圆周角定理中的角度问题中的辅助圆构造.doc

《九年级上半期专题课——角度问题中的辅助圆构造》教案
科 目
数学
课题
专题：构造辅助圆
教 师
周韧
班级
初三（15）班
时间
2016.11．10
学情分析
在本节专题课前,学生已经完整学习了圆的所有基本知识,掌握了圆的有关性质,而角度问题是初中数学压轴题中一类比较困难的题型，本学段的学生对于直线形中常见的几何问题形成了一些基本的解题策略,而利用辅助圆进行角度的转化是优于其他方式的，所以从这个新的视角解决角度问题需要我们帮助学生进行归纳总结提升,而本节课想要达到的目的,就是引导学生学会发现模型,利用模型构造辅助圆，并初步形成构造曲线形辅助线的意识.
教学目标
1、 进一步巩固圆的定义和性质以及圆周角定理；
2、 感受利用辅助圆解决角度问题的优势；
3、能够从圆的“集合”定义出发，发现构造辅助圆的基本模型，发展到在图形中发现模型从而构造辅助圆；
4、逐步建立从圆的观点看问题的意识，能够多角度认识事物，全面还原事物的本质.
教学重点
利用辅助圆解决角度间的转化问题
教学难点
回归圆的“集合”定义，发现图形中构造圆的模型
教学方法
变式延伸，讲练结合、教师启发下的学生自主探究
教学用具
几何画板，圆规，直尺
教 学 设 计
教学过程
设计说明
一、寻根溯源
我们先来看看这道我们熟悉的题目，引例（课本P88习题）
如图，OA，OB，OC都是⊙O的半径，∠AOB=2∠BOC，
求证：∠ACB=2∠BAC

1、学生完成证明后，画板中展示解答；
证明：∵OA，OB，OC都是圆O的半径，
又∵弧AB=弧AB，弧BC=弧BC，
∴∠AOB=2∠ACB，∠BOC=2∠BAC，
又∵∠AOB=2∠BOC，
∴∠ACB=2∠BAC.

2、提问：在这道证明题中，证明的过程中用到了什么定理？而圆在这个问题中发挥了怎样的作用？思路是怎样的？
生答：用到了圆周角定理，圆为本题提供了转化角的可能与便捷，思路是利用圆周角定理，将圆心角的条件转化为圆周角的结论从而得证。
二、启发思路
如图，OA=OB=OC，∠AOB=2∠BOC，
求证：∠ACB=2∠BAC

1、提问：图形中有几个等腰三角形？分别是哪三个？
生答：3个，△AOB，△BOC，△AOC；
2、思路引导：∠AOB和∠BOC是两个等腰三角形的顶角，而∠ACB和
∠BAC又与△AOB和△BOC的底角有关，所以可以考虑利用顶角与底角的关系来解决本题，请同学们完成证明；
3、三分钟后画板展示证明过程；
证明：∵OA=OB,
∴∠OAB=∠OBA
∴∠OAB=，
同理∠OCA=∠OAC=，∠OCB=
∵∠ACB=∠OCB-∠OCA==
∵∠BAC=∠OAB-∠OAC==
又∵∠AOB=2∠BOC，
∴∠ACB=2∠BAC
4、提问：这个证明过程是不是稍微显得有些复杂呢？那么我们再来想想有没有别的什么办法：再来看看这个图形与引例的图形，你有什么发现吗？
生答：比习题中少了个圆；
如果有这个圆，这道题是不是就能像引例一样利用圆周角定理更快捷的解决了呢？那根据这道题的条件我们可以让这个圆出现吗？
生答：可以，因为OA=OB=OC，所以A，B，C三点在以O为圆心，OA为半径的圆上；
请同学们添出辅助圆，并完成证明；
证明：∵OA=OB=OC，
∴A，B，C在以O为圆心，OA为半径的圆上，
∴弧AB=弧AB，弧BC=弧BC，
∴∠AOB=2∠ACB，∠BOC=2∠BAC，
又∵∠AOB=2∠BOC，
∴∠ACB=2∠BAC.
5、引导：我们经常添加辅助线来解题，并且，以前所做的辅助线都是直线形，而通过这道题，我们发现，所添加的辅助线也可以是曲线形，初中阶段，构造辅助圆就是曲线形辅助线的代表，请同学们尝试总结一下在图形中发现了怎样的模型时可以构造辅助圆？
6、图形中出现了三条（及以上）有公共端点的相等线段这种模型时可以构造圆，因为圆是到定点的距离等于定长的点的集合.
7、为什么要构造辅助圆？
利用辅助圆可以方便的将角的条件进行转化，将其转化至可以我们需要的位置并解决问题.

