第21章第4课时解一元二次方程——公式法导学案.doc

第4课时 解一元二次方程-公式法
一、学习目标
了解掌握一元二次方程根的判别式，不解方程能判定一元二次方程根的情况；
理解一元二次方程求根公式的推导过程；
掌握公式结构，知道使用公式前先将方程化为一般形式，通过判别式判断根的情况；
学会利用求根公式解简单数字系数的一元二次方程．
二、知识回顾
1．什么是配方法?配方法解一元二次方程的一般步骤是什么？
配方法：通过配方，先把方程的左边配成一个含有未知数的完全平方式，右边是一个非负数，然后运用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫做配方法．
配方法解一元二次方程的一般步骤：
（1）移常数项到方程右边；
（2）化二次项系数为1；
（3）方程两边同时加上一次项系数一半的平方；
（4）化方程左边为完全平方式；
（5）若方程右边为非负数，则利用直接开平方法解得方程的根．
2．怎样用配方法解形如一般形式ax2+bx+c=0(a≠0)的一元二次方程？
解：移项，得
二次项系数化为1，得
配方，得
即：，
因为所以
当；
当

三、新知讲解
一元二次方程根的判别式
叫做一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)根的判别式，通常用希腊字母表示它，即．
一元二次方程根的情况与判别式的关系
（1）方程有两个不相等的实数根；
（2）方程有两个相等的实数根；
（3）方程没有实数根．
公式法解一元二次方程
一般地，对于一般形式的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)，当时，它的两个根分别是
，，
这里，叫做一元二次方程的求根公式，利用它解一元二次方程的方法叫做公式法．
公式法解一元二次方程的一般步骤
把方程化成一般形式：ax2+bx+c=0(a≠0)；
确定a，b，c的值；
求出的值，并判断方程根的情况：
当时，方程有两个不相等的实数根；
当时，方程有两个相等的实数根；
当时，方程没有实数根．
当时，将a，b，c和的值代入公式（注意符号）．

四、典例探究

1．根据根的判别式判断一元二次方程根的情况
【例1】（2015•重庆）已知一元二次方程2x2﹣5x+3=0，则该方程根的情况是（　　）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
两个根都是自然数 D．无实数根
总结：
求根的判别式时，应该先将方程化为一般形式，正确找出a，b，c的值.
根的判别式与一元二次方程根的情况的关系如下：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根．
练1．（2015•铜仁市）已知关于x的一元二次方程3x2+4x﹣5=0，下列说法不正确的是（　　）
A．方程有两个相等的实数根 B．方程有两个不相等的实数根
C．没有实数根 D．无法确定
练2．（2015•泰州）已知：关于x的方程x2+2mx+m2﹣1=0
（1）不解方程，判别方程根的情况；
（2）若方程有一个根为3，求m的值．

2．根据一元二次方程根的情况求参数的值或取值范围
【例2】（2015•温州）若关于x的一元二次方程4x2﹣4x+c=0有两个相等实数根，则c的值是（　　）
A．﹣1 B．1 C．﹣4 D．4
总结：已知方程根的情况求字母的值或取值范围时：
先计算根的判别式；
再根据方程根的情况列出关于根的判别式的等式或不等式求解；
若二次项系数出现了字母，应注意“二次项系数不为0”．
练3．（2015•凉山州）关于x的一元二次方程（m-2）x2+2x+1=0有实数根，则m的取值范围是（　　）
A．m≤3 B．m＜3 C．m＜3且m≠2 D．m≤3且m≠2

3．用公式法解一元二次方程
【例3】用公式法解下列方程：
（1）x2+2x﹣2=0；
（2）y2﹣3y+1=0；
（3）x2+3=2x．

总结：
公式法的实质是配方法，只不过省去了配方的过程，而直接利用了配方的结论；
运用公式法求解一元二次方程要注意两个前提：
（1）先将一元二次方程化为一般形式，即确定a，b，c的值；
（2）必须保证b2-4ac≥0．
练4．（2014•锦江区模拟）解方程：x（x﹣2）=3x+1．

