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《函数、不等式、导数》专题分析
函数、方程、不等式是一个有机的统一体，其中函数是核心，而导数又是研究函数变化率、解决函数问题的有力工具。新教材引入导数的内容后，拓展了高中数学学习和研究的领域，也为高中数学解题增添了新的工具，新的思路。此外，由于导数的工具性和导数的几何意义也使得导数与解析几何、不等式、函数等知识联系紧密，在这些知识交汇点处设计层次不同，难度可控的试题，以考查学生对知识的整体把握和综合能力正成为高考试卷中新的综合热点。所以在复习中一定要使学生明确导数的地位和作用，特别是，什么情况下应用导数一定要让同学们心中有数，在应用的过程中注意什么更应该清楚。
一 命题研究
年份
考点
2005
2006
2007
导数的概念及运算
湖南T6
江西T5
海南T10
陕西T21
函数的切线、切线倾斜角、导数的几何意义
湖北T7、湖南T21、辽宁T22、全国ⅡT22、福建T19、重庆T12
全国ⅡT21、安徽T7、江苏T15、浙江T20、湖南T13
海南T10、江苏T9、浙江T8、全国ⅡT8、广东T12、安徽T18、天津T20
函数的单调性
全国ⅢT22、江西T7
湖南T21、天津T10、辽宁T22、北京T15
全国ⅠT21、四川T22、北京T16、上海T22、山东T18、江西T17
江西T5、辽宁T12、江苏T13、安徽T20、福建T20、湖北T19、辽宁T22、浙江T22、山东T22、全国ⅠT20
陕西T20、上海T19
函数的极值或最值
全国ⅠT22、全国ⅡT22、北京T15、重庆T19
天津T20、安徽T20、广东T18、福建T21、辽宁T21
湖北T13、浙江T15、北京T19、福建T22、广东T20、海南T21、湖北T20、湖南T19、辽宁T22、山东T21、四川T20、天津T21、重庆T20、全国ⅠT20、全国ⅡT22
从上述表格中可以看出，这几年的高考试卷中，每年都有导数题目，必有一道大题考查利用导数研究函数的极值，单调区间，实际应用证明不等式等问题。从这几年的高考题可以看出综合性越来越强，灵活性较大，知识内容的考查具有深度。
二 本专题在高考命题中的热点、难点
①求函数的极值、最值；
②求函数的单调区间、证明函数的单调性；
③三次函数或超越函数的切线问题；
④解决实际应用问题；
⑤构造函数，通过求导法证明不等式．
三 应用中的注意事项
① 会优先考虑利用导数求函数的极值、最值，注意极值与最值的区别与联系；

② 利用导数解决函数的单调性、单调区间问题时，注意转化的等价性；

③ 导数与函数图象的混合问题，尤其是三次函数的切线问题，审题时要注意相关点的位置；

四 导数在函数中的应用问题归类解析
1、导数定义与求导法则和函数求导公式的应用
例1、设f0(x)＝sinx，f1(x)＝f0′(x)，f2(x)＝f1′(x)，…，fn＋1(x)＝fn′(x)，n∈N，则f2005(x)＝（C）
A．sinx　 B．－sinx C．cosx　 D．－cosx
点评： 本题考查了三角函数求导公式及函数的周期性，属于起点题.题目虽然十分基础,但命题形式生动活泼.须要认识其周期性规律,方能快速给出答案.
例2、已知函数，则_________.
例3、已知函数在处可导，且导数值试求
解：设，则当时有，因而

例4、已知

解：
例5、已知函数
求的值.
解：
1
∵
∴
.
点评：本题是导数定义及多项式求导法则与二项式定理有关知识的综合交汇成的一道好题.解决此题的关键在于由待求式的特征联想到导数的定义，灵活的运用导数的定义把待求值的式子化简后求值.注意定义式的等价形式

2、导数的几何意义的运用
例6、(1）（全国一文11）曲线在点处的切线与坐标轴围成的三角形面积为（ A ）
A． B． C． D．
（2）（全国二文8）已知曲线的一条切线的斜率为，则切点的横坐标为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
（3） 在函数的图象上，其切线的倾斜角小于的点中，坐标为整数的点的个数是（ ）
A．3 B．2 C．1 D．0
解：切线的斜率，倾斜角小于，
所以不存在符合条件的整数x，故应选D.

点评：这三个题考查导数几何性质的运用及斜率和倾斜角的关系，属于中低档题，立足此三者交汇处设计试题是常考常新，值得关注.

