工学结构力学第九讲.pptx

第九章第九章 虚功原理和结构的虚功原理和结构的 位移计算位移计算9.1 结构位移计算概述结构位移计算概述 一、结构的位移一、结构的位移(Displacement of Structures)A位移位移转角位移转角位移线位移线位移A A点线位移点线位移点线位移点线位移A A点水平位移点水平位移点水平位移点水平位移A A点竖向位移点竖向位移点竖向位移点竖向位移A A截面转角截面转角截面转角截面转角P9.1 结构位移计算概述结构位移计算概述 一、结构的位移一、结构的位移(Displacement of Structures)AP引起结构位移的原因引起结构位移的原因制造误差制造误差 等等荷载荷载温度温度改变改变支座移动支座移动铁路工程技术规范规定铁路工程技术规范规定:二、二、计算位移的目的计算位移的目的(1)刚度要求刚度要求在工程上，吊车梁允许的挠度在工程上，吊车梁允许的挠度 1/600 跨度；跨度；桥梁在竖向活载下，钢板桥梁和钢桁梁桥梁在竖向活载下，钢板桥梁和钢桁梁最大挠度最大挠度 1/700 和和1/900跨度跨度高层建筑的最大位移高层建筑的最大位移 1/1000 高度。高度。最大层间位移最大层间位移 1/800 层高。层高。(2)超静定、动力和稳定计算超静定、动力和稳定计算(3）施工要求）施工要求（3）理想联结）理想联结(Ideal Constraint)。三、三、本章位移计算的假定本章位移计算的假定叠加原理适用叠加原理适用（principle of superposition)(1)线弹性线弹性(Linear Elastic),(2)小变形小变形(Small Deformation),四、四、计算方法计算方法单位荷载法单位荷载法(Dummy-Unit Load Method)9.2 变形体虚功原理变形体虚功原理(Principle of Virtual Work)一、功一、功(Work)、实功、实功(Real Work)和虚功和虚功(Virtual Work)功：力对物体作用的累计效果的度量功：力对物体作用的累计效果的度量功：力对物体作用的累计效果的度量功：力对物体作用的累计效果的度量 功功功功=力力力作用点沿力方向上的位移力作用点沿力方向上的位移实功：实功：实功：实功：力在自身所产生的位移上所作的功力在自身所产生的位移上所作的功虚功：虚功：虚功：虚功：力在非自身所产生的位移上所作的功力在非自身所产生的位移上所作的功6.2 变形体虚功原理变形体虚功原理(Principle of Virtual Work)一、功一、功(Work)、实功、实功(Real Work)和虚功和虚功(Virtual Work)力状态力状态位移状态位移状态（虚力状态）（虚位移状态）注意：注意：注意：注意：（1）属）属同一同一体系；体系；（2）均为可能状态。即位移）均为可能状态。即位移 应满足应满足变形协调条件变形协调条件；力状态应满足力状态应满足平衡条件平衡条件。（3）位移状态与力状态）位移状态与力状态完全无关完全无关；二、广义力、广义位移二、广义力、广义位移一个力系作的总虚功一个力系作的总虚功一个力系作的总虚功一个力系作的总虚功 WW=P P P P-广义力广义力广义力广义力;-广义位移广义位移广义位移广义位移例例例例:1):1):1):1)作虚功的力系为一个集中力作虚功的力系为一个集中力作虚功的力系为一个集中力作虚功的力系为一个集中力2)2)2)2)作虚功的力系为一个集中力偶作虚功的力系为一个集中力偶作虚功的力系为一个集中力偶作虚功的力系为一个集中力偶3)3)3)3)作虚功的力系为两个等值作虚功的力系为两个等值作虚功的力系为两个等值作虚功的力系为两个等值 反向的集中力偶反向的集中力偶反向的集中力偶反向的集中力偶4)4)4)4)作虚功的力系为两个等值作虚功的力系为两个等值作虚功的力系为两个等值作虚功的力系为两个等值 反向的集中力反向的集中力反向的集中力反向的集中力PPP 刚体在外力作用下处于平衡的刚体在外力作用下处于平衡的充分必要条件是，对于充分必要条件是，对于任意微小的任意微小的虚位移，外力所作的虚功之和等于虚位移，外力所作的虚功之和等于零零。三、刚体体系的虚功原理三、刚体体系的虚功原理P23/2虚功原理的应用：虚功原理的应用：1）虚设位移求未知力（虚设位移求未知力（虚位移原理虚位移原理）2）虚设力系求位移（虚设力系求位移（虚力原理虚力原理）原理的表述：原理的表述：体系在任意平衡力系作用下，给体系以几何可能的体系在任意平衡力系作用下，给体系以几何可能的位移和变形，体系上所有位移和变形，体系上所有外力外力所作的虚功总和恒等于体所作的虚功总和恒等于体系各截面所有系各截面所有内力内力在微段变形位移上作的虚功总和。