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二次函数性质一览表
表达式 (a≠0)
a值
图像
开口 方向
对称轴
顶点 坐标
增减性
最值
举 例
①y=ax2
a＞0

向上
y轴
（0，0）
①当x＞0时，y随x的增大而增大
②当x＜0时，y随x的增大而减小
当x=0时，y有最小值，即y最小值=0
y=x2
y=3x2
a＜0

向下
y轴
（0，0）
①当x＞0时，y随x的增大而减小
②当x＜0时，y随x的增大而增大
当x=0时，y有最大值，即y最大值=0
y=-5x2
y=x2
②y=ax2+k
a＞0

向上
y轴
（0，k）
①当x＞0时，y随x的增大而增大
②当x＜0时，y随x的增大而减小
当x=0时，y有最小值，即y最小值=k
y=4x2+5
y=3x2-1
a＜0

向下
y轴
（0，k）
①当x＞0时，y随x的增大而减小
②当x＜0时，y随x的增大而增大
当x=0时，y有最大值，即y最大值=k
y=-2x2+3
y=-3x2-2
③y=a(x-h)2
a＞0

向上
直线x=h
（h，0）
①当x＞h时，y随x的增大而增大
②当x＜0时，y随x的增大而减小
当x=h时，y有最小值，即y最小值=0
y=2(x-3)2
y=(x+2)2
a＜0

向下
直线x=h
（h，0）
①当x＞h时，y随x的增大而减小
②当x＜0时，y随x的增大而增大
当x=h时，y有最大值，即y最大值=0
y=-3(x-2)2
y=-2(x+1)2
④y=a(x-h)2+k
a＞0

向上
直线x=h
（h，k）
①当x＞h时，y随x的增大而增大
②当x＜h时，y随x的增大而减小
当x=h时，y有最小值，即y最小值=k
y=5(x-2)2+1
y=2(x-1)2-3 y=3(x+1)2+2 y=4(x+2)2-4
a＜0

向下
直线x=h
（h，k）
①当x＞h时，y随x的增大而减小
②当x＜h时，y随x的增大而增大
当x=h时，y有最大值，即y最大值=k
y=-2(x-1)2+3 y=-3(x-2)2+1 y=-4(x+1)2+3 y=-5(x+2)2+4
⑤
y=ax2+bx+c
可化为：
y=a(x+2+
a＞0

向上
直线x=-
（-，）
①当x＞-时，y随x的增大而增大
②当x＜-时，y随x的增大而减小
当x=-时，y有最小值，即y最小值=
y=2x2+3x+4
y=3x2-3x+4
y=4x2-3x-4
y=5x2+3x-4
a＜0

向下
直线x=-
（-，）
①当x＞-时，y随x的增大而减小
②当x＜-时，y随x的增大而增大
当x=-时，y有最大值，即
y最大值=
y=-2x2+3x+4 y=-3x2-3x+4
y=-4x2-3x-4 y=-5x2+3x-4
函数名
正弦函数
余弦函数
正切函数
余切函数
解析式

图像

定义域
R
R

R
值域

R

必过点

周期性

单调性

求解
最大最小值

无最大最小值

奇偶性
奇函数
偶函数
奇函数
不确定
对称性
即是中心对称又是轴对称。对称中心为
即是轴对称又是中心对称。对称中心为
是中心对称，对称中心为
求解
渐近线
无
无
直线
无

二次函数的有关知识
一、用代定系数法求二次函数表达式的方法(a≠0)：
1、一般式：y=ax2+bx+c [已知抛物线任意三点(x1,y1),(x2,y2),(x3,y3)可设一般式求得]
2、顶点式：y=a(x-h)2+k [已知顶点坐标（h，k）和任意一点(x,y)可设顶点式求得]
3、两根式：y=a(x-x1)(x-x2) [已知抛物线与x轴是的两个交点（x1，0），（x2，0）和任意一点(x,y)可设两根式求得]
二、二次函数图象平移变换关系：

三、二次函数图象（抛物线）与x轴交点情况的判断：
y＝ax2+bx+c （a≠0，a、b、c都是常数）

四、二次函数与一元二次方程、一元二次不等式的解之间的关系：
1、二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交点的横坐标是一元二次方程ax2+bx+c=0的解。因此利用二次函数图象可求以x为未知
数的一元二次方程ax2+bx+c＝0的解（从图象上进行判断）。
2、二次函数y＝ax2+bx+c在x轴上方的图象上的点的横坐标是一元二次不等式ax2+bx+c＞0的解；在x轴下方的图象上的点的横
坐标是一元二次不等式ax2+bx+c＜0的解。
五、关于x轴、y轴对称的二次函数图象的关系：
二次函数y＝ax2+bx+c与y＝－ax2+bx+c关于x轴对称，即关于x轴对称的两个二次函数其二次项系数互为相反数，一次项系数
和常数项相同。
六、二次函数y＝ax2+bx+c,当a、b同号时，对称轴直线x＝－在x轴的负半轴，即y轴的左则；当a、b异号时，对称轴直线x＝
－在x轴的正半轴，即y轴的右则；当c＞0时，图象交于y轴的正半轴；当c＝0时图象一定过原点；当c＜0时，图象交于y轴
的负半轴。
七、任意一个二次函数y＝ax2+bx+c(a≠0，不考虑b和c的取值)都可以化为y=a(x+2+的形式,即顶点坐标为(，),
当x=-时，y有最值，即y最值=,对称轴是直线x=-.