大连市真金教育信息咨询有限公司高三数学对数函数及其性质精炼试题.doc

"辽宁省大连市真金教育信息咨询有限公司高三数学 第02章 对数函数及其性质精炼试题 新人教A版 "
【考点导读】
1.理解对数函数的概念和意义，能画出具体对数函数的图像，探索并理解对数函数的单调性；
2.在解决实际问题的过程中，体会对数函数是一类重要的函数模型；
3.熟练运用分类讨论思想解决指数函数，对数函数的单调性问题．
【基础练习】
1. 函数的单调递增区间是．
2. 函数的单调减区间是．
【范例解析】
例1. （1）已知在是减函数，则实数的取值范围是_________．
（2）设函数，给出下列命题：
①有最小值； ②当时，的值域为；
③当时，的定义域为；
④若在区间上单调递增，则实数的取值范围是．
则其中正确命题的序号是_____________．
分析：注意定义域，真数大于零．
解：（1），在上递减，要使在是减函数，则；又在上要大于零，即，即；综上，．
（2）①有无最小值与a的取值有关；②当时，，成立；
③当时，若的定义域为，则恒成立，即，即成立；④若在区间上单调递增，则解得，不成立．
点评：解决对数函数有关问题首先要考虑定义域，并能结合对数函数图像分析解决．
例3.已知函数，求函数的定义域，并讨论它的奇偶性和单调性.
分析：利用定义证明复合函数的单调性．
解：x须满足所以函数的定义域为（－1，0）∪（0，1）.
因为函数的定义域关于原点对称，且对定义域内的任意x，有
，所以是奇函数.
研究在（0，1）内的单调性，任取x1、x2∈（0，1），且设x1<x2 ，则

得>0，即在（0，1）内单调递减，
由于是奇函数，所以在（－1，0）内单调递减.
点评：本题重点考察复合函数单调性的判断及证明，运用函数性质解决问题的能力．
【反馈演练】
1．给出下列四个数：①；②；③；④.其中值最大的序号是___④___.
2．设函数的图像过点，，则等于___5_ _．
3．函数的图象恒过定点，则定点的坐标是．
4．函数上的最大值和最小值之和为a，则a的值为．
5．函数的图象和函数的图象的交点个数有___3___个.
第6题
6．下列四个函数：①； ②；③；
④.其中，函数图像只能是如图所示的序号为___②___.
7．求函数,的最大值和最小值．
解：
令，，则，
即求函数在上的最大值和最小值．
故函数的最大值为0，最小值为．
8．已知函数．
．
当时，，故在上为减函数；同理在上也为减函数；
当时，，故在，上为增函数．

第10课 函数与方程
【考点导读】
1.能利用二次函数的图像与判别式的正负，判断一元二次方程根的存在性及根的个数，了解函数零点与方程根的联系．
2.能借助计算器用二分法求方程的近似解，并理解二分法的实质．
3.体验并理解函数与方程的相互转化的数学思想方法．
【基础练习】
1.函数在区间有_____1 ___个零点．
2.已知函数的图像是连续的，且与有如下的对应值表：

1
2
3
4
5
6

－2.3
3.4
0
－1.3
－3.4
3.4
则在区间上的零点至少有___3__个．
【范例解析】

例1.是定义在区间[－c，c]上的奇函数，其图象如图所示：令，
则下列关于函数的结论：
①若a<0，则函数的图象关于原点对称；
②若a=－1，－2<b<0，则方程=0有大于2的实根；
③若a≠0，，则方程=0有两个实根；
④若，，则方程=0有三个实根．
其中，正确的结论有___________．
分析：利用图像将函数与方程进行互化．
解：当且时，是非奇非偶函数，①不正确；当，时，是奇函数，关于原点对称，③不正确；当，时，，由图知，当时，才有三个实数根，故④不正确；故选②．
点评：本题重点考察函数与方程思想，突出考察分析和观察能力；题中只给了图像特征，因此，应用其图，察其形，舍其次，抓其本．

例2.设，若，，．
求证：（1）且；
（2）方程在内有两个实根．
分析：利用，，进行消元代换．
证明：（1），，由，得，代入得：
，即，且，即，即证．
（2），又，．则两根分别在区间，内，得证．
点评：在证明第（2）问时，应充分运用二分法求方程解的方法，选取的中点来考察的正负是首选目标，如不能实现，则应在区间内选取其它的值．本题也可选，也可利用根的分布来做．

【反馈演练】
1．设，为常数．若存在，使得，则实数a的取值范围是 ．
2．设函数若，，则关于x的方程解的个数为 （ C ）
A．1 B．2 C．3 D．4
3．已知，且方程无实数根，下列命题：
①方程也一定没有实数根；②若，则不等式对一切实数都成立；
③若，则必存在实数，使
④若，则不等式对一切实数都成立．
其中正确命题的序号是 ①②④ ．
4．设二次函数，方程的两根和满足．求实数的取值范围．
解：令，
则由题意可得．
故所求实数的取值范围是．
5．已知函数是偶函数,求k的值；
解： 是偶函数，

由于此式对于一切恒成立，
6．已知二次函数．若a>b>c，　且f（1）=0，证明f（x）的图象与x轴有2个交点.
证明：
的图象与x轴有两个交点.