在微段变形位移上作的虚功总和。四、变形体系的虚功原理四、变形体系的虚功原理说明：（说明：（1 1）虚功原理里存在两个状态：）虚功原理里存在两个状态：力状态必须满足平衡条件；位移状态必须满足协调条件力状态必须满足平衡条件；位移状态必须满足协调条件2 2）原理适用于任何）原理适用于任何 (线性和非线性线性和非线性)的变形体，适用于的变形体，适用于任何结构。任何结构。（3 3）原理应用）原理应用 ：虚设位移求未知力（虚位移原理）：虚设位移求未知力（虚位移原理）虚设力系求位移（虚力原理）虚设力系求位移（虚力原理）ds微段的变形可分为微段的变形可分为:ddsdd1Pq2N1N1+dNQ1Q1+dQM1M1+dMds微段微段内力在变形位移上所作内力在变形位移上所作虚功：虚功：对于对于杆系结构杆系结构，内力所作虚功：，内力所作虚功：外力所作虚功：外力所作虚功：由变形体虚功原理：由变形体虚功原理：虚功原理应用举例虚功原理应用举例例例.求求A A 端支座发生竖向位移端支座发生竖向位移 c c 时引起时引起C C点的竖向位移点的竖向位移 .解：首先构造出相应的虚设力状态。即，在拟求位移之解：首先构造出相应的虚设力状态。即，在拟求位移之点（点（C C点）沿拟求位移方向（竖向）设置点）沿拟求位移方向（竖向）设置单位荷载单位荷载。由由 得：得：解得：解得：这是这是单位荷载法单位荷载法。虚功方程为：虚功方程为：ABaCbc1ABC9.3 单位荷载法计算位移和位移计算的一般公式单位荷载法计算位移和位移计算的一般公式 虚设力状态。在求位移处沿所求虚设力状态。在求位移处沿所求位移方向加上相应的广义单位力位移方向加上相应的广义单位力P=1.P=1.欲计算位移状态某位移欲计算位移状态某位移。由变形体虚功原理：由变形体虚功原理：该式是结构位移计算的一般公式。该式是结构位移计算的一般公式。1)1)适用于静定结构和超静定结构。适用于静定结构和超静定结构。2)2)适用于产生位移的各种原因、不同适用于产生位移的各种原因、不同 的变形类型、不同的材料。的变形类型、不同的材料。3)3)该式右边四项乘积，当力与变形的方该式右边四项乘积，当力与变形的方向一致时，乘积取正。向一致时，乘积取正。P=1虚拟力状态 11RP1P2t1t2位移状态 2c1KKHK9.4 荷载作用下的位移计算荷载作用下的位移计算适用于线适用于线弹性体系弹性体系1.梁与刚架梁与刚架2.桁架桁架3.组合结构组合结构4.拱拱例如例如:A求求AHAH实际状态虚拟状态A1A求求 A A1虚拟状态AA虚拟状态虚拟状态B求求ABAB11B求求 ABAB11在拟求位移处沿着拟求位移的方向，虚 相应的广义单位荷载。例例 1 1 求图示刚架求图示刚架A A点点 的的 竖竖 向位移向位移AyAy。E E、A A、I I为为常数。常数。ABCqL LLA实际状态实际状态虚拟状态虚拟状态ABC1解：1.设置虚拟状态xx选取坐标如图。则各杆弯矩方程为:AB段：x,BC段：2.实际状态中各杆弯矩方程为AB段：BC段：MP=MP=xx3.代入公式得Ay=，()=(-x)(-2qx2)EIdx+(-L)(-2qL2)EIdx例例2 2 求图示等截面梁求图示等截面梁B B端转角。端转角。解：解：1）虚拟单位荷载虚拟单位荷载MP（x1）=Px/2 0 xl/2MP（x2）=P（lx）/2 l/2 xl0 xlEIdsMMlPB0=2 2）MP须分段写须分段写m=1Pl/2l/2EIABx1x2解：解：例例3 3 求图示桁架求图示桁架(各杆各杆EAEA相同相同)k点水平位移点水平位移.梁与刚架荷载作用下的位移计算公式：梁与刚架荷载作用下的位移计算公式：9.5 图图 乘乘 法法如何利用弯矩图，使其计算得以简化？如何利用弯矩图，使其计算得以简化？一、图乘法的公式一、图乘法的公式(EI为常数为常数)(直杆直杆)图乘法求位移公式为图乘法求位移公式为:1.图乘法的应用条件：图乘法的应用条件：（1）杆轴为直线；杆轴为直线；（2）EI为常数；为常数；（3）两个弯矩图中应有一个是直线图形。两个弯矩图中应有一个是直线图形。2.图乘法的注意事项图乘法的注意事项（1 1）必须符合上述三个前提条件；）必须符合上述三个前提条件；（2 2）竖标）竖标y yC C只能取自直线图形；只能取自直线图形；（3 3）与与y yC C若在杆件同侧则乘积取正号，反之取负号。若在杆件同侧则乘积取正号，反之取负号。例例.试求图示梁试求图示梁B端转角端转角.解解:求求 取取 ycyc的图形必的图形必须是直线须是直线,不能是曲不能是曲线或折线线或折线.能用能用 M图面积乘图面积乘MP图竖标吗图竖标吗?例例.试求图示结构试求图示结构B点竖向位移点竖向位移.