预测某市未来几年工业总产值.doc

预测某市工业总产值

一、 摘要

工业生产总值是一个城市经济发展的重要衡量标准，对城市的评估也离不开观测工业总产值，以往年工业总产值为基础，对未来几年工业总产值进行预测。
模型：Logistic阻滞增长模型，假设城市对工业总产值存在最大值，建立微分方程，先利用Matlab编程求解出各个参数，再对未来的产值进行预测。
得到接下来几年的工业产值（单位：元）
30622.465
34167.359
37899.63
41782.286
45771.265
然后比较拟合数值与实际数值，得到拟合相对误差和绝对误差。
模型仅使用了几年的工业总产值，实际一个城市的工业总产值受多方面影响，随时间后移，科技发展，工业总产值的最大值应有升高。

二、 关键词

工业总产值预测，Logistic模型，最小二乘拟合

三、 问题描述

下表是某市历年工业生产总值，是建立数学模型，分析并预测未来几年工业总产值的变化

某市工业总产值表
年份
工业生产总值
年份
工业生产总值
年份
工业生产总值
1980
598.75
1990
1642.75
2000
7022.98
1981
620.12
1991
1947.18
2001
7806.18
1982
634.65
1992
2429.96
2002
8730.00
1983
663.53
1993
3327.04
2003
11708.49
1984
728.12
1994
4255.19
2004
14595.29
1985
862.73
1995
5349.53
2005
16876.78
1986
952.21
1996
5126.22
2006
19631.23
1987
1073.84
1997
5649.93
2007
23108.63
1988
1304.66
1998
5763.67
2008
25968.38
1989
1524.67
1999
6213.24
2009
24888.08

四、 模型假设

（1） 假设表中所给数据能反映该市工业总产值的基本情况；
（2） 假设该市经济状况平稳，没有出现政府作出重大决策，科技发生重大突破，经济危机的影响；
（3） 假设该市的工业生产模式没有发生改变；
（4） 自然资源和环境所容许的最大工业总产值为常数，并工业总产值的净相对增长率是工业总产值的线性递减函数，设为，表示工业总产值相对增产率随的增加而减少，其中r为固有增长率。当时，工业总产值净增长率趋于零。

五、 模型建立与求解

1， 模型建立求解

使用阻滞增长模型：

方程右端因子体现工业总产值的增长趋势，因子则体现了自然资源和环境对工业总产值的阻滞作用。显然越大，前一因子越大，后一因子越小，表明工业总产值的增长是两个因子共同作用的结果。
用分离变量法可解得方程的解为

2， 模型的参数估计与校验

用Logisitc模型做预测，需要估计方程解中的三个参数和，其中可以计算初始时刻的工业总产值，也可以用数据拟合出来。采用1980~2009年工业总产值作为拟合数据，用MATLAB中最小二乘曲线拟合命令lsqcurvefit来估计参数。然后用拟合的参数带入方程的解，用你来预测2010~2020年的工业总产值。利用程序算得参数,
故第t年工业总产值为：

3， 预测结果

年份
2010
2011
2012
2013
2014
2015
2016
2017
2018
2019
预测产值
30622
34167
37899
41782
45771
49817
53868
57871
61776
65538

拟合绝对误差：

拟合相对误差：

附MATLAB程序：

%logistic模型模拟，预测2010~2020年工业总产值
clc,clear
tdata=1980:2009;
ndata=[598.75 620.12 634.65 663.53 728.12 862.73 952.21 1073.84 1304.66 1524.67...
1642.75 1957.18 2429.96 3327.04 4255.19 5349.53 5126.22 5649.93 5763.67 6213.24...
7022.98 7806.18 8730.00 11708.49 14595.29 16876.78 19631.23 23108.63 25968.38 24888.08 ];
a0=[26000 0.1 598.75];
a=lsqcurvefit(@logistic,a0,tdata,ndata)
tfit=1980:2019;
nfit=a(1)./(1+(a(1)/a(3)-1)*exp(-a(2)*(tfit-1982)));
figure(1);
plot(tdata,ndata,'k*',tfit,nfit,'-k');
legend('实际产值','预测产值','location','NorthWest');
xlabel('年份');ylabel('产值');
title('logistic模型对工业总产值拟合预测');
es=abs(ndata-nfit(1:30));%绝对误差
esc=abs((ndata-nfit(1:30))./ndata);%相对误差
figure(2);
plot(tdata,es,'*-k');
xlabel('年份');ylabel('绝对误差');
title('logistic模型对工业总产值拟合绝对误差');
figure(3);
plot(tdata,esc,'*-k');
xlabel('年份');ylabel('绝对误差');
title('logistic模型对工业总产值拟合相对误差');

六、 模型分析与评价

（1） 观察拟合绝对误差在，在1992年以前差别极小，但是考虑到产值的总大小在增大，观测相对误差图，发现2003年以后的相对误差均小于10%，故可以认为该模型预测的值在短期内是可信的；
（2） 有拟合预测曲线可以看出，图形比较接近一个指数函数，可以认为工业总产值距离饱和值还比较遥远，由拟合的数据，在2019年才达到即增长的拐点，一直处于较快增长的情况；
（3） Logistic模型仅考虑了工业产值饱和值对增长速率的影响，相比于实际情况还是过于简洁，尤其是饱和值应当随着时间的增长而变大，是本模型的改进方向；
（4） Logistic模型虽然本身是为了预测人口而建立的，但在本问题中对工业总产值的预测也是较为可信的，它可以运用在实际多领域上，除了对种群增长的使用，也可以适用于冰块融化，传染病蔓延，经济增长等。

参考书目：

数学建模教程， 梅正阳、韩志斌， 北京：科学出版社，2012.8