《三角形内角和》教学设计 (2).doc

《三角形内角和》教学设计
一． 教学目标：
1．先通过观察，操作，得出三角形的内角和，再运用数学语言证明这个定理，让学生体会从特殊到一般的数学思想方法，发展学生的合情推理能力、一定的推理论证能力和运用图形语言进行交流的能力。
2．能运用三角形式内角和定理进行推理，计算。
二．教学重难点：
教学重点：三角形内角和定理的推理论证；应用三角形内角和定理解决实际问题。
教学难点：在证明三角形内角和定理时，如何添加辅助线，构造相等的角，使要求证的三个角构成平角或构成一对同旁内角。
三．教学突破点：
因为学生在小学的时候已通过动手操作得出三角形的内角和为180º，并能运用这个结论进行简单的计算，所以这节课的重点不是放在三角形内角和的结论上，而上放在如果证明这个结论，这也是本节的难点。尽管学生在小学的时候已经动手操作拼过三角形的三个内角，但本节课还是让学生动手再做一遍，目的是在于复习的同时更主要的是从中发现辅助线的作法。这是学生首次接触辅助线，难度较大，老师可通过拼合内角的过程，引导学生观察移动后的角的边与原来的边有平行关系，从而得出辅助线的作法。
四． 教学过程：
环节
教学设计
设计意图
一．回顾引入
提出问题：我们在小学的时候学过，三角形的内角和是多少度？你是怎样得出这个结论的？
这个问题几乎所有的学生都能回答，消除学生对新知识的陌生感，提高信心，同时为下面的证明做好铺垫。
二．操作探索
1．实验：自己动手将一个三角形两个内角剪下来，然后拼合在第三个角的顶点处。
2．思考：拼合以后得到一个什么图形？
3．展示：让几个学生将他们拼合的情况在实物投影仪上展示出来。
4．总结：老师总结学生可能得到的两种情况，一种是两个内角拼合在第三个角的同一侧；另一种情况是两个内角拼合在第三个角的两侧。如图：
：

（图一） （图二）

从实验入手，引起学生的兴趣，另一方面从拼合的过程中得出证明这个结论的正确方法。
三．小组合作证明
1．我们已经通过动手操作知道自己所画的那个三角形的内角和是180º，但对于所有的三角形，是否也有这种的结论，能不能用根据已学的几何知识证明这个结论？
2．分析：如图一，将三角形的两个内角移到第三个内角的同一侧，三个角合成一个平角，这说明∠B的一边为线段BC的延长线，而∠A的一边和AC重合，另一边与线段AB有什么位置关系？我们移动∠A、∠B其实相当于作与∠A、∠B相等的角，再回忆当两直线存在什么位置关系时，就存在相等的角？
3．分小组讨论，并将过程写在学习卷上，尽可能多地找出不同的证明方法。
已知：△ABC
求证：∠A+∠B+∠C=180º
4．各小组展示讨论结果：
证法一：延长BC到点D，作 CE∥AB
∴ ∠A =∠1 (两直线平行,内错角相等)
∠B =∠2(两直线平行,同位角相等)
∵ ∠ACE + ∠1 + ∠2 =180°
∴ ∠A+ ∠B + ∠BCA = 180°（等量代换）
证法二：过点A作 DE∥BC
∵DE∥BC
∴∠B=∠1，∠C=∠2
(两直线平行,内错角相等)
∵∠BAC + ∠1+ ∠2 =180°
∴ ∠BAC +∠B+ ∠C= 180°（等量代换）
5．总结：我们发现上面两种证法都添加了辅助线，并且这个辅助线都是图中某条直线或线段的平行线，而我做辅助线的目的是为了构助相等的角，从而实现了将某个角移动的目的。在我们以后的证明过程中，我们会遇到一些证明角的关系，而当这些角在图中位置没有什么关系时，我们可以做平行线构造相等的角从而实现角的移动。
6．延伸：刚才所采用的两种方法都是移动三角形的两个内角得到的，那么如果只移动一个内角，能否证明呢？作为思考题回去想。
从上面的拼合过程学生已初步认识到证明三角形内角和180 º，转化成证平角，或两直线平行时的同旁内角。

这是学生首次接触辅助线，可能很难明白如何添加或不会表达，所以在这里老师要加以引导，且灌输做平行线其实就是构造相等的角，就是对角进行移动的思想。

让学生进一步熟悉几何推理论证的表达方式，磨练学生的逻辑思维能力和符号感。提倡一题多解，锻炼学生的发散思维能力。
四．定理简单应用
求下列图形中的∠1、∠2的度数：
（1） （2） （3）AB∥CD

∠1= º ∠1= º ∠1= º
∠2= º ∠2= º ∠2= º
通过一组练习巩固刚才所学的定理。
五．例题
例：C岛在A岛的北偏东50º方向，B岛在A岛的北偏东80º方向，C岛在B岛的北偏西40º方向。从C岛看A、B两岛的视角∠ACB是多少度？
（学生先看题目，然后老师
分析解题思路：要求的角在哪
三角形中，而这个三角形的另
别两个内角是知道，如何不知道，那么根据已知条件能否求出。）
解:∠CAB= ∠BAD–∠CAD=80º–50 º =30 º
由AD∥BE, 可得∠BAD+ ∠ABE=180 º
所以∠ABE=180 º -∠BAD=180 º–80 º=100 º
∠ABC= ∠ABE–∠EBC=100 º–40 º =60 º
在△ABC中,
∠ACB=180 º– ∠ABC – ∠CAB=180 º–60 º –30 º =90°
这里学生对方位角的知识可以遗忘较多，所以教师要指导学生题中所提的方位角分别是哪些角。
六．分层练习
A组：
(1)在△ABC中,∠A=35°, ÐB= 75°,则ÐC= ；
(2)在△ABC中,∠C=90°, ÐB=43°,则ÐA= ；
(3)在DABC中,ÐA=50°,ÐB=ÐC,则ÐC= ；
(4)求出下列图中x的值:

x= x=

x= x=
5.如图，一种滑翔伞的形状是左右对称的四边形ABCD，其中∠BAD=150 º，
∠B=∠D=40 º，
求∠BCD的度数。

解：因为滑翔伞的形状是左右对称的四边形
所以∠BAC=∠CAD=∠ = º
在△ABC中，∠ACB=180 º- ∠ -∠
= º
所以∠BCD=2∠ = º
B组：
1．在△ABC中,∠A :∠B:∠C=2:3:4，则∠A = ，
∠B= ，∠C= ；
2．在DABC中,ÐA=30°,ÐC=ÐB,则ÐB= ；
3．在DABC中,ÐC=55°,ÐB=ÐA-35°,则ÐA= ；
4．如图，AD⊥BC，∠1=∠2，∠C=65º，求∠BAC。

C组：
1．在△ABC中，∠B=∠A+10º，∠C=∠B+10º，求△ABC的各内角的度数。

2．如图，BC⊥CD，∠1=∠2=∠3，∠4=60°，∠5=∠6，
（1）AC与BD有什么样的位置关系，为什么？
（2）∠1和∠5的度数是多少？

A组的题目是内角和的直接应用，要求所有的学生要通过。

这里提醒学生注意解题格式，要有简单的文字说明，不能只写出答案。
七．小结反思
1．本节你学习了什么内容？
2．从本节的证明过程中你学习了一种什么样的证明方法；
3．在利用三角形的内角和定理解题时，要注意哪些问题。