湖南省衡阳市八中2012届高三第一次月考（数学理）含答案.doc

衡阳市八中2012届高三第一次月考试卷
数 学（理科）
时量：120分钟 总分：150分
（考试内容：选修2-3、集合与逻辑用语、函数、导数）
命题人：王美蓉 审题人：颜军
一、选择题（本大题共8小题，每小题5分）
1、设集合，，则等于（ ）
A． B． C． D．
2、设，则a， b，c的大小关系是（ ）
A、a＞c＞b B、a＞b＞c C、c＞a＞b D、b＞c＞a
3、已知函数的值为 （ ）
A． B． C． D．
4、通过随机询问110名性别不同的大学生是否爱好某项运动，得到如下的列联表：

男
女
总计
爱好
40
20
60
不爱好
20
30
50
总计
60
50
110

由算得：

0．050
0．010
0．001

3．841
6．635
10．828

参照附表，得到的正确结论是 （ ）
A．在犯错误的概率不超过0．1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”
B．在犯错误的概率不超过0．1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关”
C．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”
D．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”.
5、函数在内单调递减，则的取值范围是（ ）
A． B. C． D．
6、设，则不等式的解集为 （ ）
A． B．
C． D．（1，2）
7、设函数 （ ）
A．在区间内均有零点； B．在区间内均无零点；
C．在区间内有零点，在区间内无零点D．在区间内无零点，在区间内有零点.
8、已知函数，，有下列4个命题：
①若，则的图象关于直线对称；
②与的图象关于直线对称；
③若为偶函数，且，则的图象关于直线对称；
④若为奇函数，且，则的图象关于直线对称.
其中正确命题的个数为 （ ）.
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
二、填空题（本大题共7小题，每小题5分．）
9、函数的定义域为 。
10、某学校开设A类选修课3门，B类选修课4门，一位同学从中共选3门，若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有 种.(用数字作答)
11、的展开式中的常数项为_ . (用数字作答)
12、已知 ．
13、若幂函数的图象经过点，则它在点处的切线方程为 .
14、已知函数f(x)=|lgx|.若0<a<b,且f(a)=f(b),则a+2b的取值范围是 。
15、有下列命题：
①命题“x∈R，使得x2+1＞3x”的否定是“ x∈R，都有x2+1＜3x”；
②设p、q为简单命题，若“p∨q”为假命题，则“p∧q为真命题”；
③“a＞2”是“a＞5”的充分不必要条件；
④若函数f(x)=(x+1)(x+a)为偶函数，则a=-1；
其中所有正确的说法序号是 .

三.解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16、（本题满分12分）某品牌的汽车4S店，对最近100位采用分期付款的购车者进行统计，统计结果如右表所示：
付款方式
分l期
分2期
分3期
分4期
分5期
频数
40
20
a
10
b
已知分3期付款的频率为0.2 ，4S店经销一辆该品牌的汽车，顾客分1期付款，其利润为1万元；分2期或3期付款其利润为1.5万元；分4期或5期付款，其利润为2万元．用表示经销一辆汽车的利润．
（Ⅰ）求上表中a，b的值；
（Ⅱ）若以频率作为概率，求事件A：“购买该品牌汽车的3位顾客中，至多有l位采用3期付款”的概率P（A）；
（Ⅲ）求的分布列及数学期望．
17、(本小题满分12分) 已知函数f(x)=ax2+bx+c(a>0,b∈R, c∈R).
(Ⅰ)若函数f(x)的最小值是f(-1)=0,且c=1,,
求F(2)+F(-2)的值；
(Ⅱ)若a=1,c=0,且在区间(0,1]上恒成立，试求b的取值范围。
18、(本小题满分12分) 一个口袋里有5个白球和3个黑球，任意取出一个，如果是黑球，则这个黑球不
放回而另外放入一个白球，这样继续下去，直到取出的球是白球时结束取球。求直到取到白球所需的
抽取次数的概率分布列。
19、 (本小题满分13分)某蔬菜基地种植西红柿，由历年市场行情得知，从二月一日起的300天内，西红柿市场售价与上市时间的关系用图一的一条折线表示；西红柿的种植成本与上市时间的关系用图二的抛物线段表示．