三、思路应用
师：利用辅助圆解决角度问题在这两年的大型考试中屡有出现，我们选择一些题目再来深化我们对于这种模型的理解与应用；
1、几何画板展示例题
（2016·屏东模拟）已知△ABC中，点D是点A绕着点B顺时针旋转60°得到的，过点D作直线DP，点A关于直线DP的对称点为E，连接AE，BE.
（1）依题意补全图；
（2）把直线DP绕着点D旋转一周，
求∠AEB的度数.

师：请同学们用三角板和圆规在学案上将图形补充完整；巡视后通过画板展示；

2、提问：问题（2）依然是求角度的问题，那么请大家观察一下图形，图中隐藏着相等长度的线段吗？
生答：根据图形中的旋转和翻折，容易发现连接DE，DB后，DE=DA=DB，
所以由此我们能发现图形中的基本模型吗？
生答：A，E，B三点在以点D为圆心，DA为半径的圆上；
提问：这个辅助圆可以帮助我们转化角度吗？
生答：如图，∠AEB是这个辅助圆内的一个圆周角；可以转化为圆心角∠ADB的一半，请同学们完成证明；
三分钟后画板展示解答过程：

3、同学们要注意，这里DP在旋转过程中可能会出现在△ADB的内部，此时∠AEB就变成了一个钝角，从而分类讨论后是另一种结果。
4、证明：连接DE，
∵A，E关于DP对称，
∴DA=DE，
由旋转可知，
DB=BA，∠DBA=60°，
∴△DBA是等边三角形，
∵DA=DB=DE，
∴A，E，B在以D为圆心，DA为半径的圆上，
如图所示，当DP在△ABD外侧时，
∵弧AB=弧AB
∠AEB=∠ADB=30°
如图②所示，当DP在△ABD内部时，∠AEB=150°

四、综合提升
（2015·福州质检改编题）
如图，将抛物线:向右平移m（m>0）个单位得到抛物线 ，交x轴于A，B两点（点A在点B左侧），交y轴于C点，若抛物线的对称轴上存在点P，使△APC为顶角APC=120°的等腰三角形。

（1）用含m的代数式表示OA，OB，OC的长
（2） 求出m的值

1、提问：完成题（1）需要做什么准备？
生答：需要抛物线的解析式；
2、请同学们写出抛物线的解析式并在坐标系中绘出点A，B，C再完成第一小题；
抛物线：，；
3、请同学们在坐标系中画出△APC并思考一下如果直接利用这个等腰三角形的三边关系，方程容易列出吗？如果能列的出来，这个方程容易解吗？
生答：是个四次方程，非常复杂；
所以我们再来看看这个图形中是否也隐藏着我们的基本模型呢？如果能够发现的话，请你谈谈你是如何发现的呢？
生答：PA=PC是已知条件，而由抛物线的对称性，则有PB=PA；从而PA=PB=PC，所以A，B，C三点在以P为圆心，PA为半径的圆上；
4、这个辅助圆可以帮助我们转化角度吗？这里的圆心角怎么转化到有用的圆周角的位置上呢？
生答：圆心角∠APC，根据，可以转化到这个圆周角∠CBA=60°，从而△CBO就是我们熟悉的含30°的直角三角形了；
请同学们完成本题中m的计算；
5、三分钟后展示解答过程；
解：(2) 连接BC，BP
由抛物线对称性可知
∵ △ACP为顶角 等腰三角形
∴ ，
∴ C，A，B三点在以P为圆心PA为半径的圆上
∴
∴
∴ 根据勾股定理得
∴
解得 ， (不合题意，舍去)
∴
六、课后思考：
1、今天学习了怎样的构造辅助圆的原理和目的？
生答：利用圆的集合定义，这是我们今天学习的基本模型，可以由此构造辅助圆，构造辅助圆的目的在于转化角度；
2、是否还有别的模型可以让我们想到构造辅助圆呢？
请同学们课下总结探究！谢谢！
七、灵活应用
（2016·南平）如图，等腰△ABC中，CA=CB=4，∠ACB=120°.点D在线段AB上运动（不与A、B重合），将△CAD与△CBD分别沿直线CA、CB翻折得到△CAP与△CBQ. 给出下列结论：
① CD=CP=CQ；
② ∠PCQ的大小不变；
③ △PCQ面积的最小值为；

