立体几何-平行问题（2014）.doc

立几中的平行问题
平行关系的证明的基本思路：①利用点线面关系的互换；②立几问题转化为平面问题解决。
1．平面内如何判断线线平行：平面几何的知识：
①平行四边形(另一组对边平行且相等) ；②三角形（中位线、线段成比例）等。
2．公理4：平行于同一直线的两直线互相平行。
3．垂直于同一个平面的两条直线平行（垂线可以平移）。
4．线面关系的互换：
线线平行

线面平行 面面平行
（1）线线线面
线面平行的判定定理：如果平面外一条直线和平面内的一条
直线平行，那么直线和平面平行；

（2）（两）线面面面
面面平行的判定定理：一个如果平面内有两条相交直线和另
一个平面平行，则这两个平面平行；

（3）面面线面
面面平行的性质定理：若两个平面平行，则其中一个平面内
的任何一条直线与另一个平面平行。

*（4）面面线线
面面平行的性质定理：如果两个平行平面同时与第三个
平面相交，那么它们的交线平行；

*（5）线面线线
线面平行性质定理：一条直线和一个平面平行，那么经过这条直
线的任一平面与此平面的交线与该直线平行；

相关例题：
1．(2012辽宁文)如图，直三棱柱，，
，点分别为和的中点。
(Ⅰ)证明：∥平面;
(Ⅱ)求三棱锥的体积。【答案】

2.(2010北京)如图，正方形和四边形所在的平面互相垂直，，，，。
（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）求证：平面；
（Ⅲ）求二面角的大小。

3.(2012山东文)如图，几何体是四棱锥，△为正三角形，.
(Ⅰ)求证：；
(Ⅱ)若∠，M为线段AE的中点，
求证：∥平面.

4．(2009浙江20090423
理20)如图，平面平面，是以为斜边的等腰直角三角形，分别为，，的中点，，．
（I）设是的中点，证明：平面；
（II）证明：在内存在一点，使
平面，并求点到，的距离．

A
B
C
D
P
Q
M
5．（2013浙江）如图,在四面体中,平面,，.是的中点, 是的中点,点在线段上,且.
(1)证明:平面；
(2)若二面角的大小为,求的大小.

6．（2013安徽）如图,圆锥顶点为.底面圆心为,其母线与底面所成的角为22.5°.和是底面圆上的两条平行的弦,轴与平面所成的角为60°.
(Ⅰ)证明:平面与平面的交线平行于底面; (Ⅱ)求.【答案】

7.(2012浙江文)如图，在侧棱垂直底面的四棱柱中，，，，，，，是的中点，是平面与直线的交点.
（1）证：（i）；（ii）平面；
（2） 求与平面所成的角的正弦值.【答案】

8.(2011山东文)如图，在四棱台中，平面，底面是平行四边形，，，60°
（Ⅰ）证明：；
（Ⅱ）证明：.

9.(2012福建理)如图，在长方体中，，为中点。
（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）在棱上是否存在一点，使得平面？若存在，求的长；若不存在，说明理由。
（Ⅲ）若二面角的大小为，求的长。【答案】（3）
立几中的垂直问题
垂直关系的证明的基本思路：①利用点线面关系的互换；②立几问题转化为平面问题解决。
1．平面内如何判断线线垂直：（平面几何的知识）
①等腰三角形（三线合一）；
②直角三角形（两角和为；勾股定理，有时要用余弦定理求长度）；
③圆：直径所对的圆周角为直角（三角形某边的中线等于边长一半能够成圆）；
④菱形（邻边相等的平行四边形为菱形，从而得出对角线互助垂直）；
*⑤矩形（对角线相等的平行四边形为矩形，从而得出相邻两边垂直）；
*⑥平面内两平行直线，其中一条垂直于某直线，另一条也垂直于这条直线。
2．线面关系的互换：
线线垂直

线面垂直 面面垂直
（1）（两）线线垂直线面垂直
线面垂直的判定定理：如果一条直线与平面的两条相交直线都垂直，
那么这条直线与此平面垂直；

（2）线面垂直线线垂直
线面垂直的性质定理：如果一条直线垂直于一个平面，那么该直线垂
直于此平面内的任一直线；

（3）线面垂直面面垂直（找垂线）
面面垂直的判定定理：如果一个平面经过或平行于另一个平面的垂线，
那么这两个平面垂直；

*（4）面面垂直线面垂直(已知条件有“面面垂直”才会用到这个定理)
面面垂直的性质定理：如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们
交线的直线垂直于另一个平面；

3. 结论要证明异面直线垂直、面面垂直都是转化为线面垂直的。
4．条件如有面面垂直，一定优先转化为线面垂直。
相关例题：

(Ⅰ)

