面积的最大值为，求的值。
解： 不妨设的方程，则的方程为。
由得：
由得：
从而有
于是

令，有
因为 时等号成立。
因此当
令

例9.：过点(1，0)的直线l与中心在原点，焦点在x轴上且离心率为的椭圆C相交于A、B两点，直线y=x过线段AB的中点，同时椭圆C上存在一点与右焦点关于直线l对称，试求直线l与椭圆C的方程.
解法一：由e=,得,从而a2=2b2,c=b.
设椭圆方程为x2+2y2=2b2,A(x1,y1),B(x2,y2)在椭圆上.
则x12+2y12=2b2,x22+2y22=2b2,两式相减得，
(x12－x22)+2(y12－y22)=0,
设AB中点为(x0,y0),则kAB=－,
又(x0,y0)在直线y=x上，y0=x0,
于是－=－1,kAB=－1,
设l的方程为y=－x+1.
右焦点(b,0)关于l的对称点设为(x′,y′),

由点(1,1－b)在椭圆上，得1+2(1－b)2=2b2,b2=.
∴所求椭圆C的方程为 =1,l的方程为y=－x+1.
解法二：由e=,从而a2=2b2,c=b.
设椭圆C的方程为x2+2y2=2b2,l的方程为y=k(x－1),
将l的方程代入C的方程，得(1+2k2)x2－4k2x+2k2－2b2=0,
则x1+x2=,y1+y2=k(x1－1)+k(x2－1)=k(x1+x2)－2k=－.
直线l：y=x过AB的中点(),则,
解得k=0，或k=－1.
若k=0,则l的方程为y=0,焦点F(c,0)关于直线l的对称点就是F点本身，不能在椭圆C上，所以k=0舍去，从而k=－1，直线l的方程为y=－(x－1),即y=－x+1,以下同解法一.
解法3：设椭圆方程为
直线不平行于y轴，否则AB中点在x轴上与直线中点矛盾。
故可设直线

，

，，，
，，
，，
，，，
，，
则，
，，
，
所以所求的椭圆方程为：

例10： 过椭圆C：上一动点P引圆O：x2 +y2 =b2的两条切线PA、PB，A、B为切点，直线AB与x轴，y轴分别交于M、N两点。(1) 已知P点坐标为(x0，y0 )并且x0y0≠0，试求直线AB方程；(2) 若椭圆的短轴长为8，并且，求椭圆C的方程；(3) 椭圆C上是否存在点P，由P向圆O所引两条切线互相垂直？若存在，请求出存在的条件；若不存在，请说明理由。
解：(1)设A(x1，y1)，B(x2， y2)
切线PA：，PB：
∵P点在切线PA、PB上，∴
∴直线AB的方程为
(2)在直线AB方程中，令y=0，则M(，0)；令x=0，则N(0，)
∴ ①
∵2b=8 ∴b=4 代入①得a2 =25, b2 =16
∴椭圆C方程： （注：不剔除xy≠0，可不扣分）
(3) 假设存在点P(x0，y0)满足PA⊥PB，连接OA、OB由|PA|=|PB|知，
四边形PAOB为正方形，|OP|=|OA| ∴ ①
又∵P点在椭圆C上 ∴ ②
由①②知x
∵a>b>0 ∴a2 －b2>0
(1)当a2－2b2>0，即a>b时，椭圆C上存在点，由P点向圆所引两切线互相垂直；
(2)当a2－2b2<0，即b<a<b时，椭圆C上不存在满足条件的P点

例11： 已知点B（－1，0），C（1，0），P是平面上一动点，且满足
（1）求点P的轨迹C对应的方程；
（2）已知点A（m,2）在曲线C上，过点A作曲线C的两条弦AD和AE，且AD⊥AE，判断：直线DE是否过定点？试证明你的结论.
（3）已知点A（m,2）在曲线C上，过点A作曲线C的两条弦AD，AE，且AD，AE的斜率k1、k2满足k1·k2=2.求证：直线DE过定点，并求出这个定点.
解：（1）设

例12.：已知双曲线的离心率为2，过点斜率为1的直线交双曲线于两点，且
(1) 求双曲线方程；
(2) 设Q为双曲线右支上动点，为双曲线的右焦点，在轴负半轴上是否存在定
点，使得?若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由。
解：由已知得:，∴双曲线方程可化为。设直线方程为代入得,
,∴直线一定与双曲线相交
设，则
∴消去得，

(2)设，由于，
∵ ∴
∴，将代入得
∵，∴，
得
∴在轴负半轴上存在定点，使得。

例13： 已知为抛物线的焦点， M点的坐标为(4,0)，过点F作斜率为的直线与抛物线交于A、B两点，延长AM、BM交抛物线于C、D两点，设直线的斜率为．（I）求的值；
（II）求直线AB与直线CD夹角θ的取值范围．
解：（I）由条件知，设、、、，不妨设．直线的方程为，与联立得
所以，．
① 当时，则，故，，即．
直线的方程为，从而；直线的方程为：，
与联立得，得，，即．
于是，．所以．．
② 当时，直线AM方程为与抛物线方程
联立得，又由，
化简上述方程得
此方程有一根为x1，所以另一根，．即，同理，．
所以，，即．
由①、②可知．

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