旋转与三角形全等.doc

学情分析：
几何证明培养学生的合情推理和演绎推理能力，是中考必考内容。对辽宁考生来说考核内容主要以三角形全等为基础，考核方式主要以倒数第二道大题—几何图形变换的方式出现。八年级上学期学生已经系统学习了三角形全等的有关知识，但在复杂的背景中寻找全等三角形或创造全等三角形从而解决有关边角问题的能力还有所欠缺，需要有目的、有计划的去培养.学习完第十三章之后，学生已经掌握了等腰、等边三角形的性质，具备初步的几何推理能力，建立起对几何推理探究的兴趣，同时也具备面对挑战的能力，因而我设计本节习题训练课--《旋转中的全等三角形》，目的是在学生已经掌握等边三角形等腰三角形性质基础上，以等边三角、等腰三角形为背景创设复杂几何情境，对学生寻找全等三角形、发现全等三角形、有目的地创造全等三角形的意识和能力进行强化训练，从而进一步培养学生推理能力，归纳能力，分析问题和解决问题能力。
教学目标:
（1） 知识与能力：掌握应用等边三角形、等腰三角形的性质发现并创造全等三角形的方法，提高归纳概括能力及演绎推理能力；
（2） 过程与方法：历经在复杂几何背景下抽象出基本图形，在自主探究合作交流过程中归纳概括手拉手模型的过程，自主构建新的认知体系；
（3） 情感态度与价值观;激发学习兴趣，培养归纳总结的习惯，体验成功的快乐。
教学重点：在运动变化中探究手拉手模型的特点，在变式练习中归纳概括用三角形全等解决问题的方法。
教学难点：根据条件特点添加辅助线创造手拉手全等三角形解决问题。
教学过程：
一进入问题情境
1、演示：等边三角形OAB和等边三角形OCD绕点O旋转（图一）

（图一） （ 图二）
2、提出问题：
（1）基本图形是什么？变换方式是什么？
（2）等边三角形OAB与等边三角形OCD在绕点O旋转的过程中你发现了什么？（图二）
学生活动：互相交流后得出猜想：
(1)△OAC≅△OBD
(2)AC=BD
(3)∠AMB=60°
【设计意图】
运用动感的画面激发学生的学习热情，调动学生的探究欲望。
二引导自主探究
1、 将△OAB旋转到特殊位置：A、O、D三点共线
思考：我们猜想的三个结论如何一一证明呢？
学生活动：经过独立探究后交流证明过程

2、 将△OAB旋转到：OB落在△OCD的外部

引导学生明确此图的证明方法与上图基本相同。此图起对照作用，证明方法简略处理。
3、 将△OAB旋转到：OB落在△OCD的内部

引导学生思考交流证明方法，着重分析证明∠AOC=∠BOD的方法与上图的不同。
（活动中教师关注学生是否积极参与学习，交流是否广泛，学生倾听纠错是否认真，观察学生在学习中所表现出来的兴趣、思维交流、归纳等各项指标。）

【设计意图】
以等边三角形为几何背景，以共点旋转为变换方式构成题目，让学生在运动变化中体会数学的精彩纷呈。教学时化动为静，采用由特殊到一般的方法层层探索，使学生掌握基本的探究问题的方法，在动态几何旋转变换中培养学生善于抓住变化中不变的量寻找三角形全等来解决问题的技巧，从而提高学生分析问题解决问题的能力。
三提炼交流发言
1、提出问题：通过我们的探究可以得到“什么样的图形给予什么样的条件可以产生什么结论？”
2、互相交流
3、总结：有公共顶点的两个等边三角形，因为公共点处相连的四条边构成一对新的全等三角形，像旋转的指针，可以形象地看作两双手拉在一起，所以通常称为手拉手模型。
【设计意图】
归纳总结手拉手模型，抽象出基本几何图形解决几何问题。培养学生反思总结的良好习惯，构建新的知识体系，使知识得到升华。
四变式应用提高
（变式一）（变式二）
（变式三）（变式四）