(Ⅱ)
图6

1．如图6—(Ⅰ)所示，在边长为12的正方形中，点在线段上，且，，作//，分别交、于点、，作//，分别交、于点、，将该正方形沿、折叠，使得与重合，构成如图6—(Ⅱ)所示的三棱柱．
（1）在三棱柱中，求证：平面；
（2）求（答案：20）

2．（2013广东）如图1,在等腰直角三角形中,,,分别是上的点,,为的中点.将沿折起,得到如图2所示的四棱锥,其中.(Ⅰ) 证明:平面；
(Ⅱ) 求二面角的平面角的余弦值.（答案：）
.
C
O
B
D
E
A
C
D
O
B
E

图1
图2

3．（2013江西）如图,四棱锥中，平面，为的中点，为的中点，，，，连接并延长交于.
(1) 求证:;
(2) 求平面与平面的夹角的余弦值.（）

4.(2011山东文)如图，在四棱台中，平面，底面是平行四边形，，，60°证明：；

A
B
C
D
A1
B1
C1
D1
E
F
5．如图所示，在棱长为2的正方体中，分别是、的中点.（1）求证:∥平面；
（2）求证: ⊥；
（3）求三棱锥的体积. （答案：1）

6．（2013辽宁）如图,是圆的直径，垂直圆所在的平面,是圆上的点.
(I)求证:
(II)若，，求二面角的余弦值。（答案：）

7.(2010福建理)如图，圆柱内有一个三棱柱，三棱柱的底面为圆柱底面的内接三角形，且AB是圆直径.
（Ⅰ）证明：平面平面；
（Ⅱ）设AB=，在圆柱内随机选取一点，记该点取自于三棱柱内的概率为.
（i）当点C在圆周上运动时，求的最大值；（ii）记平面与平面所成的角为，当取最大值时，求的值.（答案：（2）；(3)）

8.(2011湖南理)如图5，在圆锥中，已知，圆的直径，是的中点，为的中点．（I）证明：
（II）求二面角的余弦值．（答：）

9．(2010北京)如图，正方形和四边形所在的平面互相垂直，，，，。
（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）求证：平面；
（Ⅲ）求二面角的大小。（答：）

10．（2009深圳一模）如图，为圆的直径，点、在圆上，，矩形和圆所在的平面互相垂直．已知,．
（Ⅰ）求证：平面平面；
（Ⅱ）求直线与平面所成角的大小；
(Ⅲ)当的长为何值时，二面角的大小为？【答案】（2）；（3）；

11.如图所示的几何体是将高为2，底面半径为1的直圆柱沿过轴的平面切开后，将其中沿切面向右水平平移后得到的分别为弧的中点，分别为的中点.
（1）证明：四点共面；
（2）设为中点，延长到,使得到的,证明：⊥平面

立体几何求空间角问题
一、定义法：
求解空间角的大小，一般都是根据有关角的定义（如异面直线所成的角、斜线和平面所成的角、二面角的平面角），把空间角转化为平面角来求解的。
B
A
C
D
E
F
O

图1
例1.如图，在棱长为2的正方体中，是底面的中心，E、F分别是、的中点，那么异面直线和所成的角的余弦值等于（ ）
A、 B、 C、 D、
点评：求异面直线所成的角，一般都是通过“选点平移”将异面直线所成的角转化为共面相交的两直线的夹角来完成，但要特别注意两条异面直线所成的角的范围是。

例2.如图，在四棱锥中，正与正方形互相垂直。
（1）求直线与所成角的余弦值；
（2）求直线与平面所成角的正弦值.
答案：（1）；（2）.
点评：求直线与平面所成的角的关键是抓射影，而由斜线上一点作平面的垂线时，需要确定垂足的位置，然后再将这个角放在三角形中利用三角形的边角关系求解。

ex1.在直三棱柱中，，，。
（1）求直线与所成角的大小；
（2）求直线与平面所成角的正弦值；
（3）求直线与平面所成角的正弦值.（答案：（1）；（2）；（3））
例3. （2009深圳二模）如图一，平面四边形关于直线对称，．
把沿折起（如图二），使．对于图二，完成以下各小题：
（Ⅰ）求二面角的余弦值；
（Ⅱ）证明：平面；
（Ⅲ）求直线与平面所成角的正弦值．
B
C
D
A
图2
C
B
D
A
图1

答案：（1）；（3）。
点评：求两平面所成二面角的大小，一般是先根据二面角的定义，作出二面角的平面角，然后在三角形中求解。

Ex2.（2006广东卷）如图所示，AF、DE分别是⊙O ，⊙O1的直径.AD与两圆所在的平面均垂直，AD＝8,BC是⊙O的直径，AB＝AC＝6，OE//AD.
(Ⅰ)求二面角B—AD—F的大小；
(Ⅱ)求直线BD与EF所成角的余弦值.
答案：（1）；（2）；

