必修二第一章-《空间几何体的三视图和直观图》一校蔡远方.doc

学科教师辅导讲义
讲义编号
学员编号： 年 级： 课时数： 3
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课 题
空间几何体的三视图和直观图
授课日期及时段

教学目的
1.掌握斜二测画法画水平设置的平面图形的直观图；
2.采用对比的方法了解在平行投影下画空间图形与在中心投影下画空间图形两种方法的各自特点；
教学内容
一、 课前检测
1．下列说法正确的是( )
　　A．相等的线段在直观图中仍然相等
　　B．若两条线段平行，则在直观图中对应的两条线段仍然平行
　　C．两个全等三角形的直观图一定也全等
　　D．两个图形的直观图是全等的三角形，则这两个图形一定是全等三角形.
2．对于一个底边在x轴上的三角形，采用斜二测画法作出其直观图，
　　　 其直观图面积是原三角形面积的( ).
　　A．2倍 　　　　　　B．倍 　　　　　C．倍　　　　　　 D．倍

3．如图所示的直观图，其平面图形的面积为( ).
　　A．3　　　　 B．6　　　　　 C．　　　　　D．

4．一个平面的斜二测图形是边长为2的正方形，则原图形的高是________.

5．利用斜二测画法得到的图形，有下列说法：①三角形的直观图仍是三角形；②正方形的直观图仍是正方形；③平行四边形的直观图仍是平行四边形；④菱形的直观图仍是菱形.其中说法正确的序号依次是__________.
6．关于“斜二测”直观图的画法，有如下说法：
　　①原图形中平行于y轴的线段，其对应线段平行于y轴，长度变为原来的；
　　②画与直角坐标系对应的必须是45°；
　　③在画直观图时，由于选轴的不同，所得的直观图可能不同；
　　④等腰三角形的直观图仍为等腰三角形；
　　⑤梯形的直观图仍然是梯形；
　　⑥正三角形的直观图一定为等腰三角形.
　　其中说法正确的序号依次是___________.

　　BCB 或；　　①③；　　　、①⑤

二、 知识梳理
1.2空间几何体的三视图和直观图（1）
知识归纳
1.中心投影与平行投影
①光由一点向外散射形成的投影叫做 ，中心投影的 交于一点．
②在一束平行光线照射下形成的投影叫做 ．平行投影的 是平行的，在平行投影中，投影线 投影面时，叫做正投影，否则叫斜投影．与投影面平行的平面图形，在平行投影下得到的影子与原平面图形全等；在中心投影下的影子与原平面图形相似．
2.三视图
三视图是观察者从 观察同一个几何体画出的空间几何体图形，三视图包括 、 和 ．
换言之，正视图即从正面往投影面看所看到的图；侧视图即从左面往投影面看所看到的图；俯视图即从上面往投影面看所看到的图．
知识归纳答案：1．①中心投影，光线；②平行投影，光线，垂直于．2．从三个不同的位置，正视图、侧视图、俯视图．

方法点拨
1. 画三视图的基本方法
(1)确定正视方向，确定投影面；
(2)布置视图，按三视图的位置关系，画各视图的定位线，如中心线或某些边线；
(3)一般从正视图画起，按投影规律，再画另两个视图．
(4)完成三视图绘制，把能看见的轮廓线和棱用实线表示，不能看见的用虚线表示．
2.三视图的排列规则
俯视图放在正视图的下面，长度与正视图的长度一样；侧视图放在正视图的右面，高度与正视图的高度一样，宽度与俯视图的宽度一样，可间记为“长（左右距离）对正；高（上下距离）平齐；宽（前后距离）相等”或“正侧一样高，正俯一样长，侧俯一样宽”．如下图是六棱柱的三视图:

