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如何证明圆的切线
证明直线是圆的切线，通常有的两种方法：
一、要证明某直线是圆的切线，如果已知直线过圆上的某一个点，那么作出过这一点的半径，证明直线垂直于半径．
【例1】如图1，已知AB为⊙O的直径，点D在AB的延长线上，BD＝OB，点C在圆上，∠CAB＝30º．求证：DC是⊙O的切线．
图1
O
A
B
C
D
思路：要想证明DC是⊙O的切线，只要我们连接OC，证明∠OCD＝90º即可．
证明：连接OC，BC．
∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90º．
∵∠CAB＝30º，∴BC＝AB＝OB．
∵BD＝OB，∴BC＝OD．∴∠OCD＝90º．
∴DC是⊙O的切线．
【评析】一定要分清圆的切线的判定定理的条件与结论，特别要注意“经过半径的外端”和“垂直于这条半径”这两个条件缺一不可，否则就不是圆的切线．本题在证明∠OCD＝90º时，运用了“在一个三角形中，如果一条边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形”，当然也可以从角度计算的角度来求∠OCD＝90º．
二、如果直线与圆的公共点没有确定，则应过圆心作直线的垂线，证明圆心到这条直线的距离等于半径．
图2
O
A
B
C
E
D
【例2】如图2，已知OC平分∠AOB，D是OC上任意一点，⊙D与OA相切于点E．求证：OB与⊙D相切．
思路：连接DE，过点D作DF⊥OB于点F，证明DE＝DF即可，这可由角平分线上的点到角两边的距离相等证得．
请同学们写出证明过程．
【评析】一定要防止出现错将圆上的一点当作公共点而连接出半径．同学们一定要认真体会证明切线时常用的这两种方法，作辅助线时一定要注意表述的正确性．
图3
O
A
B
C
D
2
3
1
【例3】如图3，已知AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD和过C点的切线互相垂直，垂足为D．求证：AC平分∠DAB．
思路：利用圆的切线的性质——与圆的切线垂直于过切点的半径．
证明：连接OC．
∵CD是⊙O的切线，∴OC⊥CD．
∵AD⊥CD，∴OC∥AD．∴∠1＝∠2．
∵OC＝OA，∴∠1＝∠3．∴∠2＝∠3．
∴AC平分∠DAB．
【评析】O
A
B
C
D
图4
2
3
4
1
已知一条直线是某圆的切线时，切线的位置一般是确定的．在解决有关圆的切线问题时，辅助线常常是连接圆心与切点，得到半径，那么半径垂直切线．
【例4】如图4，已知AB为⊙O的直径，过点B作⊙O的切线BC，连接OC，弦AD∥OC．求证：CD是⊙O的切线．
思路：本题中既有圆的切线是已知条件，又证明另一条直线是圆的切线．也就是既要注意运用圆的切线的性质定理，又要运用圆的切线的判定定理．欲证明CD是⊙O的切线，只要证明∠ODC＝90º即可．
证明：连接OD．
∵OC∥AD，∴∠1＝∠3，∠2＝∠4．
∵OA＝OD，∴∠1＝∠2．∴∠3＝∠4．
又∵OB＝OD，OC＝OC，
∴△OBC≌△ODC．∴∠OBC＝∠ODC．
∵BC是⊙O的切线，∴∠OBC＝90º．∴∠ODC＝90º．
∴DC是⊙O的切线．
【评析】本题综合运用了圆的切线的性质与判定定理．一定要注意区分这两个定理的题设与结论，注意在什么情况下可以用切线的性质定理，在什么情况下可以用切线的判定定理．希望同学们通过本题对这两个定理有进一步的认识．本题若作OD⊥CD，就判断出了CD与⊙O相切，这是错误的．这样做相当于还未探究、判断，就以经得出了结论，显然是错误的．