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第一讲：方程（组）与不等式（组）
一. 教学目标：
1. 掌握一元一次方程、二元一次方程组、一元二次方程、分式方程的定义，
2. 使学生掌握解方程的基本思想、方法、步骤。并能熟练运用各技巧解一元一次方程、二元一次方程组、一元二次方程、分式方程。
3. 列一元一次方程 二元一次方程组、一元二次方程、分式方程解应用题。
二. 教学重点与难点
1. 一元二次方程、分式方程的解法及其运用
2. 列方程解决生活实际中的问题
三.知识要点
知识点1、方程（组）的解（整数解）等概念。
使等式左右两边相等的未知数的值叫做方程的解
知识点2、一元一次方程及二元一次方程组的定义
只含有一个未知数并且未知数的次数是1系数不为0的方程叫做一元一次方程
几个二元一次方程组成一组，叫做二元一次方程组
知识点3、一元一次方程、二元一次方程组的解法
一元一次方程的解法是：去分母，去括号，移项，合并同类，系数化为1
二元一次方程组的解法是：通过加减，代入消元转化为一元一次方程
知识点4、一元一次方程与一次函数、一元一次不等式之间的关系
当为二元一次方程中的一个未知数的取值确定范围时，可利用一元一次不等式组确定另一个未知数的取值范围由于任何二元一次方程都可以转化为一次函数的形式，所以解二元一次方程可以转化为：当y＝0时，求x的值。从图象上看，这相当于已知纵坐标，确定横坐标的值。
知识点5、一元二次方程的定义
ax2＋bx＋c＝0（a≠0），a，b，c均为常数，尤其a不为零要切记。写出4种类型的方程，并掌握根与系数之间的关系
知识点6、一元二次方程的几种解法
如直接开平方法、配方法、因式分解法、公式法等，弄清化一元二次方程为一元一次方程的转化思想。
知识点7、分式方程的解法
（1）去分母，把分式方程转化为整式方程
（2）解整式方程
（3）检验
知识点8、解分式方程要验根的原因
解分式方程时我们在方程的两边同乘了一个可能使分母为0的整式.
因为解分式方程可能产生增根，所以解分式方程必须检验.
知识点9、关于行程、工程、储蓄、打折销售等基本类型应用题的分析
掌握生活中问题的数学建模的方法，多做一些综合性的训练。
例1. 选择题
（1）中央电视台2套“开心辞典”栏目中，有一期的题目如图所示，两个天平都平衡，则三个球体的重量等于（ D ）个正方体的重量。
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
（2）如图给出的是2007年某月份的日历表，任意圈出一竖列上相邻的三个数，请你运用方程思想来研究，发现这三个数的和不可能是（ D ）
A. 69 B. 54 C. 27 D. 40
（3）小明的父亲到银行存入20000元人民币，存期一年，年利率为1.98%，到期后应交纳所获利息的20%的利息税，那么小明的父亲存款到期交利息税后共得款（ D ）
A. 20158.4元 B. 20198元 C. 20396元 D. 20316.8元
（4）我国股市交易中每买卖一次需交千分之七点五的各种费用，某投资者以每股10元的价格买入上海某股票1000股，当该股票涨到12元时全部卖出，该投资者实际盈利为（ C ）
A. 2000元 B. 1925元 C. 1835元 D. 1910元
（5）一件商品按成本价提高40%后标价，再打8折（标价的80%）销售，售价为240元，设这件商品的成本价为x元，根据题意，下面所列的方程正确的是（ B ）
A. x·40%×80%＝240 B. x（1＋40%）×80%＝240
C. 240×40%×80%＝x D. x·40%＝240×80%
10
8
13
（6）在3×3方格上做填字游戏，要求每行每列及对角线上三个方格中的数字和都等于S，又填在图中三格中的数字如图，若要能填成，则（ B ）
A. S＝24 B. S＝30 C. S＝31 D. S＝39
（7）已知方程组的解为，则2a－3b的值为（ B ）
A. 4 B. 6 C. －6 D. －4
（8）在平行四边形的周长是48，对角线与相交于点，的周长比的周长多6，若设，，则可用列方程组的方法求，的长，这个方程组可以是：（ A ）
A. B. C. D.
（9）如图，已知函数y＝ax＋b和y＝kx的图象交于点P，则根据图像可得，关于的二元一次方程组的解是（ C ）
A.
