1、第1讲 正弦定理和余弦定理
基础梳理
1．正弦定理：＝＝＝2R，其中R是三角形外接圆的半径．由正弦定理可以变形为：
(1)a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C；
(2)a＝2Rsin_A，b＝2Rsin_B，c＝2Rsin_C；
(3)sin A＝，sin B＝，sin C＝等形式，以解决不同的三角形问题．
2．余弦定理：a2＝b2＋c2－2bccos_A，b2＝a2＋c2－2accos_B，c2＝a2＋b2－2abcos_C．余弦定理可以变形为：cos A＝，cos B＝，cos C＝.
3．S△ABC＝absin C＝bcsin A＝acsin B＝＝(a＋b＋c)
2、·r(R是三角形外接圆半径，r是三角形内切圆的半径)，并可由此计算R，r.
双基自测
1．在△ABC中，A＝60°，B＝75°，a＝10，则c等于( )．
A．5 B．10
C. D．5
2．在△ABC中，若＝，则B的值为( )．
A．30° B．45° C．60° D．90°
3．(2011·郑州联考)在△ABC中，a＝，b＝1，c＝2，则A等于( )．
A．30° B．45° C．60° D．75°
4．在△ABC中，a＝3，b＝2，cos C
3、＝，则△ABC的面积为( )．
A．3 B．2 C．4 D.
5．已知△ABC三边满足a2＋b2＝c2－ab，则此三角形的最大内角为________．
考向一 利用正弦定理解三角形
【训练1】 (2013北京)在△ABC中，若b＝5，∠B＝，tan A＝2，则sin A＝________；a＝________.
考向二 利用余弦定理解三角形
【例2】►在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，且＝－.
(1)求角B的大小；
(2)若b＝，a＋c＝4，求△ABC的面积．
(1)根据所给等式的结构特
4、点利用余弦定理将角化边进行变形是迅速解答本题的关键．
(2)熟练运用余弦定理及其推论，同时还要注意整体思想、方程思想在解题过程中的运用．
【训练2】 (2013·桂林模拟)已知A，B，C为△ABC的三个内角，其所对的边分别为a，b，c，且2cos2 ＋cos A＝0.
(1)求角A的值；
(2)若a＝2，b＋c＝4，求△ABC的面积．
判断三角形的形状的基本思想是；利用正、余弦定理进行边角的统一．即将条件化为只含角的三角函数关系式，然后利用三角恒等变换得出内角之间的关系式；或将条件化为只含有边的关系式，然后利用常见的化简变形得出三
考向三 正、余弦定理的综
5、合应用
【例3】►在△ABC中，内角A，B，C对边的边长分别是a，b，c，已知c＝2，C＝.
(1)若△ABC的面积等于，求a，b；
(2)若sin C＋sin(B－A)＝2sin 2A，求△ABC的面积．
[审题视点] 第(1)问根据三角形的面积公式和余弦定理列出关于a，b的方程，通过方程组求解；第(2)问根据sin C＋sin(B－A)＝2sin 2A进行三角恒等变换，将角的关系转换为边的关系，求出边a，b的值即可解决问题．
正弦定理、余弦定理、三角形面积公式对任意三角形都成立，通过这些等式就可以把有限的条件纳入到方程中，通过解方程组获得更多
6、的元素，再通过这些新的条件解决问题．
【训练3】 (2013·北京西城一模)设△ABC的内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，且cos B＝，b＝2.
(1)当A＝30°时，求a的值；
(2)当△ABC的面积为3时，求a＋c的值．
【示例】►(2011·安徽)在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C所对的边长，a＝，b＝，1＋2cos(B＋C)＝0，求边BC上的高．
【试一试】 (2013辽宁)△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，asin Asin B＋bcos2 A＝a.
(1)求；
(2)若c2＝b2＋a2，求B.
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