3.几种常见几何体的三视图
(1)圆柱的正视图和侧视图都是矩形，俯视图是一个圆；
(2)圆锥的正视图和侧视图都是等腰三角形，俯视图是一圆和其圆心；
(3)球的三视图都是圆．
如下图所示:
(1)圆柱的三视图
(2)圆锥的三视图
(3)球的三视图
4.组合体的三视图
应认清结构，把组合体分解成基本的几何体，再按基本几何体画图，并注意三视图的位置和大小关系．
1.2空间几何体的三视图和直观图（2）
知识归纳
1.直观图
直观图是观察者 观察几何体画出的空间几何体的图形．
2.利用斜二侧画法画空间图形的平面直观图的一般步骤:
①建立直角坐标系．
在已知水平放置的平面图形中取互相垂直的x轴、y轴，两轴相交于点O．
②画出斜坐标系．
在画直观图的纸上（平面上）画出对应的，，使 ，它们确定的平面表示水平平面．
③画对应图形．
在已知图形平行于轴的线段，在直观图中画成平行于 ，且长度 ；在已知图形平行于轴的线段，在直观图中画成平行于 ，且长度 ．
④擦去辅助线．
图画好后，要擦去轴、轴及为画图添加的辅助线（虚线）．
3.立体图形直观图的画法
画立体图形的直观图，在画轴时，要多画一条与平面垂直的轴．且平行于的线段长度 ．其他同平面图形的画法．
知识归纳答案：1.站在某一点．2.②450（或1350）；③轴，保持不变，轴，为原来的一半；3.保持不变．

方法点拨
1.利用斜二侧画法画空间几何体的直观图的步骤:
①在已知图形所在的空间中取水平平面，作互相垂直的轴、，再作轴，使
②画出与、、对应的轴，使所确定的平面表示水平平面．
③已知图形中，平行于轴、轴和轴的线段，在直观图中画成平行于轴、轴和轴的线段，并使它们在所画坐标轴中的位置关系与已知图形中相应线段和原坐标轴的位置关系相同．
④已知图形中平行于轴和轴的线段，在直观图中保持长度不变；平行于轴的线段，在直观图中画成平行于轴，且长度变为原来的一半．
⑤擦除作为辅助线的坐标轴，就得到了空间图形的直观图．
2.应注意的几个问题
(1) 直观图与三视图的区别
绘制物体的直观图一般采用斜投影或中心投影，可以显示空间几何体的直观形象，但作图复杂，且线段长度不如三视图要求严格；而三视图对线段的长度有严格的规定，一般在工程制图中应用广泛．
(2)由直观图还原实际图形
将水平放置的平面图形的直观图还原成原来的实际图形，其作法就是逆用斜二测画法，也就是使平行于轴的线段的长度不变，而平行于轴的线段长度变为原来的2倍．
(3) 求直观图面积
求直观图面积关键是依据斜二测画法，求出相应的直观图的底边和高，也就是在原来实际图形中的高线，在直观图中变为与水平直线成角且长度为原来的一半的线段，以此为依据来求出相应的高线即可．

三、 重难点突破
1.一个几何体的三视图如下图所示，

那么这个几何体是（ ）

A． B． C． D．
解析：由正视图可排除A、B、D，选C．
2.给出下列四个命题：
①平行投影的投影线互相平行，中心投影的投影线相交于一点；
②空间图形经过中心投影后，平行线可能变成了相交的直线；
③在同一直线或平行直线上，两条线段平行投影的比等于这两条线段的比；
④空间几何体在平行投影与中心投影下有不同的表现形式．
上述命题中，正确命题的个数是( )
A.1 B.2 C.3 D.4
解析：由平行投影和中心投影的概念可知，以上四个命题均正确，选D．
3.如下图，是几个相同的小正方体搭成的几何体的三视图，则搭成这个几何体的小正方体的个数是 ．

解析：利用还原法，根据三视图画出它的立体图形．本题的立体图形如上左图所示，可知正确答案应该是5个．填5．
4.如下右图是由四个相同的小立方体组成的立体图形的正视图和侧视图，那么原立体图形可能是 ．(把下图中正确的立体图形的序号都填在横线上)．

