第1讲正弦定理和余弦定理-.doc

第1讲　正弦定理和余弦定理
基础梳理
1．正弦定理：＝＝＝2R，其中R是三角形外接圆的半径．由正弦定理可以变形为：
(1)a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C；
(2)a＝2Rsin_A，b＝2Rsin_B，c＝2Rsin_C；
(3)sin A＝，sin B＝，sin C＝等形式，以解决不同的三角形问题．
2．余弦定理：a2＝b2＋c2－2bccos_A，b2＝a2＋c2－2accos_B，c2＝a2＋b2－2abcos_C．余弦定理可以变形为：cos A＝，cos B＝，cos C＝.
3．S△ABC＝absin C＝bcsin A＝acsin B＝＝(a＋b＋c)·r(R是三角形外接圆半径，r是三角形内切圆的半径)，并可由此计算R，r.
双基自测
1．在△ABC中，A＝60°，B＝75°，a＝10，则c等于(　　)．
A．5 B．10
C. D．5
2．在△ABC中，若＝，则B的值为(　　)．
A．30° B．45° C．60° D．90°
3．(2011·郑州联考)在△ABC中，a＝，b＝1，c＝2，则A等于(　　)．
A．30° B．45° C．60° D．75°
4．在△ABC中，a＝3，b＝2，cos C＝，则△ABC的面积为(　　)．
A．3 B．2 C．4 D.
5．已知△ABC三边满足a2＋b2＝c2－ab，则此三角形的最大内角为________．

考向一　利用正弦定理解三角形
【训练1】 (2013北京)在△ABC中，若b＝5，∠B＝，tan A＝2，则sin A＝________；a＝________.

考向二　利用余弦定理解三角形
【例2】►在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，且＝－.
(1)求角B的大小；
(2)若b＝，a＋c＝4，求△ABC的面积．

(1)根据所给等式的结构特点利用余弦定理将角化边进行变形是迅速解答本题的关键．
(2)熟练运用余弦定理及其推论，同时还要注意整体思想、方程思想在解题过程中的运用．
【训练2】 (2013·桂林模拟)已知A，B，C为△ABC的三个内角，其所对的边分别为a，b，c，且2cos2 ＋cos A＝0.
(1)求角A的值；
(2)若a＝2，b＋c＝4，求△ABC的面积．

判断三角形的形状的基本思想是；利用正、余弦定理进行边角的统一．即将条件化为只含角的三角函数关系式，然后利用三角恒等变换得出内角之间的关系式；或将条件化为只含有边的关系式，然后利用常见的化简变形得出三
考向三　正、余弦定理的综合应用
【例3】►在△ABC中，内角A，B，C对边的边长分别是a，b，c，已知c＝2，C＝.
(1)若△ABC的面积等于，求a，b；
(2)若sin C＋sin(B－A)＝2sin 2A，求△ABC的面积．
[审题视点] 第(1)问根据三角形的面积公式和余弦定理列出关于a，b的方程，通过方程组求解；第(2)问根据sin C＋sin(B－A)＝2sin 2A进行三角恒等变换，将角的关系转换为边的关系，求出边a，b的值即可解决问题．

正弦定理、余弦定理、三角形面积公式对任意三角形都成立，通过这些等式就可以把有限的条件纳入到方程中，通过解方程组获得更多的元素，再通过这些新的条件解决问题．

【训练3】 (2013·北京西城一模)设△ABC的内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，且cos B＝，b＝2.
(1)当A＝30°时，求a的值；
(2)当△ABC的面积为3时，求a＋c的值．

【示例】►(2011·安徽)在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C所对的边长，a＝，b＝，1＋2cos(B＋C)＝0，求边BC上的高．

【试一试】 (2013辽宁)△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，asin Asin B＋bcos2 A＝a.
(1)求；
(2)若c2＝b2＋a2，求B.