第11课 函数模型及其应用
【考点导读】
1.能根据实际问题的情境建立函数模型，结合对函数性质的研究，给出问题的解答．
2.理解数据拟合是用来对事物的发展规律进行估计的一种方法，会根据条件借助计算工具解决一些简单的实际问题．
3.培养学生数学地分析问题，探索问题，解决问题的能力．
【基础练习】
1今有一组实验数据如下：

1.99
3.0
4.0
5.1
6.12

1.5
4.04
7.5
12
18.01
现准备用下列函数中的一个近似地表示这些数据满足的规律，
① ② ③ ④
其中最接近的一个的序号是______③_______．
2.某摩托车生产企业，上年度生产摩托车的投入成本为1万元/辆，出厂价为1.2万元/辆，年销售量为1000辆.本年度为适应市场需求，计划提高产品档次，适度增加投入成本.若每辆车投入成本增加的比例为x(0 < x < 1)，则出厂价相应的提高比例为0.75x，同时预计年销售量增加的比例为0.6x.已知年利润 = (出厂价－投入成本)×年销售量.
(Ⅰ)写出本年度预计的年利润y与投入成本增加的比例x的关系式；
(Ⅱ)为使本年度的年利润比上年有所增加，问投入成本增加的比例x应在什么范围内？
解：（Ⅰ）由题意得y = [ 1.2×(1+0.75x)－1×(1 + x) ] ×1000×( 1+0.6x )（0 < x < 1）
整理得 y = －60x2 + 20x + 200（0 < x < 1）.
（Ⅱ）要保证本年度的利润比上年度有所增加，当且仅当
即 解不等式得.
答：为保证本年度的年利润比上年度有所增加，投入成本增加的比例x应满足0 < x < 0.33.

【范例解析】
例. 某蔬菜基地种植西红柿，由历年市场行情得知，从二月一日起的300天内，西红柿市场售价与上市时间的关系用图一的一条折线表示；西红柿的种植成本与上市时间的关系用图二的抛物线段表示．
(Ⅰ)写出图一表示的市场售价与时间的函数关系式p=f(t)；写出图二表示的种植成本与时间的函数关系式Q=g(t)；
(Ⅱ)认定市场售价减去种植成本为纯收益，问何时上市的西红柿纯收益最大？

(注：市场售价和种植成本的单位：元/102kg，时间单位：天)
解：(Ⅰ)由图一可得市场售价与时间的函数关系为

由图二可得种植成本与时间的函数关系为
g(t)= (t－150)2+100，0≤t≤300．
(Ⅱ)设t时刻的纯收益为h(t)，则由题意得
h(t)=f(t)－g(t)，
即
当0≤t≤200时，配方整理得
h(t)=－(t－50)2+100，
所以，当t=50时，h(t)取得区间[0，200]上的最大值100；
当200<t≤300时，配方整理得：h(t)=－(t－350)2+100，
所以，当t=300时，h(t)取得区间（200，300]上的最大值87.5．
综上:由100>87.5可知，h(t)在区间[0，300]上可以取得最大值100，此时t=50，即从二月一日开始的第50天时，上市的西红柿纯收益最大
【反馈演练】

1．把长为12cm的细铁丝截成两段，各自围成一个正三角形，则这两个正三角形面积之和的最小值是___________．
2．某地高山上温度从山脚起每升高100m降低0.7℃，已知山顶的温度是14.1℃，山脚的温度是26℃，则此山的高度为_____17_____m．
3．某公司在甲、乙两地销售一种品牌车，利润（单位：万元）分别为L1=5.06x－0.15 x 2和L2=2 x，其中x为销售量（单位：辆）.若该公司在这两地共销售15辆车，则能获得的最大利润为____45.6___万元．
4．某单位用木料制作如图所示的框架，框架的下部是边长分别为x，y(单位：m)的矩形.上部是等腰直角三角形. 要求框架围成的总面积8cm2. 问x、y分别为多少时用料最省?

解：由题意得 xy+x2=8，∴y==(0<x<4).
则框架用料长度为l=2x+2y+2()=(+)x+≥4.