§23.2与圆有关的位置关系.doc

§23.2 与圆有关的位置关系
1.点与圆的位置关系
看到过打靶用的靶子吗？靶子是由很多圆组成的，你知道击中靶子上不同位
置的成绩是如何算的吗？
这一现象体现了平面内点与圆的位置关系．

我们已经知道圆上所有的点到圆心的距离都等于半径，如图23.2.1所示，设⊙O的半径为r，A点在圆内，B点在圆上，C点在圆外，那
OA＜r， OB＝r， OC＞r．

在圆上的点有无数多个，那么多少个点就可以确定一个圆呢？
试一试
如图23.2.2，画过A点的圆．

如图23.2.3，画过两点A、B的圆．
思 考
经过三点一定能画出一个圆吗？如果能，那么如何找出这个圆的圆心呢？
如图23.2.4，如果A、B、C三点不在一条直线上，那么经过A、B两点所画的圆的圆心在线段AB的垂直平分线上，而经过B、C两点所画的圆的圆心在线段BC的垂直平分线上，此时，这两条垂直平分线一定相交，设交点为O，则OA＝OB＝OC，于是以O为圆心，OA为半径画圆，便可画出经过A、B、C三点的圆．即有
不在同一条直线上的三个点确定一个圆．

也就是说，经过三角形三个顶点可以画一个圆，并且只能画一个．经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆（circumcircle）．三角形外接圆的圆心叫做这个三角形的外心（circumcenter）．这个三角形叫做这个圆的内接三角形．三角形的外心就是三角形三条边的垂直平分线的交点．
练　习
1. 任意画一个三角形，然后再画这个三角形的外接圆.
2. 随意画出四点，其中任何三点都不在同一条直线上，是否一定可以画一个圆经过这四点？请举例说明.
2.直线与圆的位置关系
大家也许看过日出，如图23.2.5所示的照片中，如果我们把太阳看作一个圆，那么太阳在升起的过程中，和地平线会有几种位置关系？
试一试
在纸上画一条直线，把硬币的边缘看作圆，在纸上移动硬币，你能发现直线与圆的公共点个数的变化情况吗？公共点个数最少时有几个？最多时有几个？
　　我们可以看到，直线与圆的位置关系有下面图23.2.6所示的三种．

如果一条直线与一个圆没有公共点，那么就说这条直线与这个圆相离，如图23.2.6（1）所示．
　　如果一条直线与一个圆只有一个公共点，那么就说这条直线与这个圆相切，如图23.2.6（2）所示．此时这条直线叫做圆的切线，这个公共点叫做切点．
　　如果一条直线与一个圆有两个公共点，那么就说这条直线与这个圆相交，如图23.2.6（3）所示．此时这条直线叫做圆的割线．
　　直线与圆的位置关系只有相离、相切和相交三种．
　　如果⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，利用d与r之间的关系即可判断直线与圆的位置关系．
　　当d＞r时，如图23.2.6（1），圆心O到直线l的距离d大于半径r，因而直线l上的所有点到圆心的距离都大于半径r，说明直线l在圆的外部，与圆没有公共点，因此
　　 当d＞r时，直线与圆的位置关系是相离．
　　那么当d＝r时，直线与圆的位置关系是___________________，
　　当d＜r时，直线与圆的位置关系是___________________．
思 考
反过来，如果已知直线l与⊙O的位置关系分别是相离、相切和相交时，一定有d＞r、d＝r、d＜r吗？
练　习
1. 已知圆的半径等于5厘米，圆心到直线l的距离是：（1）4厘米；（2）5厘米；（3）6厘米.直线l和圆分别有几个公共点？分别说出直线l与圆的位置关系.
2. 已知圆的半径等于10厘米，直线l和圆只有一个公共点，求圆心到直线l的距离.
3. 如果⊙O的直径为10厘米，圆心O到直线AB的距离为10厘米，那么⊙O 与直线AB有怎样的位置关系？
3.切线
下雨天，当你转动雨伞，你会发现雨伞上的水珠顺着伞面的边缘飞出．仔细观察一下，水珠是顺着什么样的方向飞出的？
这就是我们所要研究的直线与圆相切的情况．
做一做
如图23.2.7，画一个圆O及半径OA，画一条直线l经过⊙O 的半径OA的外端点A，且垂直于这条半径OA，这条直线与圆有几个交点？