解析：分别作出四个几何体的正视图和俯视图，填①②④．
5.如图，设所给的方向为物体的正视方向，试画出它的三视图．（单位：cm）

解：该几何体的三视图如下图所示．

6.用三个正方体，一个圆柱，一个圆锥的积木摆成如图※所示的几何体，其正视图为( )

解析：正视图的左上方应该是一个三角形．选A．
7.甲、乙、丙、丁四人分别面对面坐在一个四边形桌子旁边，桌上一张纸上写着数字“9”，甲说他看到的是“6”，乙说他看到的是“”，丙说他看到的是“”，丁说他看到的是“9”，则下列说法正确的是( )
A.甲在丁的对面，乙在甲的左边，丙在丁的右边
B.丙在乙的对面，丙的左边是甲，右边是乙
C.甲在乙的对面，甲的右边是丙，左边是丁
D.甲在丁的对面，乙在甲的右边，丙在丁的右边
解析：易得甲、乙、丙、丁四人位置如下图所示，选D．

例8 利用斜二测画法得到的
①三角形的直观图一定是三角形；
②正方形的直观图一定是正方形；
③等腰梯形的直观图一定是等腰梯形；
④平行四边形的直观图一定是平行四边形．
以上结论正确的是（ ）
A.①②　　 B.①④　　　 C.③④　　 D.①②③④
解析:依据斜二测画法的要求，平行于轴的线段，在直观图中的长度变为原来的一半，则正方形的直观图不是正方形，等腰梯形的直观图不是等腰梯形．故②③错误，①④正确，选B．
评注: 斜二测画法保持平行性和相交性不变，即平行直线的直观图仍是平行直线，相交直线的直观图仍是相交直线．
例9一个水平放置的平面图形的斜二侧直观图是一个底角为45°，腰和上底长均为1的等腰梯形，则这个平面图形的面积是（ 　 ）
A． B．
C． D．
解析：如图，在直观图A′B′C′D′中，C′D′＝A′D′＝1、，因此，在原平面图ABCD中，AB＝、CD＝1，AD＝2．故梯形ABCD的面积．选D．
评注:用斜二测画法画出的水平放置的平面图形的直观图的面积是原图形面积的倍或．本题可以用该结论解为：由已知可得等腰梯形的高为、下底长为、其面积为，根据结论，有原平面图形的面积为．
例10如图1，表示水平放置的直观图，在轴上，与轴垂直，且，则的边上的高为 ．

图1 图2
解析：如图2，过作平行于轴，交点为，则在中，==，所以的边上的高为．填．
评注: 要求实际图形的高，需在直观图中过顶点作与轴的平行线，求出其长度，再将所求长度变为两倍即可．其实由结论，原三角形的高是直观图中的三角形高的倍即可得到．
例11用斜二测画法作出长为3cm、宽为4cm的矩形的直观图．
分析：用斜二测画法，即在已知图形所在的空间中取水平平面，作轴，轴使，然后依据平行投影的有关性质逐一作图．
解：（1）在矩形ABCD中取AB、AD所在边分别为轴与轴，相交于O点（O与A重合），画对应轴、轴使；
（2）在轴上取 A′、B′使A′B′=AB，在轴上取D′，使A′D′=AD，过D′作D′C′平行轴的直线，且等于DC的长；
（3）连结C′B′，所得的四边形A′B′C′D′ 就是矩形ABCD的直观图．

评注：要尽量运用原有直线为坐标轴或图形的对称直线为坐标轴，或利用图形的对称点为原点或原有垂直正交的直线为坐标轴．
例11画出底面是正五边形且侧棱与底面垂直的五棱柱的直观图，使底面边长为3cm侧棱长为5cm．
分析：先画个正五边形，再利用斜二测画法作底面为正五边形的直观图，而后沿平行于轴方向平移即可得．
解：作法如下：
（1）画轴：画、、轴，记坐标原点为，使；
（2）画底面：建立直角坐标系，按轴、轴画正五边形的直观图；
（3）画侧棱：过各点分别作轴的平行线，并在这些平行线上分别截取，使它们都等于5cm；
（4）成图：顺次连结，并加以整理，去掉辅助线，改被遮挡的部分为虚线，就得到原几何体的直观图．