练5．当x是何值时，3x2+4x﹣8的值和2x2﹣1的值相等？

五、课后小测
一、选择题
1．（2015•云南）下列一元二次方程中，没有实数根的是（　　）
A．4x2﹣5x+2=0 B．x2﹣6x+9=0 C．5x2﹣4x﹣1=0 D．3x2﹣4x+1=0
2．（2015•贵港）若关于x的一元二次方程（a﹣1）x2﹣2x+2=0有实数根，则整数a的最大值为（　　）
A．﹣1 B．0 C．1 D．2
3．（2015•烟台）等腰直角三角形边长分别为a，b，2，且a，b是关于x的一元二次方程x2﹣6x+n﹣1=0的两根，则n的值为（　　）
A．9 B．10 C．9或10 D．8或10
4．（2015•株洲）有两个一元二次方程M：ax2+bx+c=0；N：cx2+bx+a=0，其中a•c≠0，a≠c．下列四个结论中，错误的是（　　）
A．如果方程M有两个相等的实数根，那么方程N也有两个相等的实数根
B．如果方程M的两根符号相同，那么方程N的两根符号也相同
C．如果5是方程M的一个根，那么是方程N的一个根
D．如果方程M和方程N有一个相同的根，那么这个根必是x=1
5．（2013•日照）已知一元二次方程x2﹣x﹣3=0的较小根为x1，则下面对x1的估计正确的是（　　）
A．﹣2＜x1＜﹣1 B．﹣3＜x1＜﹣2 C．2＜x1＜3 D．﹣1＜x1＜0
二、填空题
6．（2011秋•册亨县校级月考）用公式法解方程2x2﹣7x+1=0，其中b2﹣4ac=　　，x1=　　，x2=　　．
三、解答题
7．（2014秋•通山县期中）用公式法解方程：2x2﹣4x=5．

8．（2014秋•金溪县校级月考）解方程：2x2﹣2x﹣5=0．

9．（2013春•石景山区期末）用公式法解方程：x（x）=4．

10．（2015•梅州）已知关于x的方程x2+2x+a﹣2=0．
（1）若该方程有两个不相等的实数根，求实数a的取值范围；
（2）当该方程的一个根为1时，求a的值及方程的另一根．

11．（2015•咸宁）已知关于x的一元二次方程mx2﹣（m+2）x+2=0．
（1）证明：不论m为何值时，方程总有实数根；
（2）m为何整数时，方程有两个不相等的正整数根．

12．（2015•昆山市一模）已知关于x的一元二次方程x2+（m+3）x+m+1=0．
（1）求证：无论m取何值，原方程总有两个不相等的实数根；
（2）若x1、x2是原方程的两根，且|x1﹣x2|=2，求m的值．

13．（2015•南充一模）已知关于x的一元二次方程kx2﹣2（k﹣1）x+k﹣2=0（k≠0）
（1）小明考查后说，它总有两个不相等的实数根．
（2）小华补充说，其中一个根与k无关．
请你说说其中的道理．