(Ⅰ) 写出图一表示的市场售价与时间的函数关系式P =；
写出图二表示的种植成本与时间的函数关系式Q =；
(Ⅱ) 认定市场售价减去种植成本为纯收益，问何时上市的西红柿收益最大？
(注：市场售价和种植成本的单位：元/kg，时间单位：天)
20、（本小题满分13分）
已知函数 是偶函数．
（Ⅰ）求的值;
（Ⅱ）设,若函数与的图象有且只有一个公共点,求实数
的取值范围．

21、（本小题满分13分）
已知函数,，其中R .
（Ⅰ）讨论的单调性；
（Ⅱ）若在其定义域内为增函数，求正实数的取值范围；
（Ⅲ）设函数, 当时，若，，总有成立，求实数的取值范围．

衡阳市八中2012届高三第一次月考数学（理科）参考答案
（考试内容：选修2-3、集合与逻辑用语、函数、导数）
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

答案

B

A

B

C

C

C

D

C

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．
9．( ,1)； 10． 30 ； 11． 24 _； 12、 0.8 ．

13．； 14． ； 15、 ②④ .

三.解答题: 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
16．（本题满分12分）解：（Ⅰ）由
∵40+20+a+10+b=100 ∴b=10 …………2分
（Ⅱ）“购买该品牌汽车的3位顾客中至多有1位采用3期付款”的概率：
…………6分
（Ⅲ）记分期付款的期数为，依题意得

…………9分
的可能取值为：1，1.5，2（单位万元）

的分布列为

1
1．5
2
P
0．4
0．4
0．2
的数学期望（万元）…………12分
17、(本小题满分12分)
解：（1）由已知：c=1,a-b+c=0,-b/2a=-1,,a=1,b=2,f(x)=(x+1)2

F(2)+F(-2)=(2+1)2+[-(-2+1)2]=8
（2）原命题等价于在区间(0,1]上恒成立
即且在区间(0,1]上恒成立。又的最小值为0，的最大值为-2，
∴

18、(本小题满分12分)
解：由题意知所有可能的取值为。 （2分）
则

（10分）
的概率分布为 （12分）

1
2
3
4

19 (本小题满分13分)
解：(Ⅰ)由图一可得市场售价与时间的函数关系为
f(t)= ——2分
由图二可得种植成本与时间的函数关系为
g(t)=(t－150)2＋100，0≤t≤300． ——4分
(Ⅱ)设t时刻的纯收益为h(t)，则由题意得
h(t)=f(t)－g(t)
即h(t)= ——6分
当0≤t≤200时，配方整理得
h(t)=－(t－50)2＋100，
所以，当t=50时，h(t)取得区间[0，200]上的最大值100；
当200<t≤300时，配方整理得
h(t)=－(t－350)2＋100
所以，当t=300时，h(t)取得区间[200，300]上的最大值87.5． ——10分
综上，由100>87.5可知，h(t)在区间[0,300]上可以取得最大值100，此时t=50，即从二月一日开始的第50天时，上市的西红柿纯收益最大． ——13分

20．（本小题满分13分）
解：（Ⅰ）由函数是偶函数可知：
-----------------------------------------------2分
即对一切恒成立
-----------------------------------------------5分
（Ⅱ）函数与的图象有且只有一个公共点
即方程有且只有一个实根
化简得：方程有且只有一个实根
令，则方程有且只有一个正根 --------------------------8分
①，不合题意； ---------------------------------9分
②或 ---------------------------------10分
若不合题意；若 ---------------------------------11分
③一个正根与一个负根，即
综上：实数的取值范围是 ---------------------------------13分
21．（本小题满分13分）
解：（Ⅰ）的定义域为，且， ----------------1分
①当时，，在上单调递增； ----------------2分
②当时，由，得；由，得；
故在上单调递减，在上单调递增. ----------------4分
（Ⅱ），的定义域为
----------------5分
因为在其定义域内为增函数，所以，

而，当且仅当时取等号，
所以 ----------------8分
（Ⅲ）当时，，
由得或
当时，；当时，.
所以在上， ----------------10分
而“，，总有成立”等价于
“在上的最大值不小于在上的最大值”
而在上的最大值为
所以有 -----------------------------------------------------------------------------12分

所以实数的取值范围是------------------------------------------------------------13分