湖北省荆州中学2012届高三第一次质量检查（数学理）.doc

荆州中学2009级高三第一次质量检查
数 学 试 卷（理科卷）
一、选择题（本题共10个小题，每小题5分，共50分　在每小题给出的四个选项中，有且只有一个是正确的）
1．若，则的定义域为（ ）
A. B. C. D.
2．下列函数中值域为正实数的是(　　)
A．y＝－5x B．y＝()1-x C．y＝ D．y＝
3．已知幂函数y＝f(x)的图象经过点，则f(2)＝(　　)
A.　　　　　　　　　 B．4 C. D.
4．已知f(x)＝，则如图中函数的图象错误的是(　　)

5．某企业去年销售收入1000万元，年成本为生产成本500万元与年广告成本200万元两部分．若年利润必须按p%纳税，且年广告费超出年销售收入2%的部分也按p%纳税，其他不纳税．已知该企业去年共纳税120万元．则税率p%为(　　)
A．10%　　　　　　B．12% C．25% D．40%
6．已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x－4)＝－f(x)，且在区间[0,2]上是增函数，则(　　)
A．f(－25)＜f(11)＜f(80) B．f(80)＜f(11)＜f(－25)
C．f(11)＜f(80)＜f(－25) D．f(－25)＜f(80)＜f(11)
7．f(x)是定义在(0，＋∞)上的非负可导函数，且满足，对任意正数a，b，若a<b，则必有(　　)
A．af(b)＜bf(a) B．bf(a) ＜af(b) C．af(a)＜bf (b) D．bf(b) ＜a f(a)
8．设斜率为2的直线l过抛物线y2＝ax(a≠0)的焦点F，且和y轴交于点A，若△OAF(O为坐标原点)的面积为4，则抛物线的方程为(　　)
A．y2＝±4x B．y2＝±8 C．y2＝4x D．y2＝8x
9．已知以F1(－2,0)，F2(2,0)为焦点的椭圆与直线x＋y＋4＝0有且仅有一个交点，则椭圆的长轴长为(　　)
A．3 B．2 C．2 D．4
10．设a，b，c为实数， .记集合S=若cardS,cardT分别为集合元素S，T的元素个数，则下列结论不可能的是（ ）
（A）cardS=1, cardT=0 （B）cardS=1, cardT=1
（C）cardS=2, cardT=2 （D cardS=2, cardT=3
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．将答案填在答题卷相应位置上．
11．已知定义在[0，＋∞)上的函数y＝f(x)和y＝g(x)的图象如图所示，则不等式f(x)·g(x)>0的解集是____________．

12．由x=0,x=5,y=︱x -3︱与y=0围成封闭图形的面积为____________．
13．已知点M是抛物线y2＝4x上的一点，F为抛物线的焦点，A在圆C：(x－4)2＋(y－1)2＝1上，则|MA|＋|MF|的最小值为________．
14．给出定义：若函数f(x)在D上可导，即f′(x)存在，且导函数f′(x)在D上也可导，则称f(x)在D上存在二阶导函数，记f″(x)＝(f′(x))′.若f″(x)<0在D上恒成立，则称f(x)在D上为凸函数．以下四个函数在(0，)上不是凸函数的是________．(把你认为正确的序号都填上)
①f(x)＝sinx＋cosx；②f(x)＝lnx－2x；③f(x)＝－x3＋2x－1；④f(x)＝xex.
15．为了保证信息安全，传输必须使用加密方式，有一种方式其加密、解密原理如下：
明文密文密文明文
已知加密为y＝ax－2(x为明文、y为密文)，如果明文“3”通过加密后得到密文为“6”，再发送，接收方通过解密得到明文“3”，若接收方接到密文为“14”，则原发的明文是________．
三、解答题：本大题共6小题，共计74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
16．设A=｛x︱x2+4x=0｝，B=｛x︱x2+2（a+1）x+ a2-1=0｝，若A∩B=B，求a的取值集合。

17．某民营企业生产A，B两种产品，根据市场调查和预测，A产品的利润与投资成正比，其关系如图1，B产品的利润与投资的算术平方根成正比，其关系如图2（注：利润与投资单位是万元）
（1）分别将A，B两种产品的利润表示为投资的函数，并写出它们的函数关系式。
（2）该企业已筹集到10万元资金，并全部投入A，B两种产品的生产，问：怎样分配这10万元投资，才能是企业获得最大利润，其最大利润约为多少万元。（精确到1万元）。

18. 已知过抛物线的焦点，斜率为的直线交抛物线于（）两点，且．
（1）求该抛物线的方程；
（2）为坐标原点，为抛物线上一点，若，求的值

19. 若函数f(x)＝ax3－bx＋4，当x＝2时，函数f(x)有极值－.
(1)求函数的解析式；
(2)若关于x的方程f(x)＝k有三个根，求实数k的取值范围

20. 已知中心在原点的双曲线C的右焦点为(2,0)，实轴长为2.
(1)求双曲线C的方程；
(2)若直线l：y＝kx＋与双曲线C左支交于A、B两点，求k的取值范围；
(3)在(2)的条件下，线段AB的垂直平分线l0与y轴交于M(0，m)，求m的取值范围．

21.已知函数，其中
（1）设函数，若在区间上不是单调函数，求的取值范围.
（2）设函数是否存在，对任意给定的非零实数，存在唯一的非零实数使得成立，若存在，求的值，若不存在，请说明理由.

数学参考答案
选择题
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
A
B
C
D
C
D
A
B
C
D
填空题
11. 12. 13. 4 14. ④ 15. 4
解答题
16.或
17.（1）A利润的函数为
B利润的函数为
（2）设为投资10万元的总利润，其中万元投入产品
则
两产品分别投资与万元时，可获得最大利润为万元。
18.联立方程组，得

抛物线方程为
（2）由（1）知两点坐标为
设点坐标为，由
，解得与
19.（1） （2）由得
，，则实数的取值范围为
20.（1） （2）联立方程组得
……（1）
由（1）有两个不相等的负根得
（3）的垂直平分线方程为
从而得
21.（1）

依题意应有 解得
（2）当时，

当时，

当时，
在是减函数，且
在是增函数，且
要满足题意应有
经检验符合题意。 存在满足题意。