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学数学到新起点
分数的巧算：裂项
知识点分析：
特殊的分数加法试题，难以运用课本中固有的运算性质及定律进行巧算。它们有其特殊的规律及性质，对于这些特殊试题，我们通常要用到以下两种方法：
①引用公式法：有特殊的分数加法试题，有其固有的求和公式，计算时可以直接运用这些公式使计算简便。
②裂项法：先将算式中的一些分数按规律作适当拆分，使得拆分后的一些分数可以互相抵消，从而达到巧算的目的。
例题精讲
例1：
分析：观察发现每一个分数的分母是两个相邻的自然数相乘，分子1就是它们的差，可以运用裂项公式：，先裂项，再求和。
注重：必须弄懂第一种裂项公式：
解答：
举一反三①
（1）
（2）
（3）
例2：
分析：这里的每一个分数的分母虽然不是两个相邻的数，但这些自然数都相差2.如果想办法将分子都变成2，就可以利用例1中的公式计算了。
解答：方法一：将分子都扩大两倍，再将它们的和缩小两倍，结果不变。
方法一：先将分数变形，再利用第一种裂项公式：进行计算。
方法二：直接运用另一个裂项公式
方法二：引用第二种裂项公式：
注重公式的由来！
举一反三②
（1）
（2）
（3）
例3：（第二届新起点杯数学竞赛试题）
分析：观察发现题目中的分母都是可以看作是两个连续自然数的积，且分子都是1，将分母加以变形，再利用裂项公式即可求出和。
解答：
先将分母变为两个数相乘的形式，注意要使相乘两数之差相等，再利用第一种裂项公式求和。
举一反三③
（1） （2） （3）
例4：
分析：观察发现每一个分数的分母都是连续三个自然数的和，且分子2是每个数与第三个数的相差数，运用裂项公式先裂项，再求和。
解答：
第三种裂项公式：
通过代数法先理解公式的推导，再结合题目解题
举一反三④
（1）
（2） （3）
例5：
分析：观察发现每一个分数的分母都是从1开始的连续若干个自然数的和，因此分母可以运用等差数列求和公式求和，那么。所以分母就变成了两个数相乘的形式，最后再采用裂项法计算。
运用等差数列的求和公式先将每一个分数变形，再利用第一种裂项公式进行计算。
解答：
举一反三⑤
（1）
（2）
（3）
模 拟 练 习
一、初级
1、 2、
3、 4、
二、中级
5、 6、
7、 8、
三、高级
9、
10、
11、
12、
历 年 小 考 真 题
1、（2008年韶关北中，9题）：
从式子中去掉（ ），余下的各数和等于1。
A、 B、 C、 D、
2、（2008年韶关北中，21题）：
3、（2010年韶关统考，17题）：
有两根同样长的木条。从第一根中先用去，再用去余下的米；从第二根中先用去米，再用去余下的，两条木条仍然有剩余。比较两根木条剩下部分的长度（ ）
A、第一根长 B、第二根长 C、两根一样长 D、不能确定
地 址：韶关市武江区工业西路山水华府旭日园1-4栋（山水华府游泳池旁）
联系电话：0751-8625658
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