（10）不解方程判别方程2x2＋3x－4＝0的根的情况是（ B ）
A. 有两个相等实数根； B. 有两个不相等的实数根；
C. 只有一个实数根； D. 没有实数根
（11）在一幅长80cm，宽50cm的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形图．如果要使整个挂图的面积是5400cm2，设金色纸边的宽为xcm，那么x满足的方程是（ B ）
A. x2＋130x－1400＝0 B. x2＋65x－350＝0
C. x2－130x－1400＝0 D. x2－65x－350＝0
（12）两圆的半径分别是方程x2－3x＋2＝0的两根。且圆心距d＝1，则两圆的位置关系是（ B ）
A. 外切 B. 内切 C. 外离 D. 相交
（13）已知x是实数，且，那么x2＋3x的值为（ B ）
A. 1 B. －3或1 C. 3 D. －1或3
（14）分式的值为0，则x的取值为（ A ）。
A. x＝－3 B. x＝3 C. x＝－3或x＝1 D. x＝3或x＝－1
（15）若关于x的分式方程有增根，则m的值为（ C ）
A. －2 B. 0 C. 1 D. 2
例2. 填空题
（1）我市某县城为鼓励居民节约用水，对自来水用户按分段计费方式收取水费：若每月用水不超过7立方米，则按每立方米1元收费；若每月用水超过7立方米，则超过部分按每立方米2元收费，如果某居民户今年5月缴纳了17元水费，那么这户居民今年5月的用水量为12立方米。
（2）把一张面值50元的人民币换成10元、5元的人民币，共有4种换法．
（3）若一个等腰三角形三边长均满足方程x2－6x＋8＝0，则此三角形的周长为10．
（4）当k的值是0（填出一个值即可）时，方程 只有一个实数根。
例3. 方程（m＋1）x|m|＋1＋（m－3）x－1＝0．
（1）m取何值时，方程是一元二次方程，并求出此方程的解；
（2）m取何值时，方程是一元一次方程．
解：（1）m＝1，x1＝ （2）m＝0或m＝－1
例4. 某校的一间阶梯教室，第1排的座位数为a，从第2排开始，每一排都比前一排增加b个座位。
⑴请你在下表的空格里填写一个适当的代数式：
第1排的座位数
第2排的座位数
第3排的座位数
第4排的座位数
……
a
a＋b
a＋2b
……
⑵已知第4排有18个座位，第15排座位数是第5排座位数的2倍，求第21排有多少个座位？
解：（1）
（2）依题意得
解得
∴12＋20×2＝52
答：第21排有52个座位.
例5. 某印刷厂1月份印刷了书籍60万册，第一季度共印刷了200万册，问2、3月份平均每月的增长率是多少？
解：设2、3月份平均每月的增长率为x，即60＋60（1＋x）＋60（1＋x）2＝200
设增长率为x列方程60＋60（1＋x）＋60（1＋x）2＝200
例6. 探究：
（1）方程x2＋2x＋1＝0的根为x1＝____，x2＝_____，则x1＋x1＝______，x1·x2＝_____；
（2）方程x2－3x－1＝0的根为x1＝____，x2＝_____，则x1＋x2＝______，x1·x2＝_____；
（3）方程3x2＋4x－7＝0的根为x1＝_____，x2＝_____，则x1＋x2＝______，x1·x2＝_____．
由（1）（2）（3）你能得到什么猜想？并证明你的猜想．请用你的猜想解答下题
已知2＋是方程x2－4x＋C＝0的一个根求方程的另一个根及C的值．
解：（1）x1＝－1，x2＝－1，x1＋x2＝－2，x1·x2＝1
（2）x1＝，x1＋x2＝3，x1·x2＝－1
（3）x1＝1，x2＝－，x1＋x2＝－，x1·x2＝－
猜想：ax2＋bx＋c＝0的两根为x1与x2，则x1＋x2＝－，x1·x2＝，证明略
应用：另一根为2－，C＝1