典例探究答案：
【例1】（2015•重庆）已知一元二次方程2x2﹣5x+3=0，则该方程根的情况是（　　）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．两个根都是自然数 D．无实数根
分析：判断方程的根的情况，只要看根的判别式△=b2﹣4ac的值的符号就可以了．
解答：解：∵a=2，b=﹣5，c=3，
∴△=b2﹣4ac=（﹣5）2﹣4×2×3=1＞0，
∴方程有两个不相等的实数根．
故选：A．
点评：此题主要考查了一元二次方程根的判别式，要熟练掌握一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．
练1．（2015•铜仁市）已知关于x的一元二次方程3x2+4x﹣5=0，下列说法不正确的是（　　）
A．方程有两个相等的实数根 B．方程有两个不相等的实数根
C．没有实数根 D．无法确定
分析：先求出△的值，再判断出其符号即可．
解答：解：∵△=42﹣4×3×（﹣5）=76＞0，
∴方程有两个不相等的实数根．
故选B．
点评：本题考查的是根的判别式，熟知一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△的关系是解答此题的关键．
练2．（2015•泰州）已知：关于x的方程x2+2mx+m2﹣1=0
（1）不解方程，判别方程根的情况；
（2）若方程有一个根为3，求m的值．
分析：（1）找出方程a，b及c的值，计算出根的判别式的值，根据其值的正负即可作出判断；
（2）将x=3代入已知方程中，列出关于系数m的新方程，通过解新方程即可求得m的值．
解答：解：（1）∵a=1，b=2m，c=m2﹣1，
∵△=b2﹣4ac=（2m）2﹣4×1×（m2﹣1）=4＞0，
∴方程x2+2mx+m2﹣1=0有两个不相等的实数根；
（2）∵x2+2mx+m2﹣1=0有一个根是3，
∴32+2m×3+m2﹣1=0，
解得，m=﹣4或m=﹣2．
点评：此题考查了根的判别式，一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．也考查了一元二次方程的解的定义：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．即用这个数代替未知数所得式子仍然成立．
【例2】（2015•温州）若关于x的一元二次方程4x2﹣4x+c=0有两个相等实数根，则c的值是（　　）
A．﹣1 B．1 C．﹣4 D．4
分析：根据方程根的情况与判别式的关系知△=42﹣4×4c=0，然后解一次方程即可．
解答：解：∵一元二次方程4x2﹣4x+c=0有两个相等实数根，
∴△=42﹣4×4c=0，
∴c=1，
故选B．
点评：本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2﹣4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．
练3．（2015•凉山州）关于x的一元二次方程（m-2）x2+2x+1=0有实数根，则m的取值范围是（　　）
A．m≤3 B．m＜3 C．m＜3且m≠2 D．m≤3且m≠2
分析：根据一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2-4ac的意义得到m-2≠0且△≥0，即22-4×（m-2）×1≥0，然后解不等式组即可得到m的取值范围．
解答：解：∵关于x的一元二次方程（m-2）x2+2x+1=0有实数根，
∴m-2≠0且△≥0，即22-4×（m-2）×1≥0，解得m≤3，
∴m的取值范围是 m≤3且m≠2．
故选：D．
点评：本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2-4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．
【例3】用公式法解下列方程：
（1）x2+2x﹣2=0；
（2）y2﹣3y+1=0；
（3）x2+3=2x．
分析：（1）求出b2﹣4ac的值，代入公式x=求出即可；