解解:二、几种常见图形的面积和形心的位置二、几种常见图形的面积和形心的位置(a+l)/3(b+l)/3=hl/2labhl/2l/2h二次抛物线=2hl/3h3l/4l/45l/83l/8二次抛物线二次抛物线=hl/3二次抛物线=2hl/34l/5l/5hh三次抛物线=hl/4顶点顶点 例例 求下图所示刚架求下图所示刚架C C、D D两点间距离的改变。设两点间距离的改变。设EI=EI=常数。常数。ABCDLhq解：1.作实际状态的MP图。MP图2.设置虚拟状态并作。11hhyC=h3.按公式计算（）CD=EIyC=EI1(328qL2L)h=12EIqhL2形心（）图图图图例例:求图示梁求图示梁(EI=常数常数,跨长为跨长为l)B截面转角截面转角解解:BAq三、图形分解三、图形分解求图示梁求图示梁(EI=常数常数,跨长为跨长为l)B截面转角截面转角根据弯矩区段叠加的根据弯矩区段叠加的做法，复杂图形均可做法，复杂图形均可化为简支梁相应荷载化为简支梁相应荷载作用的叠加。作用的叠加。qBA9.6 9.6 温度作用时的位移计算温度作用时的位移计算 上、下边缘的温差上、下边缘的温差 :设线膨胀系数为设线膨胀系数为温度沿杆件截面高度线性变化温度沿杆件截面高度线性变化。静定结构温度变化有形变无内力一、微段的温度变形分析一、微段的温度变形分析若若轴线温度二、温度变化时位移计算二、温度变化时位移计算温度引起的位移计算公式温度引起的位移计算公式:对等截面直杆对等截面直杆:若若 和和 使杆件的同一边使杆件的同一边产生拉伸变形，其乘积为正，产生拉伸变形，其乘积为正，反之为负。轴力拉为正，反之为负。轴力拉为正，t t0 0 升温为正。升温为正。例：刚架施工时温度为例：刚架施工时温度为20 ，试求冬季外侧温度为试求冬季外侧温度为-10 ，内侧温度为内侧温度为 0 时时A点的竖向位移点的竖向位移 。已知已知 l=4 m,各杆均为矩形截面杆，高度各杆均为矩形截面杆，高度 h=0.4 m解解：设单位力。设单位力。MllAANA9.79.7 支座移动时的位移计算支座移动时的位移计算支座移动时的位移计算支座移动时的位移计算 计算公式为计算公式为:静定结构支座移动有位移无内力K1K例例1:1:求求解：设单位力；求支反力。解：设单位力；求支反力。CBAll静定结构位移计算小结静定结构位移计算小结1.产生位移的原因产生位移的原因荷载作用；温度改变；支座移动；制造误差等。荷载作用；温度改变；支座移动；制造误差等。2.计算方法计算方法基本原理基本原理:变形体虚功原理变形体虚功原理;基本方法基本方法:单位荷载法单位荷载法;计算思路计算思路:(1)虚设单位力虚设单位力;(2)分析结构位移、变形位移；分析结构位移、变形位移；（3）得出实用位移计算公式；得出实用位移计算公式；（4）具体位移计算。具体位移计算。9.8 9.8 线弹性结构的互等定理线弹性结构的互等定理线弹性结构的互等定理线弹性结构的互等定理1.功的互等定理功的互等定理:在线性变形体系中，在线性变形体系中，在线性变形体系中，在线性变形体系中，状态的外力在状态的外力在状态的外力在状态的外力在状态位移上所做状态位移上所做状态位移上所做状态位移上所做虚功，恒等于虚功，恒等于虚功，恒等于虚功，恒等于状态外力在状态外力在状态外力在状态外力在 状态位移上所做虚功。状态位移上所做虚功。状态位移上所做虚功。状态位移上所做虚功。应用条件应用条件1):1)P P ;2);2)小变形。即小变形。即:线性变形体系。线性变形体系。N N1 1 M M1 1 Q Q1 1N N2 2 M M2 2 Q Q2 2F1F2P1P22.位移互等定理位移互等定理 由单位荷载由单位荷载P P1 1=1=1所引起的与荷载所引起的与荷载P2相应的位移相应的位移2121等于由单等于由单位荷载位荷载P2=1所引起的与荷载所引起的与荷载P1相应的位移相应的位移12。PPD=D212121若：P1=1，P2=1注意:1）这里荷载可以是广义荷载,位移是相应的广义位移。2）12与21不仅数值相等，量纲也相同。P2P121123 3、反力互等定理、反力互等定理k11k21k22k12kck+=221120ckk+221110 在任一线性变形体系中，由单位位移在任一线性变形体系中，由单位位移C1 1=1=1所引起的与位所引起的与位移移C2 2相应的反力相应的反力r r2121等于由单位位移等于由单位位移C2 2=1=1所引起的与位移所引起的与位移C1 1相相应的反力应的反力r r1212 。注意注意:1）这里支座位移可以是广义位移这里支座位移可以是广义位移,反力是相应的广义力。反力是相应的广义力。2）反力互等定理仅用与超静定结构。反力互等定理仅用与超静定结构。c1=1c2=1