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二次函数性质一览表.doc

1、二次函数性质一览表表达式 (a≠0) a值图像开口方向对称轴顶点坐标增减性最值举例 ①y=ax2 a＞0 向上 y轴（0，0） ①当x＞0时，y随x的增大而增大 ②当x＜0时，y随x的增大而减小当x=0时，y有最小值，即y最小值=0 y=x2 y=3x2 a＜0 向下 y轴（0，0） ①当x＞0时，y随x的增大而减小 ②当x＜0时，y随x的增大而增大当x=0时，y有最大值，即y最大值=0 y=-5x2 y=x2 ②y=ax2+k a＞0 向上 y轴（0，k） ①当x＞0时，y

2、随x的增大而增大 ②当x＜0时，y随x的增大而减小当x=0时，y有最小值，即y最小值=k y=4x2+5 y=3x2-1 a＜0 向下 y轴（0，k） ①当x＞0时，y随x的增大而减小 ②当x＜0时，y随x的增大而增大当x=0时，y有最大值，即y最大值=k y=-2x2+3 y=-3x2-2 ③y=a(x-h)2 a＞0 向上直线x=h （h，0） ①当x＞h时，y随x的增大而增大 ②当x＜0时，y随x的增大而减小当x=h时，y有最小值，即y最小值=0 y=2(x-3)2 y=(x+2)2 a＜0 向下直线x=h

3、（h，0） ①当x＞h时，y随x的增大而减小 ②当x＜0时，y随x的增大而增大当x=h时，y有最大值，即y最大值=0 y=-3(x-2)2 y=-2(x+1)2 ④y=a(x-h)2+k a＞0 向上直线x=h （h，k） ①当x＞h时，y随x的增大而增大 ②当x＜h时，y随x的增大而减小当x=h时，y有最小值，即y最小值=k y=5(x-2)2+1 y=2(x-1)2-3 y=3(x+1)2+2 y=4(x+2)2-4 a＜0 向下直线x=h （h，k） ①当x＞h时，y随x的增大而减小 ②当x＜h时，y随x的增大而增大当x=h

4、时，y有最大值，即y最大值=k y=-2(x-1)2+3 y=-3(x-2)2+1 y=-4(x+1)2+3 y=-5(x+2)2+4 ⑤ y=ax2+bx+c 可化为： y=a(x+2+ a＞0 向上直线x=- （-，） ①当x＞-时，y随x的增大而增大 ②当x＜-时，y随x的增大而减小当x=-时，y有最小值，即y最小值= y=2x2+3x+4 y=3x2-3x+4 y=4x2-3x-4 y=5x2+3x-4 a＜0 向下直线x=- （-，） ①当x＞-时，y随x的增大而减小 ②当x＜-时，y随x的增大而增大当x=-时，y有最

5、大值，即 y最大值= y=-2x2+3x+4 y=-3x2-3x+4 y=-4x2-3x-4 y=-5x2+3x-4 函数名正弦函数余弦函数正切函数余切函数解析式图像定义域 R R R 值域 R 必过点周期性单调性求解最大最小值无最大最小值奇偶性奇函数偶函数奇函数不确定对称性即是中心对称又是轴对称。对称中心为即是轴对称又是中心对称。对称中心为是中心对称，对称中心为求解渐近线无

6、无直线无二次函数的有关知识一、用代定系数法求二次函数表达式的方法(a≠0)： 1、一般式：y=ax2+bx+c [已知抛物线任意三点(x1,y1),(x2,y2),(x3,y3)可设一般式求得] 2、顶点式：y=a(x-h)2+k [已知顶点坐标（h，k）和任意一点(x,y)可设顶点式求得] 3、两根式：y=a(x-x1)(x-x2) [已知抛物线与x轴是的两个交点（x1，0），（x2，0）和任意一点(x,y)可设两根式求得] 二、二次函数图象平移变换关系：

7、三、二次函数图象（抛物线）与x轴交点情况的判断： y＝ax2+bx+c （a≠0，a、b、c都是常数）四、二次函数与一元二次方程、一元二次不等式的解之间的关系： 1、二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交点的横坐标是一元二次方程ax2+bx+c=0的解。因此利用二次函数图象可求以x为未知数的一元二次方程ax2+bx+c＝0的解（从图象上进行判断）。 2、二次函数y＝ax2+bx+c在x轴上方的图象上的点的横坐标是一元二次不等式ax2+bx+c＞0的解；在x轴下方的图象上的点的横坐标是一元二次不等式ax2+bx+c＜0的

8、解。五、关于x轴、y轴对称的二次函数图象的关系：二次函数y＝ax2+bx+c与y＝－ax2+bx+c关于x轴对称，即关于x轴对称的两个二次函数其二次项系数互为相反数，一次项系数和常数项相同。六、二次函数y＝ax2+bx+c,当a、b同号时，对称轴直线x＝－在x轴的负半轴，即y轴的左则；当a、b异号时，对称轴直线x＝－在x轴的正半轴，即y轴的右则；当c＞0时，图象交于y轴的正半轴；当c＝0时图象一定过原点；当c＜0时，图象交于y轴的负半轴。七、任意一个二次函数y＝ax2+bx+c(a≠0，不考虑b和c的取值)都可以化为y=a(x+2+的形式,即顶点坐标为(，), 当x=-时，y有最值，即y最值=,对称轴是直线x=-.