评注：(1)用此方法可以依次画出棱锥、棱柱、棱台等多面体的直观图；(2)用斜二测画法作立体图形的直观图，原图形的高在直观图中不变；(3)画几何体的直观图时，如果不做严格要求，图形尺寸可以适当选取，用斜二测画法画图的角度可以自定，但是要求图形具有一定的立体感．

四、 课堂练习
1、画出水平放置的等边三角形的直观图.

解：画法，如图：
　　(1)在三角形ABC中，取AB所在直线为x轴，AB边的高所在直线为y轴；画出相应的轴和轴，两轴交于点，且使；
　　(2)以为中点，在轴上取，在轴上取；
　　(3)连接、，并擦去辅助线轴和轴，便获得正△ABC的直观图△.

斜二测画法的作图技巧：
　　1.在已知图中建立直角坐标系，理论上在任何位置建立坐标系都行，但实际作图时，一般建立特殊的直角坐标系，尽量运用原有直线为坐标轴或图形的对称轴为坐标轴，以线段的中点或图形的对称点为原点；
　　2.在原图中平行于轴和轴的线段在直观图中仍然平行于轴和轴，原图中不与坐标轴平行的线段可以先画出线段的端点再连线，画端点时利用与坐标轴平行的线段；
　　3.画立体图形的直观图，在画轴时，要再画一条与平面垂直的轴，平行于轴的线段长度保持不变.

举一反三：
　　【变式1】等腰梯形ABCD，上底边CD=1，腰，下底AB=3，按平行于上下底边取x轴，则直观图的面积是多少？
　　思路点拨：由平面图准确的画出直观图是解题的关键；
　　解：

　　1.以等腰梯形的下底边所在直线为x轴，以过D点的高所在直线为y轴，建立平面直角坐标系；过C点做垂直于AB的直线与AB相交于点E；∵DC=1，，AB=3，∴AO=OE=EB=DO=1；
　　2.建立坐标系，，在轴上取，且，，在轴上取线段；过点做；连接和，则梯形为等腰梯形ABCD的直观图；
　　3.过点做垂直于下底边的垂线段，则△为等腰直角三角形，斜边，所以梯形的高；
　　4.梯形面积.

【变式2】正方形的边长为1，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的周长是多少？

思路点拨：由直观图画原图的过程与原图画直观图的过程相反，即
　　1.直观图中平行于轴和轴的线段在原图中分别为平行于轴和轴的线段；
　　2.直观图中平行于轴的线段，在原图中保持长度不变；平行于轴的线段，长度变为原来的两倍.

解：

　　1.建立平面直角坐标系，在x轴上取；
　　2.为正方形的对角线，且在轴上，则，所以在y轴上取；
　　3.取，且平行于x轴；
　　4.连接AB、CO，所得图形OABC即为直观图的原图；四边形OABC为平行四边形；
　　5.因为，，由勾股定理，BA=3，所以平行四边形OABC周长为8.

例2、一块边长为10cm的正方形铁片按如图所示的阴影部分裁下，然后用余下的四个全等的等腰三角形加工成一个正四棱锥形容器，试建立容器的容积V与底边边长x的函数关系式.

　　解：如图，在中，，，
　　　　所以，.

3、一个正三棱柱的三视图如图所示，求这个正三棱柱的表面积.

