线段之和的最短问题.docx

<<专题：线段之和的最短问题>>教案设计
一、本节内容的地位与作用：
学生已复习了初中阶段全部的数学内容，对基础知识有了一定的掌握，本节课在此基础上进一步复习专题——线段之和最短问题．本节内容主要是运用数形结合和思想，综合轴对称、平移、线段垂直平分线的性质和勾股定理以及一些常见的轴对称图形的性质解决线段之和最短问题，本节课从南宁市两道中考题出发，引出“线段之和的最短问题”，从轴对称入手，利用图形和勾股定理，得出当两个点在对称轴的两侧时以这两个点为端点的线段是最短的，这时两条线段的和最短，使学生了解这一类题的解法，进而引出这个结论在一些常见的轴对称图形中的应用．
通过本节内容的学习，可使学生掌握求线段之和最短这类问题的解法，提高学生综合运用数学知识的能力．
二、教学目标：
（1）知识与技能目标：通过南宁市两道中考题，以及它们在课本的原型题目，归纳出解决最短路径问题的基本图形，掌握线段之和最短这一类问题的解决方法，并能综合运用轴对称的性质，平移的性质，线段垂直平分线的性质，勾股定理，以及一些常用的轴对称图形的轴对称性，建构数学模型，解决问题．
（2）过程与方法目标：通过观察、分析、对比等方法，提高学生分析问题、解决问题的能力，进一步强化分类、归纳、综合的思想，发展应用和自主探究意识，并培养学生的综合能力．
（3）情感与态度目标：通过对问题的解决，了解专题复习的方法，并通过教师指导，享受学习数学的快乐，使学生有成就感，培养学生的合作精神，树立学好数学的信心．

三、教学重点：抓住问题本质，求线段之和最短，综合运用有关知识解决问题．

学法指导：自主学习，小组合作、交流探究

四、教学难点：找准本质，求线段之和最短，综合运用有关知识解决问题．

五、教学关键：运用好数形结合的思想，特别是从轴对称、平移和线段垂直平分线的性质入手，获得求线段之和最短问题的直观形象，以便准确理解本节课的内容。

六、教学过程：
（一）新课引入： 我们在八年级上册曾学习过“最短路径问题”，运用所学的“两点的所有连线中线段最短”“连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短”，来选择最短路径。

【设计意图】 这是本节课要用到的一些知识，设计知识的最近发展区，为本节课的内容作好铺垫，分散难点
最短路径问题也是中考热门考点，比如：2015年南宁中考第11题（3分）和2012年南宁中考第26题 ：
11.如图6，AB是⊙O的直径，AB=8，点M在⊙O上，∠MAB=20°,N是弧MB的中点,P是 直径AB上的一动点，若MN=1，则△PMN周长的最小值为（ ）.
（A）4 （B）5 　 （C）6 （D）7
26．已知点A（3，4），点B为直线x=-1上的动点，（-1，y）．
（1）如图1，若点C（x，0）且-1＜x＜3，BC⊥AC，求y与x之间的函数关系式；
（2）在（1）的条件下，y是否有最大值？若有，请求出最大值；若没有，请说明理由；
（3）如图2，当点B的坐标为（-1，1）时，在x轴上另取两点E，F，且EF=1．线段EF在x轴上平移，线段EF平移至何处时，四边形ABEF的周长最小？求出此时点E的坐标．

这些中考题在课本的原型是“饮马问题”“造桥选址问题”，解决这类问题涉及到的数学问题是：
点A和点B是直线L外的两点，请在直线L上确定一点P，使点P分别到点A、点B的距离之和最小。
根据题意画出图形：
两点位于直线的异侧 两点位于直线的同侧

作图方法是：

归纳： 图1就是根据“两点之间线段最短”解决。
图2利用轴对称（找点关于线的对称点）， 将“折”转“直”，把图2转化为图1来解决。
解决 “最短路径问题” 涉及到的两个基本图形是：

【小结】 两定点位于直线的异侧
1.图形特征：2定点1动点 （ 两线段之和属于变量线段相加）
两定点位于直线的同侧
2.作图关键：利用轴对称，选点作线的对称点
3.作图目的：将“折”转“直”
4.作图依据： “两点之间线段最短”
（二）合作交流，探究方法：
例1：（2015南宁第11题3分）
11. 如图6，AB是⊙O的直径，AB=8，点M在⊙O上，∠MAB=20°,N是弧MB的中点,P是 直径AB上的一动点，若MN=1，则△PMN周长的最小值为（ ）.
（A）4 （B）5 　 （C）6 （D）7
让学生找到如下基本图形

基本图形：2定点1动点（两定点位于直线的同侧）
1.找点定线，判断符合那个基本图形

【解法小结】 2. 作轴对称（选点作线的对称点），实现将“折” 转“直”

3. 计算
例2：（课本八年级上册93页第15题）
15.如图，A为马厩，B为帐篷，牧马人某天要从马厩牵出马，先到草地边的某一处牧马，再到河边饮水，然后回到帐篷，请你帮他确定这一天的最短路线．作出图形并说明理由.

