最大面积问题与一元二次方程.doc

华章文化 电子导学案
22.3 实际问题与二次函数
第1课时 二次函数与图形面积

能从实际问题中分析、找出变量之间的二次函数关系，并能利用二次函数的图象和性质求出实际问题的答案.

自学反馈 学生独立完成后集体订正
1.二次函数y=a(x-h)2+k的图象是一条________，它的对称轴是________，顶点坐标是________. .
2.二次函数y=ax2+bx+c的图象是一条________ ，它的对称轴是________，顶点坐标是______. 当a>0时，抛
物线开口向___，有最___点，函数有最___值，是_______；当 a<0时，抛物线开口向____，有最 ___点，函数有最 _______值,是________。
3. 二次函数y=2(x-3)2+5的对称轴是______，顶点坐标是______。当x=____ 时，y的最___值是______。
4. 二次函数y=-3(x+4)2-1的对称轴是________，顶点坐标是_______。当x=_____时，函数有最_____值，是______。
5.二次函数y=2x2-8x+9的对称轴是_______，顶点坐标是______.当x=____时，函数有最____值，是_____。
6如图，点C是线段AB上的一点，AB=1，分别以AC和CB为一边作正方形，用S表示这两个正方形的面积之和，下列判断正确的是(A)
A.当C是AB的中点时，S最小
B.当C是AB的中点时，S最大
C.当C为AB的三等分点时，S最小
D.当C是AB的三等分点时，S最大
7用长8 m的铝合金制成如图所示的矩形窗框，使窗户的透光面积最大，那么这个窗户的最大透光面积是 m2.

第②题图 第③题图
8如图所示，某村修一条水渠，横断面是等腰梯形，底角为120°，两腰与下底的和为4 cm，当水渠深x为时，横断面面积最大，最大面积是.
先列出函数的解析式，再根据其增减性确定最值.

活动1 小组讨论
例1 某建筑的窗户如图所示，它的上半部是半圆，下半部是矩形，制造窗框的材料长为15 m(图中所有线条长度之和)，当x等于多少时，窗户通过的光线最多(结果精确到0.01 m)？此时，窗户的面积是多少？
解:由题意可知4y+×2πx+7x=15.化简得y=.
设窗户的面积为S m2，则S=πx2+2x×=-3.5x2+7.5x.
∵a=-3.5<0，∴S有最大值.∴当x=-=≈1.07 (m)时，
S最大=≈4.02(m2).即当x≈1.07 m时，窗户通过的光线最多.
此时，窗户的面积是4.02 m2.
此题较复杂，特别要注意:中间线段用x的代数式来表示时，要充分利用几何关系；要注意顶点的横坐标是否在自变量x的取值范围内.
活动2 跟踪训练(小组讨论解题思路共同完成并展示)
如图，要设计一个等腰梯形的花坛，花坛上底长120米，下底长180米，上下底相距80米，在两腰中点连线(虚线)处有一条横向甬道，两腰之间有两条竖直甬道，且它们的宽度相等，设甬道的宽为x米.
①用含x的式子表示横向甬道的面积；
②当三条甬道的总面积是梯形面积的八分之一时，求甬道的宽；
③根据设计的要求，甬道的宽不能超过6米，如果修建甬道的总费用(万元)与甬道的宽度成正比例关系，比例系数是5.7，花坛其余部分的绿化费用为每平方米0.02万元，那么当甬道的宽度为多少米时，所建花坛的总费用最少？最少费用是多少万元？
解：①150x m2；②5 m；③当甬道宽度为6 m时，所建花坛总费用最少，为238.44万元.
想象把所有的阴影部分拼在一起就是一个小梯形.

活动1 小组讨论
例2 如图，从一张矩形纸较短的边上找一点E，过E点剪下两个正方形，它们的边长分别是AE、DE，要使剪下的两个正方形的面积和最小，点E应选在何处？为什么？
解:设矩形纸较短边长为a，设DE=x，则AE=a-x.
那么两个正方形的面积和y为y=x2+(a-x)2=2x2-2ax+a2.当x=a时，
y最小=2×(a)2-2a×a+a2=a2. 即点E选在矩形纸较短边的中点时，剪下的两个正方形的面积和最小.
此题关键是充分利用几何关系建立二次函数模型，再利用二次函数性质求解.
活动2 跟踪训练(独立完成后展示学习成果)
如图，有一块空地，空地外有一面长10 m的围墙，为了美化生活环境，准备靠墙修建一个矩形花圃，用32 m长的不锈钢作为花圃的围栏，为了浇花和赏花的方便，准备在花圃的中间再围出一条宽为1 m的通道及在左右花圃各放一个1 m宽的门，花圃的宽AD究竟应为多少米才能使花圃的面积最大？

解：当x=6.25 m时，面积最大为56.25 m2 .
此题要结合函数图象求解，顶点不在取值范围内.
活动3 课堂小结
学生试述:这节课你学到了些什么？

教学至此，敬请使用学案当堂训练部分.

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