导数求单调性(试卷-答案).doc

3.3.1单调性
1．若函数的递减区间为，则的取值范围是________ ．
2．函数的单调增区间是________ ．
3．函数的单调减区间是__________ ．
4．若函数的单调减区间为，则的集合为__________．
5．若在上连续，在内可导，且时， ，又，则下列结论正确的是________．
①上单调递增，且 ②在上单调递增，且
③在上单调递减，且 ④在上单调递增，但的符号无法判断
6．若函数在上可导且满足不等式恒成立，且常数满足，则下列不等式一定成立的是________．
① 　 ② ③　 ④
7．如果函数在定义域内的一个子区间上不是单调函数，则实数的取值范围是________ ．
8．若函数的单调减区间为，则_______，________.
9．若函数的单调减区间是，则________.
10．已知函数．
(1)若函数有与轴平行的切线，求的取值范围；
(2)若，求函数的单调区间．

11．已知函数与均为闭区间 上的可导函数，且，证明：当时，．

12．已知，函数.设在区间上是单调函数，求的取值范围．

13. 已知函数，．（Ⅰ）讨论函数的单调区间；
（Ⅱ）设函数在区间内是减函数，求的取值范围．

答案
1 解析：∵y＝a(x3－x)的递减区间为(－，)，
∴y′＝a(3x2－1)在区间(－，)上，y′<0恒成立．
又∵在(－，)上，3x2－1<0且a≠0，∴a>0.
答案：a>0
2 解析：∵f(x)＝lnx－ax，
∴f′(x)＝－a>0，
∴x<.又f(x)有意义，x>0，
∴0<x<.
答案：(0，)
3 解析：∵f(x)＝ax＋，
∴f′(x)＝a－，
∵f′(x)<0，
∴x2<，∴－<x<.
又x≠0，∴－<x<0或0<x<.
答案：(－，0)和(0，)
4解析：∵f(x)＝x3－px2＋2m2－m＋1，
∴f′(x)＝3x2－2px.
∵f(x)在(－2,0)上是减函数，
∴f′(x)＝3x2－2px<0，<x<0，
∴＝－2，
∴p＝－3，
∴p的集合是{p|p＝－3}．
答案：{p|p＝－3}
5 解析：由于f′(x)>0，所以函数是增函数，f(b)>f(a)，但由f(a)<0，无法判断f(b)的符号．
答案：④
6 解析：设g(x)＝xf(x)，则g′(x)＝xf′(x)＋f(x)，由条件知g(x)是R上的增函数，所以g(a)>g(b)，即af(a)>bf(b)．
答案：①
7 解析：显然函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝4x－＝.由f′(x)>0，得函数f(x)的单调递增区间为(，＋∞)；由f′(x)<0，得函数f(x)的单调递减区间(0，)．由于函数在区间(k－1，k＋1)上不是单调函数，所以k－1<<k＋1，解得－<k<.又(k－1，k＋1)为函数f(x)定义域内的一个子区间，所以k－1≥0，即k≥1.
综上所述，1≤k<.
答案：1≤k<
8 解析：因为f′(x)＝3x2＋2bx＋c，所以根据题意知3x2＋2bx＋c≤0的解集是[－1,2]，所以－1,2是一元二次方程3x2＋2bx＋c＝0的两根，所以－1＋2＝－，(－1)×2＝，所以b＝－，c＝－6.
答案：－　－6
9 解析：因为f′(x)＝3x2－2mx＝3x(x－m)，所以根据题意知m<0，x(x－m)<0的解集是(m,0)，所以m＝－9，即m＝－.
答案：－
10 解析：∵f(x)＝x3＋ax2＋x＋a，
∴f′(x)＝3x2＋2ax＋.
(1)∵函数f(x)有与x轴平行的切线，∴f′(x)＝0有实数解，则Δ＝4a2－4×3×≥0，a2≥，所以a的取值范围是(－∞，－]∪[，＋∞)．
(2)∵f′(－1)＝0，∴3－2a＋＝0，a＝，
∴f′(x)＝3x2＋x＋＝3(x＋)(x＋1)．
由f′(x)>0得x<－1或x>－；
由f′(x)<0得－1<x<－.
∴函数f(x)的单调递增区间是(－∞，－1)和(－，＋∞)；单调递减区间是(－1，－)．
11 证明：构造函数F(x)＝f(x)－g(x)，由已知可得F(x)在[a，b]上可导，且F′(x)＝f′(x)－g′(x)>0，∴F(x)在[a，b]上是单调递增的．

∴对任意x∈[a，b]有F(x)≥F(a)．
∵f(a)＝g(a)，
∴F(x)＝f(x)－g(x)≥f(a)－g(a)＝0，
∴f(x)≥g(x)．

12 解：f′(x)＝(2x－2a)ex＋(x2－2ax)ex
＝ex[x2＋2(1－a)x－2a]．
令f′(x)＝0，即x2＋2(1－a)x－2a＝0.
解得x1＝a－1－，x2＝a－1＋，
其中x1<x2.
当x变化时，f′(x)、f(x)的变化情况见下表：
x
(－∞，x1)
x1
(x1，x2)
x2
(x2，＋∞)
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)





∵a≥0，∴x1<－1，x2≥0，f(x)在(x1，x2)上单调递减．
由此可得f(x)在[－1,1]上是单调函数需x2≥1，
即a－1＋≥1，解得a≥.
故所求a的取值范围为[，＋∞)．
当时，，，在上递增
当，求得两根为
即在递增，递减，
递增
（2），且解得：