让学生先观察图形特征：2定点2动点
属于：变量线段+变量线段+….
学生通过课件上的动态演示，观察分析得到作图方法。

【小结】通过轴对称变化，找点关于线的对称点，实现将“折”转“直” 。
图形特征：2定点2动点，属于：变量线段+变量线段+….
作图方法：作轴对称
例3：（课本八年级上册86页课题学习问题2）
（造桥选址问题）如图，A和B两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN，桥造在何处才能使从A到B的路径AMNB最短？（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直。）

让学生先思考讨论交流发现图形特征： 2定点2动点 ，
属于：变量线段+定量线段
与前面题目的区别是：定量线段，所以作图方法与前面（变量线段+变量线段+….）不同。
引导学生利用平移，将定量(线段) 转移到某一定点 。
【设计意图】 小组合作交流，借助学生对问题的解决，唤醒学生对轴对称和线段性质的确认，体验了“发现”知识的快乐，变被动接受为主动探究．有助于方法的解决，并且发展学生的观察力与语言表述能力．
【解题小结】

A
B
Q
P
E
D
C

（三）课堂练习：
练习1：（2015玉林防城港第18题3分）
18. 如图，已知正方形ABCD边长为3，点E在AB边上且BE=1，点P，Q分别是边BC，CD的动点（均不与顶点重合），当四边形AEPQ的周长取最小值时，四边形AEPQ的面积是______。
第18题
练习2:（2012南宁26题）
26．已知点A（3，4），点B为直线x=-1上的动点，设B（-1，y）．
（1）如图1，若点C（x，0）且-1＜x＜3，BC⊥AC，求y与x之间的函数关系式；
（2）在（1）的条件下，y是否有最大值？若有，请求出最大值；若没有，请说明理由；
（3）如图2，当点B的坐标为（-1，1）时，在x轴上另取两点E，F，且EF=1．线段EF在x轴上平移，线段EF平移至何处时，四边形ABEF的周长最小？求出此时点E的坐标．

练习3：如图，直线AB、AC交于点A，点P位于∠BAC的内部，在AB、AC边上分别确定点M和点N，使得PM+MN+NP最小 。

练习4：2015（遵义）
如图，四边形ABCD中∠C=50°∠B=∠D=90°，E,F分别是BC、DC上的点，当△AEF的周长最小时，∠EAF的度数为_____

练习5:（2015绥化）
如图 ，在矩形ABCD中 ，AB=10 , BC=5 . 若点M、N分别是线段ACAB上的两个动点 ，   则BM+MN的最小值为（   ）
A. 10        B.  8           C.  5          D. 6

【设计意图】 设计练习，使学生对求线段之和最短这一类问题的解决方法加以巩固，让学生从运用所学知识解决问题的过程，获得成功的体验，从而激发他们学习的积极性．重点考察学生对图形的观察能力及数形结合的能力

七、板书设计：
专题复习——线段之和最短问题

1、方法总结：

2、学生展示：

八、教学反思：
通过本节课之前学生已复习了初中阶段全部的数学内容，对基础知识有了一定的掌握，在此基础上进一步复习专题——线段之和最短问题．本节内容主要是运用数形结合和思想，综合轴对称、平移、线段垂直平分线的性质和勾股定理以及一些常见的轴对称图形的性质解决线段之和最短问题。本节课从南宁市两道中考题出发，引出“线段之和的最短问题”，并归纳出涉及“线段之和的最短问题”的几何模型（即基本图形），让学生对三个例题进行合作探究，得到解决“线段之和的最短问题”的解题思路和一般步骤，进而引出这个结论在一些常见的轴对称图形中的应用．
通过本节内容的学习，可使学生掌握求线段之和最短这类问题的解法，提高学生综合运用数学知识的能力．但不足的是学生对这类问题只掌握解题步骤的第一步（判断图形特征）和第二步（画图），第三步（计算）是他们的薄弱环节。因为第三步计算要求学生具有很强的综合知识解题能力才行。