几何证明选讲.doc

几何证明选讲
一、考试说明要求：
内 容
要 求
A
B
C
相似三角形的判定和性质定理

√

直角三角形的射影定理
√

圆的切线的判定和性质定理

√

圆周角定理，弦切角定理

√

相交弦定理、割线定理、切割线定理

√

圆内接四边形的判定与性质定理

√

二、应知应会知识和方法：
A
D
O
C
B
1．如图所示，圆O上的一点C在直径AB上的射影为D，CD=4，BD=8，求圆O的直径．
解 10．
说明 本题所用的知识点为：①圆周角定理；②射影定理．

B
C
A
D
F
H
E
2．等边△内接于△，且DE//BC，已知于点H，BC＝4，AH＝，求△的边长．
解 设等边的边长为x，则它的高为，
因为DE//BC，所以，解得x=．
说明 本题所用的知识点为：①相似三角形的性质；②等边三角形的性质．
A
B
O
E
C
D
3．如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O外一点，且AC＝AB，BC交⊙O于点D．已知BC＝4，AD＝6，AC交⊙O于点E，求四边形ABDE的周长．
解 因为AB是⊙O的直径，所以，
所以AD是△ABC的中线，所以AB＝AC＝．
BD＝DC＝2，由，所以DE＝DC＝2．
由CE·CA=CD·CB,得 CE＝，所以．
说明 所用知识点为①割线定理，②等腰三角形的三线合一定理；③勾股定理．
A
B
F
C
D
E
4．已知AD是△ABC的外角∠EAC的平分线，交BC的延长线于点D，延长DA交△ABC的外接圆于点F，连接FB，FC．（1）求证：FB＝FC；（2）若AB是△ABC的外接圆的直径，∠EAC ＝120°，BC＝6，求AD的长．
证明 （1）因为AD平分∠EAC，
所以∠EAD＝∠DAC．
因为四边形AFBC内接于圆，
所以，
所以，
所以，所以FB＝FC．
（2）因为AB是△ABC的外接圆的直径，所以．
因为=，所以，．
在RT△ACB中，因为BC＝6，，所以．
又在RT△ACD中，，，所以．
说明 本题所用的知识点有：①圆的内接四边形的性质；②角平分线的概念；③特殊直角三角形的性质．
·
P
E
O
D
C
B
A
F

5．如图，已知PA与⊙O相切，A为切点，PBC为割线，弦CD∥AP，AD、BC相交于E点，F为CE上一点，且DE2=EF·EC．（1）求证：ÐP＝ÐEDF；（2）求证：CE·EB＝EF·EP；
（3）若CE：BE＝3 ：2，DE＝6，EF＝4，求PA的长．
解 （1）因为DE2=EF·EC，所以DE ：CE=EF：ED．
因为ÐDEF是公共角，所以△DEF∽△CED．
所以ÐEDF=ÐC．
因为CD∥AP，所以ÐC=Ð P．所以ÐP=ÐEDF．
（2）因为ÐP=ÐEDF， ÐDEF=ÐPEA，所以△DEF∽ΔPEA．所以DE：PE=EF：EA．
即EF·EP=DE·EA．因为弦AD、BC相交于点E，所以DE·EA=CE·EB．所以CE·EB=EF·EP．
（3）因为DE2=EF·EC，DE=6，EF= 4，所以EC=9．因为CE：BE=3：2，所以BE=6．
因为CE·EB=EF·EP，所以9×6=4×EP，解得：EP=．
所以PB=PE－BE=， PC=PE＋EC=．由切割线定理得：PA2=PB·PC，
所以PA2=×，所以PA=．
说明 本题所用知识点：①相似三角形的判断；②相交弦定理；③切割线定理．
A
P
C
B
E
D
6．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，PA是⊙O的切线，PB交AC于点E，交⊙O于点D，若PE＝PA，，PD＝1，BD＝8，求线段BC的长．
解 由切割线定理得 PA＝3．
根据弦切角定理 得．
又因为 PA＝PE，所以PA＝PE＝AE＝3，ED＝2，BE＝6．
由相交弦定理得 EC=4．
在三角形BEC中，根据余弦定理的BC＝．
说明 本题所用的知识有：①弦切角定理；②切割线定理；③等边三角形的性质；④相交弦定理；⑤余弦定理．