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二次函数知识要点和中考试题集锦
1、二次函数的定义：
2.二次函数的图像和性质： （1）当时，图像开口 、 并且向上无限伸展；当时，函数有最小值；　当时，y随x的增大而减小；　当时，y随x的增大而增大.
（2）当时，

3.二次函数图象的平移规律

4. a、 、及的符号与图象的关系
　　(1)a→决定抛物线的开口方向；
　　(2)a、b→决定抛物线的对称轴的位置：
　　　 a、b同号，对称轴在y轴的 侧；
　　　 a、b异号，对称轴在y轴的 侧.
　　(3)c→决定抛物线与y轴的交点(此时点的横坐标x=0)的位置：
　　　 c＞0，与y轴的交点在y轴的正半轴上；
　　　 c=0，抛物线经过原点；
　　　 c＜0，与y轴的交点在y轴的负半轴上.
　　(4)b2-4ac→决定抛物线与x轴交点的个数：
　　　 ①当b2-4ac＞0时，抛物线与x轴有两个交点；
　　　 ②当b2-4ac=0时，抛物线与x轴有一个交点；
　　　 ③当b2-4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点.
5.二次函数解析式的确定
　　用待定系数法可求出二次函数的解析式，确定二次函数一般需要三个独立的条件，根据不同的条件选择不同的设法：⑴设一般形式：
⑵设顶点形式： ⑶设交点式： .
6.二次函数的应用问题
　　解决实际应用问题的关键是选准变量，建立好二次函数模型，同时还要注意符合实际情景.
　典型例题：
1．二次函数通过向______(左、右)平移_____个单位，再向_____(上、下)平移______个单位，便可得到二次函数的图象.
2．已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如下图所示，则下列5个代数式：ab，ac，a-b+c，b2-4ac，2a+b中，值大于0的个数有( )
　　A．5 　　　B．4 　　　C．3 　　　D．2
3．如图，抛物线与x轴交于A、B两点，且OA：OB=3：1，则m的值为( )
　　A． 　　　B．0　　　 C．或0 　　　D.

4．已知二次函数有最小值为0，求m的值.

5．如图所示，有一条双向公路隧道，其横断面由抛物线和矩形ABCO的三边组成，隧道的最大高度为4.9m，AB=10m，BC=2.4m.现把隧道的横断面放在平面直角坐标系中，若有一辆高为4m，宽为2m的装有集装箱的汽车要通过隧道.

　　问：如果不考虑其他因素，汽车的右侧离开隧道右壁多少米才不至于碰隧道顶部？(抛物线部分为隧道顶部，AO、BC为壁)

二次函数中考题集锦
1. （2011山东菏泽，3分）如图为抛物线的图像，A、B、C 为抛物线与坐标轴的交点，且OA=OC=1，则下列关系中正确的是
A．a＋b=－1 　B． a－b=－1 C． b<2a　　　　　 D． ac<0 （第4题）
x
y
A

2（2011四川广安，3分）若二次函数．当≤l时，随的增大而减小，则的取值范围是（ ）
A．=l B．>l C．≥l D．≤l
3. （2011山东济宁，8，3分）已知二次函数中，其函数与自变量之间的部分对应值如下表所示：
x
……
0
1
2
3
4
……
y
……
4
1
0
1
4
……
点A（，）、B（，）在函数的图象上，则当时，与的大小关系正确的是
A． B． C． D．
4. （2011江苏无锡，）如图，抛物线y = x2 + 1与双曲线y = 的交点A的横坐标是1，则关于x的不等式 + x2 + 1 < 0的解集是 ( )
A．x > 1 B．x < −1 C．0 < x < 1 D．−1 < x < 0
5. （2011湖北黄冈，15，3分）已知函数，则使y=k成立的x值恰好有三个，则k的值为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
6. （2011湖南怀化，22，10分）已知：关于x的方程
（1） 当a取何值时，二次函数的对称轴是x=-2；
（2） 求证：a取任何实数时，方程总有实数根.

7. (2011江苏南京，24，7分) 已知函数y=mx2－6x＋1（m是常数）．
⑴求证：不论m为何值，该函数的图象都经过y轴上的一个定点；
⑵若该函数的图象与x轴只有一个交点，求m的值．

8（2011湖南湘潭市，25，10分） 如图，直线交轴于A点，交轴于B点，过A、B两点的抛物线交轴于另一点C（3,0）. ⑴ 求抛物线的解析式;
⑵ 在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使△ABQ是等腰三角形？若存在，求出符合条件的Q点坐标；若不存在，请说明理由.

O
C
B
A

9. （2011湖南湘潭市，25，10分）（本题满分10分）
如图，直线交轴于A点，交轴于B点，过A、B两点的抛物线交轴于另一点C（3,0）.

O
C
B
A

⑴ 求抛物线的解析式;
⑵ 在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使△ABQ是等腰三角形？若存在，求出符合条件的Q点坐标；若不存在，请说明理由.

10．（2011四川绵阳24，12）已知抛物线:y=x²-2x+m-1 与x轴只有一个交点，且与y轴交于A点,
如图，设它的顶点为B
(1)求m的值；
(2)过A作x轴的平行线，交抛物线于点C，求证是△ABC是等腰直角三角形；
(3)将此抛物线向下平移4个单位后，得到抛物线C'，且与x 轴的左半轴交于E点，与y轴交于F点，如图.请在抛物线C'上求点P，使得△EFP是以EF为直角边的直角三角形.