　　解：由三视图知正三棱柱的高为2mm.
　　　　由左视图知正三棱柱的底面三角形的高为.
　　　　设底面边长为a，则，∴ .
　　　　∴ 正三棱柱的表面积为
　　　　.
五、课堂小结
1.用来表示空间图形的平面图形叫作空间图形的直观图；
　　2.用斜二测画法画平面图形的步骤：
　　(1)建系：在已知图形中建立直角坐标系，画直观图时，把它们画成对应的轴和轴，两轴交于点，且使(或)；
　　(2)位置关系：已知图形中平行于轴和轴的线段在直观图中分别画成平行于轴和轴的线段；
　　(3)长度规则：已知图形中平行于轴的线段，在直观图中保持长度不变，平行于轴的线段，长度变为原来的一半.

六、课后作业
A组
1.下列关于斜二测画法画直观图说法，不正确的是（ ）
A．在实物图中取坐标系不同，所得的直观图有可能不同
B．平行于坐标轴的线段在直观图中仍然平行于坐标轴
C．平行于坐标轴的线段长度在直观图中仍然保持不变
D．斜二测坐标系取的角可能是135°
解析： 平行于轴的线段长度在直观图中变为原来的二分之一，选C．
2.如图所示的直观图表示的平面图形为（ ）
A.等腰直角三角形 B.锐角三角形
C.非等腰直角三角形 D.不能确定

解析：与轴平行，可判定平面图形为直角三角形，但非等腰直角三角形，选C．
3.已知的平面直观图是边长为的正三角形，那么原的面积为 ．
解析：根据斜二测画法的规则，正三角形的边长是原三角形的底边长，如图，

过作轴的平行线与轴交于点，则；
又是原的高的直观图，所以=，故．
填．
4.下列说法中:
①角的水平放置直观图一定是角；
②相等的角在直观图中仍然相等；
③两条相交直线的直观图可能平行；
④水平放置的正方形的直观图可能是梯形；
⑤)互相垂直的两条直线的直观图仍然互相垂直．
其中正确的是 ．
解析: 对于①，角在直观图中仍是角，只不过是大小变了；
对于②，相等的角在直观图中未必相等；
对于③，相交直线的直观图仍然相交；
对于④，水平放置的正方形的直观图是平行四边形；对于⑤互相垂直的两条直线的直观图变成夹角为的两条相交直线．填①．
5.已知某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为正六边形，请画出相应空间图形的直观图．

解析: (1）画轴：画、、轴，记坐标原点为，使，．
（2）画底面：建立直角坐标系，按轴、轴画正六边形的直观图．
（3）画侧棱：过各点分别作轴的平行线，并在这些平行线上分别截取，使它们长度相等，如图(1)．
（4）成图：顺次连结，并加以整理，去掉辅助线，将被遮挡的部分为虚线，就得到正六棱柱的直观图，如图(2)．

(1) (2)

B组
1.在斜二测画法中，与坐标轴不垂直的线段的长度在直观图中（ ）
A.变大 B.变小 C.可能不变 D.一定改变
解析:由斜二测画法的画图规则知，选C．
2.如图所示，是水平放置的的直观图，则在的三边及中线AD中，最长的线段是( )
A.AB B.AD C.BC D.AC

解析: 由斜二测画法的画图规则知为直角三角形，且为斜边，选D．
3.根据给出的空间几何体的三视图，用斜二侧画法画出它的直观图．

解析:由几何体的三视图知道，这个几何体是一个简单的组合体，下部是个圆柱，上部是个圆台，且圆台的下底与圆柱上底面重合．
画法：
（1）画轴如下图，画轴、轴、轴，三轴相交于点O，使=45°、=90°．
（2）画圆柱的两底面和圆台上下底面，画出底面⊙O．在轴上截取，使等于三视图中相应高度．过作的平行线、的平行线，利用与画出底面⊙，在轴上截取，使等于三视图中相应高度．过作的平行线，的平行线．作圆．
（3）成图．连结去掉辅助线， 将被遮挡的部分要改为虚线，即得到给出三视图所表示的立体图的直观图．