例7、曲线上一点P（2，），求过点P的切线方程.
错解：由=,得切线方程是，即12x-3y-16=0.
剖析：虽然点P（2，）在曲线上，但过点P的切线不一定以P为切点.本题中所求的是“过P点的切线”，而不只是求“切点是P”的切线，所以过点P但不以P为切点的切线方程也是符合题意的.
正解：当P为切点时，同上解；当P点不是切点时，设切点为Q,
则切线方程为，因为切线过点P（2，）,代入求得切点为Q（2，）（即与P点重合）或Q(-1,)切线3x-2y+2=0,所以所求的切线有两条。

点评： 注意对切点的具体分析。无论是求函数在某点的切线还是过某点的切线，首先都是求（或设）切点坐标，得出切线的斜率，再解决问题。曲线在某点处的切线只有一条，而过某点的切线可以不止一条。

例8、（全国二理 22）已知函数．
（1）求曲线在点处的切线方程；
（2）设，如果过点可作曲线的三条切线，证明：．
解：（1）求函数的导数；．
曲线在点处的切线方程为：
，
即 ．
（2）如果有一条切线过点，则存在，使
．
于是，若过点可作曲线的三条切线，则方程

有三个相异的实数根．
记 ，
则
．

当变化时，变化情况如下表：

0

0

0

极大值

极小值

由的单调性，当极大值或极小值时，方程最多有一个实数根；
当时，解方程得，即方程只有两个相异的实数根；
当时，解方程得，即方程只有两个相异的实数根．
综上，如果过可作曲线三条切线，即有三个相异的实数根，则
即 ．
例9、（2007菏泽模拟）已知函数在时有极值，其图象在点处的切线与直线平行.
（1）求的值；（2）求函数的单调区间.
解：（1）
由已知可得，

(2)由（1）得

例10、已知函数f(x)＝lnx，g(x)＝ax2＋bx，a≠0. 设函数f(x)的图象C1与函数g(x)图象C2交于点P、Q，过线段PQ的中点作x轴的垂线分别交C1，C2于点M、N，证明C1在点M处的切线与C2在点N处的切线不平行.
证法一 设点P、Q的坐标分别是（x1, y1），（x2, y2），0<x1<x2.
则点M、N的横坐标为
C1在点M处的切线斜率为
C2在点N处的切线斜率为
假设C1在点M处的切线与C2在点N处的切线平行，则k1=k2.
即，则

=
所以 设则①
令则
因为时，，所以在）上单调递增. 故
则. 这与①矛盾，假设不成立.
故C1在点M处的切线与C2在点N处的切线不平行.
证法二：同证法一得
因为，所以
令，得 ②
令
因为，所以时，/
故在[1，+上单调递增.从而，即
于是在[1，+上单调递增.
故即这与②矛盾，假设不成立.
故C1在点M处的切线与C2在点N处的切线不平行。
点评：本题涉及对数曲线的切线，无法用传统的二次方程根的判别式来求解，虽然曲线C切线可用判别式来求解，但过程烦琐，运算量大且容易出错，导数的几何意义为这类问题的解决提供了新方法、新途径。涉及到曲线的切线尤其是三次或三次以上的曲线与对数曲线、指数曲线等曲线的切线和公切线问题（如2003年全国文科18题），也是近年来各省市新高考中经常出现的一种题型。在这类问题中，我们不但要运用导数的几何意义，还常常用两直线位置关系来构建方程。这类问题具有立意新、结构新、方法新、难度适中等特点，所以在高考中考查力度逐步加大，对此在复习中应引起重视.

3 运用导数解决与函数单调性有关的问题

例11、已知函数

A
B
C
D
，下面四个图象中的图象大致是（C）
解：当由右图可知，
∴在为增函数。同理可得在，即在(-1,0)为减函数.故选c
点评：本题考查了运用导数的符号判断函数单调性的知识及数形结合、分类讨论的数学思想.导数的符号决定原函数的单调性，即

所以解答此题的关键是判断导数在各区间上的符号。需要注意的是是为增函数的充分不必要条件.
例12、（海南文 19）设函数
（Ⅰ）讨论的单调性；
（Ⅱ）求在区间的最大值和最小值．
解：的定义域为．
（Ⅰ）．
当时，；当时，；当时，．
从而，分别在区间，单调增加，在区间单调减少．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知在区间的最小值为．
又．
所以在区间的最大值为．

例13、（2003天津19） 设，求函数的单调区间.
本小题主要考查导数的概念和计算，应用导数研究函数性质的方法及推理和运算能力. 满分12分.
解：.
当时 .

（i）当时，对所有，有.
即，此时在内单调递增.
（ii）当时，对，有，
即，此时在（0，1）内单调递增，又知函数在x=1处连续，因此，
函数在（0，+）内单调递增
（iii）当时，令，即.
解得.
因此，函数在区间内单调递增，在区间
内也单调递增.
令，
解得.
因此，函数在区间内单调递减.
例14、(上海理科19) 已知函数，常数．
（1）讨论函数的奇偶性，并说明理由；
（2）若函数在上为增函数，求的取值范围．
解：（1）当时，，
对任意，， 为偶函数．
当时，，
取，得 ，
，
函数既不是奇函数，也不是偶函数．
（2）解法一：设，
，
要使函数在上为增函数，必须恒成立．
，即恒成立．
又，．
的取值范围是．
解法二：当时，，显然在为增函数．
当时，反比例函数在为增函数，
在为增函数．
当时，同解法一．

例15、（05年全国Ⅱ22）已知a≥ 0 ，函数f(x) = （ -2ax ） .
（1）当X为何值时，f(x)取得最小值？证明你的结论；
（2）设 f(x)在[ -1，1]上是单调函数，求a的取值范围.