从图23.2.7可以看出，此时直线与圆只有一个交点，即直线l
是圆的切线．
经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线
（tangent line）．
思 考
如图23.2.8，如果直线l是⊙O的切线，点A为切点，那么半
径OA与l垂直吗？
由于l是⊙O的切线，圆心O到直线l的距离等于半径，所以OA是圆心O到直线l的距离，因此l⊥OA，这就是说，圆的切线垂直于经过切点的半径．
　　例1　如图23.2.9，已知直线AB经过⊙O上的点A，且AB＝OA，∠OBA＝45°，直线AB是⊙O的切线吗？为什么？
　　解 　直线AB是⊙O的切线．
　　因为AB＝OA，且∠OBA＝45°，所以∠AOB＝45°，∠OAB＝90°．根据经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线，可知直线AB是⊙O的切线．
练　习
1. 是非题：
（1）垂直于圆的半径的直线一定是这个圆的切线.　　　　（　　）
（2）过圆的半径的外端的直线一定是这个圆的切线.　　　（　　）
2. 如图，AB是⊙O的直径，∠B＝45°，AC＝AB.AC是⊙O的切线吗？为什么？

3. 如图，线段AB经过圆心O，交⊙O于点A、C，∠BAD＝∠B＝30°，边BD交圆于点D.BD是⊙O的切线吗？为什么？
4. 以三角形的一边为直径的圆恰好与另一边相切，则此三角形是__________三角形.
试一试
如图23.2.10（1），PA为⊙O的一条切线，点A为切点．
如图23.2.10（2）所示，沿着直线PO将纸对折，由于直线PO经过圆心O，
所以PO是圆的一条对称轴，两半圆重合．设与点A重合的点为点B，这里，OB是⊙O的一条__________，PB是⊙O的一条____________．图中PA与PB、∠
APO与∠BPO有什么关系？

　　我们把圆的切线上某一点与切点之间的线段的长叫做这点到圆的切线长（length of tangent）．如图23.2.10（2），线段PA、PB的长就是点P到⊙O的切
线长．
由上述操作可知：
从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等．这一点和圆心的连线平分这两条切线的夹角．
试一试　　
如图23.2.11为一张三角形铁皮，如何在它上面截一个面积最大的圆形铁皮？
　　可能大家都会想到这样一个圆，它与三角形的三条边都相切，那么这样的圆存在吗？如果存在，我们又如何画出它来呢？
　　如图23.2.12，在△ABC中，如果有一圆与AB、AC、BC都相切，那么该圆的圆心到这三边的距离都等于半径．如何找到这个圆心呢？
　　我们以前学过，角平分线上的点到角的两边距离相等，那么∠BAC和∠ABC平分线的交点应该到三边的距离都相等．
　　如果∠BAC和∠ABC的平分线相交于点I，那么点I到AC、AB、BC的距离都相等．以I为圆心，I到AB的距离为半径作圆，则⊙I必与△ABC的三条边都相切．
　　与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆（inscribed circle）．三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心（incenter）．这个三角形叫做圆的外切三角形（externally tangent triangle）．三角形的内心就是三角形三条内角平分线的交点．
练　习
1. 如图，⊙O是△ABC 的内切圆，与AB、BC、CA分别切于点D、E、F，∠DOE＝120°，∠EOF＝150°，求△ABC 的三个内角的度数.

2. △ABC 的内切圆⊙O 与AC、AB、BC分别相切于点D、E、F，且AB＝5厘米，BC＝9厘米，AC＝6厘米，求AE、BF和CD的长.
3. 设△ABC 的内切圆的半径为r，△ABC 的周长为l，求△ABC 的面积S.