变式一 等腰直角三角形OAB和等腰直角三角形OCD绕点O旋转，旋转过程中会产生哪些结论？写出结论并证明。
教师为学生提供探究的素材，创造探究的时间和空间，引导学生采用小组合作探究的方式展开学习。在分组研究时教师要关注学生的合作学习不要流于行式，并给予恰当的引导。
学生活动：（1）分组探究结论及证明方法。在大家探究的同时选两个小组在黑板上展示探究过程。
(2)板演的小组汇报探究结果，其他小组评价补充。
变式二 正方形OABC和正方形ODEF绕点O旋转，上面的结论还成立吗？
（观察对比，得出结论）
变式三 将上面的图形改成一个等腰直角三角形，一个正方形，结论还成立吗？
引导思考：为什么两个等腰直角三角、两个正方形或一个正方形一个等腰直角三角形绕公共顶点旋转得出的结论是一样的？
教师活动：将正方形的右上两条边隐藏改变其形状变成等腰直角三角形。
学生活动：关注图形变化中的变量与不变的量，从而发现影响三角形全等的本质条件。
思考:什么样的几何背景下可以产生手拉手全等三角形？
变式四 引发思考：呈现用两个正五边形绕公共点旋转产生的手拉手模型，通过拉动点改变边和角来感悟产生手拉手模型的本质条件。
自主归纳：顶角相等且顶点重合的两个等腰三角形可产生手拉手全等三角形。

【设计意图】
将等边三角形依次变成等腰直角三角形、正方形、等腰三角形等基本几何图形，通过变式练习，培养学生分类讨论的思想及思维的缜密性，使学生能够透过现象看本质，发现产生手拉手模型的本质条件，为后面抓住关键条件构造手拉手全等三角形做好铺垫。
链接中考（铁岭中考改编）
点D是等腰直角三角形ABC斜边BC所在直线上的一点，连接AD。
（1） 当点D在线段BC上时，将线段AD绕点A逆时针旋转90度得到线段AE,连接CE，则线段BD与CE有怎样的数量关系和位置关系。
（2） 当点D在线段BC的延长线上时，上面的结论是否成立，请说明理由。

学生独立完成，交流展示提高。
变式：从例题中抽象出基本几何图形，用几何画板变式

(图一) ( 图二)

(图三)
（1） 等腰直角三角形中构造手拉手全等三角形
提出问题：共点选择那个点？采用什么方法创造?（90度顶点处旋转90度）
教师用几何画板演示创造手拉手全等三角形的过程
（2） 等边三角形中构造手拉手全等三角形
方法：将一条边任意顶点处旋转60度
（3） 复杂情境中构造手拉手全等三角形
等边三角形ABD和等边三角形BCD，点G在线段BD上移动，∠EGF=60度
【设计意图】
通过链接中考及变式练习，使学生体会当具备特殊图形时我们可以自主构造手拉手全等三角形来解决问题，运用几何画板的动态演示，使学生感悟借助等边三角形、等腰直角三角形构造手拉手全等三角形的方法技巧，提高创造全等三角全等的意识及能力。
五反思总结提高
学生畅谈收获，师生共同反思总结提高。
【设计意图】
使学生在交流中感悟到我们要善于在复杂图形中抽象出基本几何图形，并在基本几何图形中抓住关键性条件构造手拉手全等三角形解决问题。
六课外拓展延伸
旋转与三角形全等归纳起有三种题型：
（1） 手拉手全等
（2） 半角模型
（3） 旋转构造三角形全等
将半角模型布置为课外作业：
题目:等边△ABC中∠DAE等于30度，则线段BD、DE和线段EC构成什么三角形？
变式：等腰直角△ABC中∠DAE等于45度，则线段BD、DE和线段EC构成什么三角形？

【设计意图】
通过课外拓展延伸练习，开阔学生视野，进一步培养归纳概括能力及演绎推理能力，提升学生的几何素养。