11. （2010湖北孝感，25，2分）如图（1），矩形ABCD的一边BC在直角坐标系中x轴上，折叠边AD,使点D落在x轴上点F处，折痕为AE，已知AB=8，AD=10，并设点B坐标为（m,0），其中m＞0.

（1）求点E、F的坐标（用含m的式子表示）；（5分）
（2）连接OA，若△OAF是等腰三角形，求m的值；（4分）
（3）如图（2），设抛物线y=a(x－m－6)2+h经过A、E两点，其顶点为M，连接AM，若∠OAM=90°，求a、h、m的值. （5分）

【答案】
(1)解：∵二次函数的对称轴是x=-2
∴
解得a=-1
经检验a=-1是原分式方程的解.
所以a=-1时，二次函数的对称轴是x=-2；
（2）1）当a=0时，原方程变为-x-1=0，方程的解为x= -1；
2）当a≠0时，原方程为一元二次方程，，
当方程总有实数根，
∴
整理得，

∵a≠0时 总成立
所以a取任何实数时，方程总有实数根.

【答案】解：⑴当x=0时，．
所以不论为何值，函数的图象经过轴上的一个定点（0，1）．
⑵①当时，函数的图象与轴只有一个交点；
②当时，若函数的图象与轴只有一个交点，则方程有两个相等的实数根，所以，．
综上，若函数的图象与轴只有一个交点，则的值为0或9．
【答案】解：（1）设抛物线的解析式为：y=ax2+bx+c。
∵直线交轴于A点，交轴于B点，
∴A点坐标为（-1,0）、B点坐标为（0,3）.
又∵抛物线经过A、B、C三点，
∴，解得：，
∴抛物线的解析式为：y=-x2+2x+3．
（2）∵y=-x2+2x+3= ，∴该抛物线的对称轴为x=1．
设Q点坐标为（1，m），则，又.
当AB=AQ时， ，解得：，
∴Q点坐标为（1，）或（1，）；
当AB=BQ时，，解得：，
∴Q点坐标为（1，0）或（1，6）；
当AQ=BQ时，，解得：，
∴Q点坐标为（1，1）．
∴抛物线的对称轴上是存在着点Q（1，）、（1，）、（1，0）、（1，6）、（1，1），使△ABQ是等腰三角形．
【答案】解：（1）设抛物线的解析式为：y=ax2+bx+c。
∵直线交轴于A点，交轴于B点，
∴A点坐标为（-1,0）、B点坐标为（0,3）.
又∵抛物线经过A、B、C三点，
∴，解得：，
∴抛物线的解析式为：y=-x2+2x+3．
（2）∵y=-x2+2x+3= ，∴该抛物线的对称轴为x=1．
设Q点坐标为（1，m），则，又.
当AB=AQ时， ，解得：，
∴Q点坐标为（1，）或（1，）；
当AB=BQ时，，解得：，
∴Q点坐标为（1，0）或（1，6）；
当AQ=BQ时，，解得：，
∴Q点坐标为（1，1）．
∴抛物线的对称轴上是存在着点Q（1，）、（1，）、（1，0）、（1，6）、（1，1），使

【答案】（1）抛物线与x轴只有一个交点，说明△=0，∴m=2
（2）∵抛物线的解析式是y=x²-2x+1,∴A（0，1），B（1，0）∴△AOB是等腰直角三角形，又AC∥OB,∴∠BAC=∠OAB=45°A，C是对称点，∴AB=BC，∴△ABC是等腰直角三角形。
（3）平移后解析式为y=x²-2x-3,可知E(-1,0),F(0,-3)∴EF的解析式为：y=-3x-3,平面内互相垂直的两条直线的k值相乘=-1，所以过E点或F点的直线为y=x+b把E点和F点分别代入可得b=或-3，∴y=x+或y=x-3列方程得解方程x1=-1,x2=, x1 是E点坐标舍去，把x2=代入得y=,∴P1（，）同理易得x1 = 0舍去，x2= 代入y=-,∴P2(,-)
【答案】解：（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴AD=BC=10，AB=CD=8，∠D=∠DCB=∠ABC=90°.
由折叠对称性：AF=AD=10，FE=DE.
在Rt△ABF中，BF=.
∴FC=4.
在Rt△ECF中，42+（8-x）2=x2，解得x=5.
∴CE=8-x=3.
∵B（m，0）,∴E(m+10,3),F（m+6,0）.

（2）分三种情形讨论：
若AO=AF，∵AB⊥OF，∴OB=BF=6.∴m=6.
若OF=AF，则m+6=10，解得m=4.
若AO=OF，在Rt△AOB中，AO2=OB2+AB2=m2+64，
∴（m+6）2= m2+64，解得m=.
综合得m=6或4或.
（3）由（1）知A(m,8)，E(m+10,3).
依题意，得，
解得
∴M（m+6，﹣1）.
设对称轴交AD于G.
∴G（m+6,8），∴AG=6，GM=8－（﹣1）=9.
∵∠OAB+∠BAM=90°，∠BAM+∠MAG=90°，
∴∠OAB=∠MAG.
又∵∠ABO=∠MGA=90°，
∴△AOB∽△AMG.
∴，即.
∴m=12.