例16、已知函数在实数集R上是增函数，求实数的取值范围．
错解：，依题意，在R上恒成立，所以，得．
正解：依题意，在R上恒成立，所以，得．
当时
；
时，．显然函数也恒增，且．
故得
例17、函数在区间上是增函数，则的取值范围是
解：（求导法）因，由得，但是，
当时，，显然在上不是增函数，故为所求．
点评：函数在区间上递增在时总成立．

4、运用导数分析极值或最值.
“”是“点为的极值点”的既不充分又不必要条件．

例18、 函数的极值点是（ ）．
（A） （B） （C）或或 （D）
错解：∵ ，
∴由得或或，故选C．
正解分析：由可知当或时，都有，并没有改变的符号，故不是的极值点；同理也可得也不是极值点，故正确答案为D．

例19、若函数有且仅有一个极值点，求实数的取值范围．
解：，
由题意得 总成立，故，　∴ ．
例20、 已知，讨论函数的极值点的个数.

（1）当

x

x1

+
0
－
0
+

为极大值

为极小值

即此时有两个极值点.
（2）当有两个相同的实根
于是
无极值.
（3）
为增函数，此时无极值. 因此当无极值点。

点评：

例21、已知函数f(x)=－x3＋3x2＋9x＋a,
（I）求f(x)的单调递减区间；
（II）若f(x)在区间[－2，2]上的最大值为20，求它在该区间上的最小值.
解：（I） ＝－3x2＋6x＋9．令<0，解得x<－1或x>3，
所以函数f(x)的单调递减区间为（－∞，－1），（3，＋∞）．
（II）因为f(－2)＝8＋12－18＋a=2＋a，f(2)＝－8＋12＋18＋a＝22＋a，
所以f(2)>f(－2)．因为在（－1，3）上>0，所以f(x)在[－1, 2]上单调递增，又由于f(x)在[－2，－1]上单调递减，因此f(2)和f(－1)分别是f(x)在区间[－2，2]上的最大值和最小值，于是有 22＋a＝20，解得 a＝－2．
故f(x)=－x3＋3x2＋9x－2，因此f(－1)＝1＋3－9－2＝－7，
即函数f(x)在区间[－2，2]上的最小值为－7。
点评： 导数引入新教材后，为分析三次函数问题提供了很好的工具。近年来新高考中尤其是文科试卷中经常出现以三次函数为背景的问题，一般是考查三次函数的单调性、极值与最值、三次函数图象的切线、三次方程实根个数、三次不等式等知识点，一般难度不大，如果在理科试卷中出现，则要求考查分类讨论等数学思想。解决此类问题的思路是求导后转化为“三个二次”问题，使得这个问题借助导数工具又呈现一道靓丽的风景。

5、导数的实应用
例22、（湖南理 19）如图4，某地为了开发旅游资源，欲修建一条连接风景点和居民区的公路，点所在的山坡面与山脚所在水平面所成的二面角为（），且，点到平面的距离（km）．沿山脚原有一段笔直的公路可供利用．从点到山脚修路的造价为万元/km，原有公路改建费用为万元/km．当山坡上公路长度为km（）时，其造价为万元．已知，，，．
（I）在上求一点，使沿折线修建公路的总造价最小；
（II） 对于（I）中得到的点，在上求一点，使沿折线修建公路的总造价最小．

Ｏ
A
E
D
B
H
P

解：（I）如图，，，，
由三垂线定理逆定理知，，所以是
山坡与所成二面角的平面角，则，
．
设，．则
．
记总造价为万元，
据题设有

当，即时，总造价最小．
（II）设，，总造价为万元，根据题设有
．
则，由，得．
当时，，在内是减函数；
当时，，在内是增函数．
故当，即（km）时总造价最小，且最小总造价为万元．
例23、一个截面为抛物线形的旧河道，河口宽AB=4m，河深2m，先要将其截面改为等腰梯形，要求河道深度不变，而且施工时只能挖土不准向河道填土，试求当截面梯形的下底长为多少米时，才能使挖出的土最少？

6、导数在证明不等式中的应用
利用导数研究函数的单调性，再由单调性来证明不等式是函数、导数、不等式综合中的一个难点．
例24、已知函数．
（1）若的单调减区间为（0，4），求的值；
（2）当时，求证：．
解：（1）的解集为（0，4），　　　（注意等价性）
则0、4是的两根， 所以，∴．
（2）要证，只要证，
令 ，
则当时，，
∴在上递增，∴即成立，原不等式得证．
要证明在区间上成立，先构造函数，转化为证明在上成立，只需证明．于是又和函数的单调性或最（极）值联系在一起．In the modern time, mainly in small and medium-sized enterprises, Foshan steel industry is the speed development by leaps and bounds, and have made remarkable achievements in upstream, but also face factors of production such as energy, raw material cost, continuously high indirectly lead to cost pressures in iron and steel