例7. 某体育彩票经销商计划用45000元从省体彩中心购进彩票20扎，每扎1000张，已知体彩中心有A，B，C三种不同价格的彩费，进价分别是A种彩票每张1.5元，B种彩票每张2元，C种彩票每张2.5元．
（1）若经销商同时购进两种不同型号的彩票20扎，用去45000元，请你设计进票方案；
（2）若销售A型彩票一张获手续费0.2元，B型彩票一张获手续费0.3元，C型彩票张获手续费0.5元．在购进两种彩票的方案中，为使销售完时获得手续费最多，你选择哪种进票方案？
（3）若经销商准备用45000元同时购进A，B，C三种彩票20扎，请你设计进票方案．
解：可设经销商从体彩中心购进A种彩票x张，B种彩票y张，C种彩票z张，
则可分以下三种情况考虑：
（1）只购进A种彩票和B种彩票，依题意可列方程组
解得x<0，所以无解．只购进A种彩票和C种彩票，
依题意可列方程组，
只购进B种彩票和C种彩票，依题可列方程组，综上所述，若经销商同时购进不同型号的彩票，共有两种方案可行，即A种彩票5扎，C种彩票15扎或B种彩票与C种彩票各10扎．
（2）若购进A种彩票5扎，C种彩票15扎，销售完后获手续费为0.2×5000＋0.5×15000＝8500（元）；若购进B种彩票与C种彩票各10扎，销售完后获手续费为0.3×10000＋0.5×10000＝8000（元），∴为使销售完时获得手续费最多，选择的进票方案为A种彩票5扎，C种彩票15扎．
（3）若经销商准备用45000元同时购进A，B，C三种彩票共20扎．设购进A种彩票x扎，B种彩票y扎，C种彩票z扎，
则
∴1≤x<5，
又∵x为正整数，共有4种进票方案，即A种1扎，B种8扎，C种11扎，或A种2扎，B种6扎，C种12扎，或A种3扎，B种4扎，C种13扎，或A种4扎，B种2扎，C种14扎．
课后练习
一. 填空题：
1. 方程 2x＋y＝5 的所有正整数解为＿＿＿＿
2. 若 是方程3ax－2y＝2 的解，则 a＝＿＿＿＿
3. 当 a ＿＿＿＿时，方程 （a－1） x2＋x－2＝0 是一元二次方程。
4. 方程的解为＿＿＿＿
5. 如果方程有增根，那么m＝＿＿＿＿
6. 3名同学参加乒乓球赛，每两名同学之间赛一场，一共需要＿＿场比赛，则5名同学一共需要＿＿＿＿比赛。
7. 如图，四个一样大的小矩形拼成一个大矩形，如果大矩形的周长为12cm，那么小矩形的周长为＿＿＿＿cm。
8. 长20m、宽15m的会议室，中间铺一块地毯，地毯的面积是会议室面积的，若四周未铺地毯的留空宽度相同，则留空的宽度为＿＿＿＿。
二. 选择题：
1. 下列方程中，属于一元一次方程的是（ ）
A. x＝y＋1 B. C. x2＝x－1 D. x＝1
2. 已知3－x＋2y＝0，则2x－4y－3的值为（ ）
A. －3 B. 3 C. 1 D. 0
3. 用“加减法”将方程组中的x消去后得到的方程是（ ）
A. y＝8 B. 7y＝10 C. －7y＝8 D. －7y＝10
4. 下列方程中是一元二次方程的是（ ）
A. x＋3＝5 B. xy＝3 C. D. 2x2－1＝0
5. 若关于x的方程无解，则a的值等于（ ）
A. 0 B. 1 C. 2 D. 4
6. 方程2x（x－2）＝3 （x－2）的根是（ ）
A. B. x＝2 C. D.
7. 把方程x2＋3＝4x配方得（ ）
A. （x－2）2＝7 B. （x－2）2＝1 C. （x＋2）2＝1 D. （x＋2）2＝2
8. 二元二次方程组的解是（ ）
A. B.
C. D.
9. 在2006年德国世界杯足球赛中，32支足球队将分为8个小组进行单循环比赛，小组比赛规则如下：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分．若小组赛中某队的积分为5分，则该队必是（ ）