④ 当点D在AB的中点时，△PDQ是等边三角形.
其中所有正确结论的序号是 　　 ．
1、请同学们综合之前所学的内容完成这道练习，并在学案中留下自己的思路。
2、点评：在解决这个问题的过程中，辅助圆的作用在于帮助我们将圆心角∠PCQ转化为圆周角∠PDQ的两倍并求出∠PCQ =120°，从而发现△PCQ是一个顶角为120°的等腰三角形，以此解决后面两个问题；
第1题图

七、课后习题：
1、（2011·鄂州）如图OA=OB=OC且∠ACB=30°，
则∠AOB的大小是__________.
2、如图所示，在四边形ABCD中，AB=AC=AD，∠BAC=20°，
第2题图
∠CAD=80°，则∠BDC=______度，∠DBC=______度

3、如图，抛物线：经过原点，与x轴的另一个交点为(2，0)，将抛物线向右平移m (m＞0)个单位得到抛物线，交x轴于 A，B 两点(点 A在点B 的左边)，交y 轴于点C.
(1) 求抛物线的解析式及顶点坐标；
(2) 以AC为斜边向上作等腰直角三角形，当点D落在抛物线的对称轴上时，求抛物线的解析式；

(3) 若抛物线的对称轴上存在点 P，使△PAC 为等边三角形，求m 的值
第3题图

一、
这是一道学生熟悉的题目，以此让学生体会利用圆周角定理可以进行角度转化，并让学生初步感受圆这一工具在转化角度时的方便与准确。

二、
本题可从两个方面入手解决:1.利用等边对等角；2.利用构造辅助圆将问题转化为圆中圆周角与圆心角的关系.
设计本题期望达到的效果是：学生习惯于利用前者，但是前者的证明方法繁杂且理解不易，而在引导之后让学生有了引例中的方法意识，让学生在权衡两种方法的优劣之后感受图形中出现了可以构造辅助圆的基本模型时，利用圆的定义构造辅助圆在角度转化问题的优势，便捷且易于理解；初步让学生尝到新方法的甜头.从而强化辅助圆的意识.

设置问题的目的在于引导学生还原图形，并初步认识这个可以构造辅助圆的基本模型；

设计本段小结的目的在于帮助学生总结基本模型，为什么可以利用该模型构造辅助圆，以及加强学生在使用该模型的目的，为接下来顺利的引入更复杂问题做好模型的铺垫与准备。

设计本题的目的有两个：1、现阶段的教学中对于学生的作图能力提出了更高要求，教学过程中需要培养学生的作图能力；2、图形中的基本模型并不是直接给出的，需要学生根据条件发现，所以本题既训练了学生的作图能力，也同时让学生对于基本模型的认识能更上一层楼，为最后一道的综合提升做好准备。同时也要求学生的思维过程更加严谨，利用辅助圆进行分类讨论，发现这道题的两个答案。

问题的设置在于引导学生利用题目中的条件发现问题中隐藏的基本模型，让学生建立构造基本模型的意识，以此提升学生整体把握题设条件的能力；

实际上在DP运动过程中，圆周角
∠AEB所对的弧既可以是优弧AB，也可以是劣弧AB，这是在这个章节常见的分类讨论问题；

本题是福州2015一检压轴题的改编题，设计意图在于提升学生对于模型的认识，代数计算的巩固，并且感受在成功解决压轴题的成就感，解决这个问题需要学生对于抛物线性质，基本模型的探究做到完整的理解与把握。

本题是2016南平中考填空的最后一题，具有很强的时效性，且题设具有阶梯性，在前面例题的铺垫下，适合作为学生自己探究的练习，而解决本题的关键思路就在于利用辅助圆发现△PCQ是一个顶角为120°的等腰三角形以此解决本题。

八、板书设计：
《九年级上半期专题课——
角度问题中的辅助圆构造》
构造辅助圆的基本模型：有公共端点的三条…… 例题分析
利用辅助圆转化角：

九、教学反思
本节课达到了教学效果，但是由于是借班上课，学生的反应比较平淡，不敢更多地表达自己的意见，教学过程中学生产生的一些不正确的思维方式也进行了及时的纠正，专题课的教学可能应该在初三的后期学段中进行，这样教学效果会更好，所以在处理过程中，讲授时应该对题意进行分析，帮助学生更好地切入。

圆周角 圆心角
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