（2）求出b2﹣4ac的值，代入公式y=求出即可；
（3）求出b2﹣4ac的值是负数，即可得出原方程无解．
解答：解：（1）这里a=1，b=2，c=﹣2，
∵b2﹣4ac=22﹣4×1×（﹣2）=12＞0，
∴x==﹣1，
∴x1=﹣1+，x2=﹣1﹣；
（2）这里a=1，b=﹣3，c=1．
∵b2﹣4ac=（﹣3）2﹣4×1×1=5＞0，
∴y=，
∴y1=，y2=；
（3）移项，得x2﹣2x+3=0，
这里a=1，b=﹣2，c=3．
∵b2﹣4ac=（﹣2）2﹣4×1×3=﹣4＜0．
∴原方程没有实数根．
点评：本题主要考查学生运用公式法正确解方程的能力，前提是先判断判别式的符号，再根据情况代入求根公式求解．
练4．（2014•锦江区模拟）解方程：x（x﹣2）=3x+1．
分析：整理后求出b2﹣4ac的值，再代入公式求出即可．
解答：解：x（x﹣2）=3x+1，
整理得：x2﹣5x﹣1=0，
b2﹣4ac=（﹣5）2﹣4×1×（﹣1）=29，
x=，
x1=，x2=．
点评：本题考查了解一元二次方程的应用，能正确运用公式法解一元二次方程是解此题的关键，难度适中．
练5．当x是何值时，3x2+4x﹣8的值和2x2﹣1的值相等？
分析：根据3x2+4x﹣8的值和2x2﹣1的值相等，即可列出方程，然后利用公式法即可求解．
解答：解：根据题意得：3x2+4x﹣8=2x2﹣1，
即x2+4x﹣7=0，
a=1，b=4，c=﹣7，
△=b2﹣4ac=16+28=44＞0，
则x==﹣2．
点评：本题考查了公式法解一元二次方程，注意公式运用的条件：判别式△≥0．
课后小测答案：
一、选择题
1．（2015•云南）下列一元二次方程中，没有实数根的是（　　）
A．4x2﹣5x+2=0 B．x2﹣6x+9=0 C．5x2﹣4x﹣1=0 D．3x2﹣4x+1=0
解：A、∵△=25﹣4×2×4=﹣7＜0，∴方程没有实数根，故本选项正确；
B、∵△=36﹣4×1×4=0，∴方程有两个相等的实数根，故本选项错误；
C、∵△=16﹣4×5×（﹣1）=36＞0，∴方程有两个相等的实数根，故本选项错误；
D、∵△=16﹣4×1×3=4＞0，∴方程有两个相等的实数根，故本选项错误；
故选A．
2．（2015•贵港）若关于x的一元二次方程（a﹣1）x2﹣2x+2=0有实数根，则整数a的最大值为（　　）
A．﹣1 B．0 C．1 D．2
解：∵关于x的一元二次方程（a﹣1）x2﹣2x+2=0有实数根，
∴△=（﹣2）2﹣8（a﹣1）=12﹣8a≥0且a﹣1≠0，
∴a≤且a≠1，
∴整数a的最大值为0．
故选：B．
3．（2015•烟台）等腰直角三角形边长分别为a，b，2，且a，b是关于x的一元二次方程x2﹣6x+n﹣1=0的两根，则n的值为
（　　）
A．9 B．10 C．9或10 D．8或10
解：∵三角形是等腰直角三角形，
∴①a=2，或b=2，②a=b两种情况，
①当a=2，或b=2时，
∵a，b是关于x的一元二次方程x2﹣6x+n﹣1=0的两根，
∴x=2，
把x=2代入x2﹣6x+n﹣1=0得，22﹣6×2+n﹣1=0，
解得：n=9，
当n=9，方程的两根是2和4，而2，4，2不能组成三角形，
故n=9不合题意，
②当a=b时，方程x2﹣6x+n﹣1=0有两个相等的实数根，
∴△=（﹣6）2﹣4（n﹣1）=0
解得：n=10，
故选B．
4．（2015•株洲）有两个一元二次方程M：ax2+bx+c=0；N：cx2+bx+a=0，其中a•c≠0，a≠c．下列四个结论中，错误的是（　　）
A．如果方程M有两个相等的实数根，那么方程N也有两个相等的实数根
B．如果方程M的两根符号相同，那么方程N的两根符号也相同
C．如果5是方程M的一个根，那么是方程N的一个根
D．如果方程M和方程N有一个相同的根，那么这个根必是x=1
解：A、如果方程M有两个相等的实数根，那么△=b2﹣4ac=0，所以方程N也有两个相等的实数根，结论正确，不符合题意；
B、如果方程M的两根符号相同，那么方程N的两根符号也相同，那么△=b2﹣4ac≥0，＞0，所以a与c符号相同，＞0，所以方程N的两根符号也相同，结论正确，不符合题意；