4.圆与圆的位置关系
思 考
观察图23.2.13，圆和圆有不同的位置关系，圆和圆之间还有别的位置关系
吗？

图23.2.13
试一试
在纸上画一个半径为2厘米的⊙O1，把一枚硬币当作另一个圆，在纸上移
动这枚硬币，观察两圆的位置关系和公共点的个数．
如果两个圆没有公共点，那么就说这两个圆相离，如图23.2.14（1）、（2）、
（3）所示．其中（1）又叫做外离，（2）、（3）又叫做内含.（3）中两圆的圆心
相同，这两个圆还可以叫做同心圆.
如果两个圆只有一个公共点，那么就说这两个圆相切，如图23.2.14（4）、（5）
所示．其中（4）又叫做外切，（5）又叫做内切.
如果两个圆有两个公共点，那么就说这两个圆相交，如图23.2.14（6）所示．

试一试
如果两圆的半径分别为3和5，圆心距（两圆圆心的距离）d为9，你能确定它们的位置关系吗？若d分别为8、6、4、2、1时，它们的位置关系又如何呢？
思 考
　　如果两圆的半径分别为r1、r2，圆心距为d，知道d＞r1＋r2，你能判断出两圆的位置关系吗？
　　我们可以发现，此时如图23.2.14（1）那样，两圆外离．实际上，当两圆外离时，圆心距d也一定大于两圆半径之和．
　　因此d＞r1＋r2这一不等关系是两圆外离的数量关系及其识别方法．相应地，我们可以得到：
两圆的位置关系
数量关系及其识别方法
外　离
d＞r1＋r2
外　切

相　交

内　切

内　含

显然，当r1＝r2时，两圆不可能内切，也不可能内含，而是可能重合．
例2　已知⊙A、⊙B相切，圆心距为10 cm，其中⊙A的半径为4 cm，求⊙
B的半径．
解 　设⊙B的半径为R．
（1） 如果两圆外切，那么
d＝10＝4＋R，
R＝6．
（2） 如果两圆内切，那么
d＝｜R－4｜＝10，
R＝－6（舍去），R＝14．
所以⊙B的半径为6 cm或14 cm．
练　习
1. ⊙O1和⊙O2的半径分别为2厘米和4厘米，当两圆圆心距O1O2为下列值时，分别说出两圆的位置关系.（1）0厘米；（2）2厘米；（3）4厘米；（4）6厘米；（5）8厘米.
2. 分别以1厘米、2厘米、4厘米为半径，用圆规画圆，使它们两两外切.
3. 生活中存在同心圆的形状吗？试举出一两个例子.
习题23.2
1. 已知⊙O的半径为10厘米，根据下列点P到圆心的距离，判定点P到圆的位置关系，并说明理由.
2. 已知线段AB＝6厘米.
（1） 画半径为4厘米的圆，使它经过A、B两点，这样的圆能画几个？
（2） 画半径为3厘米的圆，使它经过A、B两点，这样的圆能画几个？
（3） 画半径为2厘米的圆，使它经过A、B两点，这样的圆能画几个？
3. 分别画一个锐角三角形、直角三角形和钝角三角形，再画出它们的外接圆，观察并叙述各三角形与它的外心的位置关系.
4. 下面的图形主要是用圆规画出的.请你试着用圆规画出下列图形.

5. 已知圆的直径为20厘米，根据下列圆心到直线l的距离，判定直线l与圆有几个公共点，并说明理由：（1）8厘米；（2）10厘米；（3）12厘米.
6. 如图，已经直线l与圆O相交于A、B两点，若圆心O到直线l的距离为6，且AB＝16，试求出圆O的半径.

7. 如图，以点O为圆心的两个同圆中，大圆的弦AB是小圆的切线，点P为切点，说明AP、BP相等的理由.
8. 已知半径均为1厘米的两圆外切，半径为2厘米，且和这两圆都相切的圆共有___________个.
9. 三角形三边长分别为5厘米、12厘米、13厘米，以三角形三个顶点为圆心的三个圆两两相切，则此三个圆的半径分别为______________________.
10. 三角形的内切圆的切点将该圆周分为5：9：10三条弧，则此三角形的最大的内角为______________.
11. △ABC的面积为4平方厘米，周长为10厘米，求△ABC的内切圆半径.
12. 如图，PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点，AC是⊙O的直径，∠BAC＝20°，求∠P的度数.

13. 试用多种方法找出如图所示的破残轮片的圆心位置.
阅读材料
你能画吗
These designs here are based on a regular hexagon.
Can you draw these designs?
Drawing these designs will help your drawing skills.
1. Practise drawing a regular hexagon like this:

2. These designs are based on a regular hexagon.
Use the compasses mathed to help you draw some of them.

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