B1
C1
图7
A
B
C
D
F
A1
D1
Ex3.如图7，在棱长为1的正方体ABCD—A1B1C1D1中，AC与BD交于点E，C1B于BC1交于点F。
（1）求证：A1C⊥平面BDC1；
（2）求二面角B-EF-C的余弦值.（答案：）

二、垂线法
当已知条件中出现二面角中的一个半平面内一点到另一个半平面的垂线时（或虽未给出这样的垂线，但由已知条件能够作出这样的垂线），可依据三垂线定理或其逆定理作出它的平面角，然后再求解。
例4.(2011湖南理改编)如图5，在圆锥中，已知，圆的直径，是圆弧上的点，二面角的平面角为．
（1）求二面角的余弦值．
（2）求二面角的余弦值．
（3）求二面角的余弦值．
答案：（1）；（2）；（3）；
点评：利用三垂线定理或其逆定理作二面角的关键是找垂线，即过其中一个半平面内的一点作与另一个半平面垂直的直线。

Ex4. 如图，四棱锥中，底面为矩形，底面，，点是棱的中点.
（1）证明：平面；
（2）若，求二面角的平面角的大小.（答案： ）

A
B
C
A1
B1
C1
M
图28
Ex5.如图28，在正三棱柱中，AB=2，AA1=2，M为AA1的中点，求平面C1MB与平面ABC所成二面角（锐角）的大小。（答案：450）

三、垂面法
在求解二面角的问题中，若能找到或者作出棱的垂面，则垂面与两个半平面的交线所成的角即为二面角的平面角。
例5. 如图所示，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，点 E在线段PC上，PC⊥平面BDE。

（1）证明：BD⊥平面PAC；
（2）若PH=1，AD=2，求二面角B-PC-A的正切值；（答案：3）
点评：这里由已知条件很容易找到二面角的棱EC的垂面，故运用垂面法可顺利找出二面角的平面角。

Ex6.（2007 山东理）如图,在直四棱柱中，已知
,,.
(1)设是的中点,求证: 平面;
(2)求二面角的余弦值.（答案）

_
D
_
C
_
B
_
A
_
D
_
1
_
C
_
1
_
B
_
1
_
A
_
1

H
Ex7.（2012 汕头二模）如图，已知是底面边长为1的正四棱柱，
（1）证明：平面平面
（2）当二面角的平面角为120°时，求四棱锥的体积。（1/3）

Ex8. 如图，三棱锥中，底面，，，为的中点，点在上，且.（1）求证：平面平面； （2）求平面与平面所成的二面角的平面角（锐角）的余弦值.

立体几何——向量求值公式
A
B
D
C
1.导面直线与直线所成的角

2.直线与平面所成的角
A

O

3.点到平面的距离（图中）

4. 二面角的平面角
A
（锐角）
或A
（钝角）

立体几何向量问题
先证明后建系；求点、线、面（法向量）的坐标；含参数问题的处理.
例1.如图，棱长均为的正三棱柱中，为中点.
（1）求证：面；
（2）求直线与平面的夹角的余弦值；（）
（3）求到面的距离．（）

练习1.底面是菱形的四棱锥中，，，，.
（1）证明：⊥平面.
(2)在上找一点，使得//平面.
(3)求二面角的平面角的余弦值. （）

例2．（2013江西）如图,四棱锥中，平面，为的中点，为的中点，，，，连接并延长交于.
(1) 求证:；(2) 求平面与平面的夹角的余弦值.（）

练习2.如图，三棱锥中，底面，，，为的中点，点在上，且.
（1）求证：平面平面；
（2）求平面与平面所成的二面角的平面角（锐角）的余弦值.（ ）

_
D
_
C
_
B
_
A
_
D
_
1
_
C
_
1
_
B
_
1
_
A
_
1

例3.（2012 汕头二模）如图，已知是底面边长为1的正四棱柱，
（1）证明：平面平面
（2）当二面角的平面角为120°时，求四棱锥的体积.（1/3）

练习3.（2013揭阳一模）如图，在等腰梯形CDEF中，CB、DA是梯形的高，，,现将梯形沿CB、DA折起，使且，得一简单组合体如图示，已知分别为的中点．
（1）求证：平面；
（2）求证： ；
（3）当多长时，平面与
平面所成的锐二面角为？（）

例4.（2013广州一模）如图4，在三棱柱中，△是边长为的等边三角形，平面，，分别是，的中点.
（1）求证：∥平面；
（2）若为上的动点，当与平面所成最大角的正切值为时，求平面 与平面所成二面角（锐角）的余弦值.（）

A
B
C
D

练习4.（2007安徽改编）如图，在六面体中，四边形是边长为2的正方形，四边形是边长为1的正方形，平面，平面，．
（1）求证：平面平面；
（2）若点为线段一点，若平面，则求的长度；（）
（3）求二面角的余弦．（）