A. 两胜一负 B. 一胜两平 C. 一胜一平一负 D. 一胜两负
10. 某车间原计划 x 天内生产零件 50 个，由于采用新技术，每天多生产零件 5 个，因此提前3 天完成任务，则可列出的方程为（ ）
A. B. C. D.
11. 把一个小球以 20m/s 的速度竖直向上弹出，它在空中高度h（m）与时间t（s）满足关系：h＝20t－5t2，当h＝20时，小球的运动时间为（ ）
A. 20s B. 2s C. D.
12. 某商品因换季准备打折出售，若按定价的七五折出售将赔 25 元，若按定价的九折出售将赚20元，则这种商品的定价为（ ）
A. 280元 B. 300元 C. 320元 D. 200元
三. 解答题
1. 我国第一条城际铁路——合宁铁路（合肥至南京）建成后，合肥至南京的铁路运行里程将由原来的312km缩短至154km，设计时速是原来时速的2.5倍，旅客列车运行时间比原来缩短约3.13h，求合宁铁路的设计时速。
2. 某商场将进货价为30元的台灯以40元售出，平均每月能售出600个．调查表明：这种台灯的售价每上涨1元，其销售量就将减少10个．为了实现平均每月10000元的销售利润，这种台灯的售价应定为多少？这时应进台灯多少个？请你利用方程解决这一问题．
3. 机械加工需要用油进行润滑以减少摩擦，某企业加工一台大型机械设备润滑用油量为90千克，用油的重复利用率为60%，按此计算，加工一台大型机械设备的实际耗油量为36千克．为了建设节约型社会，减少油耗，该企业的甲、乙两个车间都组织了人员为减少实际耗油量进行攻关．
（1）甲车间通过技术革新后，加工一台大型机械设备润滑油用油量下降到70千克，用油的重复利用率仍然为60%。问甲车间技术革新后，加工一台大型机械设备的实际耗油量是多少千克？
（2）乙车间通过技术革新后，不仅降低了润滑用油量，同时也提高了用油的重复利用率，并且发现在技术革新的基础上，润滑用油量每减少1千克，用油量的重复利用率将增加1.6%．这样乙车间加工一台大型机械设备的实际耗油量下降到12千克．问乙车间技术革新后，加工一台大型机械设备润滑用油量是多少千克？用油的重复利用率是多少？
4. 某玩具厂工人的工作时间规定：每月25天，每天8h，待遇：按件订酬，多劳多得，每月另加福利工资100元，按月结算。该厂生产A、B两种产品，工人每生产一件A产品，可得到报酬0.75元，每生产一件B种产品，可得报酬1.40元，下表记录了工人小李的工作情况：
生产A种产品件数（件）
生产B种产品件数（件）
总时间（min）
1
1
35
3
2
85
根据上表提供的信息，请回答下列问题：
（1）小李每生产一件A种产品、每生产一件B种产品，分别需要多少分钟？
（2）如果生产各种产品的数目没有限制，那么小李每月的工资数目在什么范围之内？
练习答案
一. 填空题：
1. 2. a＝2 3. a≠1 4. 0 5. m＝－3 6. 3 10 7. 6 8. 2.5m
二. 选择题：
1. D 2. B 3. D 4. D 5. A 6. C 7. B 8. C 9. B 10. A 11. B 12. B
三. 解答题
1. 解：设旅客列车现行速度是xkm/h，则，∴x＝80经检验x＝80
是原方程的根，而2.5×80＝200。故设计时速是200km/h。
2. 解：设售价为x元，则（x－30）[600－（x－40）×10]＝10000，
解得x＝50，x＝80，即售价为50元时进500个．售价为80元时进200个
3. 解：（1）由题意，得70×（1－60%）＝70×40%＝28（千克）．
（2）设乙车间加工一台大型机械设备润滑用油量为x千克．
由题意，得：x×[1－（90－x）×1.6%－60%]＝12，
整理得x－65x－750＝0，解得：x1＝75，x2＝－10（舍去），（90－75）×1.6%＋60%＝84%．
答：（1）技术革新后，甲车间加工一台大型机械设备的实际耗油量是28千克．（2）技术革新后，乙车间加工一台大型机械设备润滑用油量是75千克，用油的重复利用率是84%．
4. 解：设小李每生产一件A种产品、每生产一件B种产品分别需要xmin和ymin，根据题意，得解之，得
（2）方法一：设小李每月生产A种产品x件，B种产品y件（x、y均为非负整数），月工资数目为w元，根据题意，
得 即
w最大＝－0.3·0＋940，当x＝800时，w最小＝－0.3·800＋940＝700，因为生产各种产品的数目没有限制，所以700≤w≤940，即小李每月的工资数目不低于700元而不高于940元。
方法二：由（1）知小李生产A种产品每分钟可获利0.05元，生产B种产品每分钟可获利0.07元，若小李全部生产A种产品，每月的工资数目为700元，若小李全部生产B种产品，每月的工资数目为940元，小李每月的工资数目不低于700元而不高于940元。
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