C、如果5是方程M的一个根，那么25a+5b+c=0，两边同时除以25，得c+b+a=0，所以是方程N的一个根，结论正确，不符合题意；
D、如果方程M和方程N有一个相同的根，那么ax2+bx+c=cx2+bx+a，（a﹣c）x2=a﹣c，由a≠c，得x2=1，x=±1，结论错误，符合题意；
故选D．
5．（2013•日照）已知一元二次方程x2﹣x﹣3=0的较小根为x1，则下面对x1的估计正确的是（　　）
A．﹣2＜x1＜﹣1 B．﹣3＜x1＜﹣2 C．2＜x1＜3 D．﹣1＜x1＜0
解：x2﹣x﹣3=0，
b2﹣4ac=（﹣1）2﹣4×1×（﹣3）=13，
x=，
方程的最小值是，
∵3＜＜4，
∴﹣3＞﹣＞﹣4，
∴﹣＞﹣＞﹣2，
∴﹣＞﹣＞﹣2，
∴﹣1＞＞﹣
故选：A．
二、填空题
6．（2011秋•册亨县校级月考）用公式法解方程2x2﹣7x+1=0，其中b2﹣4ac=　41　，x1=　　，x2=　　．
解：2x2﹣7x+1=0，
a=2，b=﹣7，c=1，
∴b2﹣4ac=（﹣7）2﹣4×2×1=41，
∴x==，
∴x1=，x2=，
故答案为：41，，．
三、解答题
7．（2014秋•通山县期中）用公式法解方程：2x2﹣4x=5．
解：原方程可化为：2x2﹣4x﹣5=0，
∵a=2，b=﹣4，c=﹣5，
∴b2﹣4ac=（﹣4）2﹣4×2×（﹣5）=56＞0，
∴x=\frac{4±\sqrt{56}}{4}=1±．
∴x1=1+，x2=1﹣．
8．（2014秋•金溪县校级月考）解方程：2x2﹣2x﹣5=0．
解：这里a=2，b=﹣2，c=﹣5，
∵△=8+40=48，
∴x==．
9．（2013春•石景山区期末）用公式法解方程：x（x）=4．
解：整理得：x2+2x﹣4=0，
△=b2﹣4ac=（2）2﹣4×1×（﹣4）=28，
x=，
x1=﹣+，x2=﹣﹣．
10．（2015•梅州）已知关于x的方程x2+2x+a﹣2=0．
（1）若该方程有两个不相等的实数根，求实数a的取值范围；
（2）当该方程的一个根为1时，求a的值及方程的另一根．
解：（1）∵b2﹣4ac=（﹣2）2﹣4×1×（a﹣2）=12﹣4a＞0，
解得：a＜3．
∴a的取值范围是a＜3；
（2）设方程的另一根为x1，由根与系数的关系得：
，
解得：，
则a的值是﹣1，该方程的另一根为﹣3．
11．（2015•咸宁）已知关于x的一元二次方程mx2﹣（m+2）x+2=0．
（1）证明：不论m为何值时，方程总有实数根；
（2）m为何整数时，方程有两个不相等的正整数根．
解：（1）△=（m+2）2﹣8m=m2﹣4m+4=（m﹣2）2，
∵不论m为何值时，（m﹣2）2≥0，
∴△≥0，
∴方程总有实数根；
（2）解方程得，x=，
x1=，x2=1，
∵方程有两个不相等的正整数根，
∴m=1或2，m=2不合题意，
∴m=1．
12．（2015•昆山市一模）已知关于x的一元二次方程x2+（m+3）x+m+1=0．
（1）求证：无论m取何值，原方程总有两个不相等的实数根；
（2）若x1、x2是原方程的两根，且|x1﹣x2|=2，求m的值．
解：（1）∵△=（m+3）2﹣4（m+1）=m2+2m+5=（m+1）2+4＞0，
∴无论m取何值，原方程总有两个不相等的实数根；
（2）∵x1、x2是原方程的两根，
∴x1+x2=﹣m﹣3，x1x2=m+1，
∵|x1﹣x2|=2，
∴（x1﹣x2）2=8，
∴（x1+x2）2﹣4x1x2=8，
∴（﹣m﹣3）2﹣4（m+1）=8，
∴m1=1，m2=﹣3．
13．（2015•南充一模）已知关于x的一元二次方程kx2﹣2（k﹣1）x+k﹣2=0（k≠0）
（1）小明考查后说，它总有两个不相等的实数根．
（2）小华补充说，其中一个根与k无关．
请你说说其中的道理．
解：（1）∵△=4（k﹣1）2﹣4k（k﹣2）=4＞0，
∴一元二次方程kx2﹣2（k﹣1）x+k﹣2=0（k≠0）总有两个不相等的实数根；
（2）当x=1时，k﹣2（k﹣1）+k﹣2=0，
即一元二次方程kx2﹣2（k﹣1）x+k﹣2=0（k≠0）有一根为1，
x=1是一元二次方程kx2﹣2（k﹣1）x+k﹣2=0（k≠0）的根，与k无关．