工程测量中坐标系及投影面、投影带的选择.doc

工程测量中坐标系及投影面、投影带的选择
王顺
中铁二十一局第五工程有限公司 兰州市城关区火车站南路189号 730000
摘要：在工程测量中，投影变形大地区工程坐标系的建立是一个敏感而困难的话题，建立坐标系的关键在于合理的选择投影面和投影带。为了限制高斯投影长度变形，将椭球面按一定经度的子午线划分为不同的投影带或者为了抵偿长度变形选择某一个经度的子午线作为测区的中央子午线。
关键词：工程测量 坐标系 投影面 投影带
引言
地面点空间位置描述需要选择一定的参照系和坐标系。坐标系的建立是一切测量计算与地形测绘的基础。本文主要介绍建立大地坐标系的基础和常用测量坐标系及其投影面的投影带的选择。为了使工程控制网的网点坐标能不加改正的用于实际放样就必须限制投影后的边长变形。当边长的综合变形较大而不能满足相应要求时可采用“抵偿高程面”或“任意带高斯正形投影”的方法来改善测区内边长经投影后的综合变形，通常根据工程测量的特点和要求,建立自己的区域坐标系。而区域坐标系的建立,关键在于合理地选择投影带和投影面。工程测量中几种可能采用的坐标系及选用方法选择坐标系的主要目的是解决长度变形问题,这种变形是由经过实测边长归化到椭球面上,再由椭球面化算到高斯平面上两次化算引起的。
1、坐标系
1．1、坐标系的作用
对于国家平面控制网而言，坐标系的主要任务和作用是满足我国各行各业基本建设和军事用途的需要。为了对我国所有版图进行有效的测量和控制，全国必须布设一个统一的坐标系，以保证全国版图内坐标的统一、测绘资料管理和利用以及图纸的拼接。
1．2、常用坐标的表示形式
1．2．1、空间直角坐标系
坐标系原点位于参考椭球的中心，Z轴指向参考椭球的北极，X轴指向起始子午面与赤道的交点，Y轴位于赤道面上，且按右手系与X轴呈90°夹角。某点在空间中的坐标可用该点在此坐标系的各个坐标轴上的投影来表示。
表示形式：X，Y，Z
                     空间直角坐标系                      空间大地坐标系
1．2．2、空间大地坐标系
采用大地经度（L）、大地纬度（B）和大地高（H）来描述空间位置的。纬度是空间的点与参考椭球面的法线与赤道面的夹角，经度是空间中的点与参考椭球自转轴所在的面与参考椭球的起始子午面的夹角，大地高是空间点沿参考椭球的法线方向到参考椭球面的距离。
表示形式：B，L，H
1．2．3、平面直角坐标系
平面直角坐标系是利用投影变换，将空间坐标（空间直角坐标或空间大地坐标）通过某种数学变换映射到平面上，这种变换又称为投影变换。投影变换的方法有很多，如UTM投影、Lambuda投影等，在我国采用的是高斯-克吕格投影，也称为高斯投影。
表示形式：x , y , z
1．3、工程常用坐标系
1．3．1、1954年北京坐标系
1954年北京坐标系是我国目前广泛采用的大地测量坐标系。
该坐标系采用的参考椭球是克拉索夫斯基椭球，遗憾的是，该椭球并未依据当时我国的天文观测资料进行重新定位，而是由前苏联西伯利亚地区的一等锁，经我国的东北地区传算过来的，该坐标系的高程异常是以前苏联1955年大地水准面重新平差的结果为起算值，按我国天文水准路线推算出来的。
高程又是以1956年青岛验潮站的黄海平均海水面为基准。

f=(a-b)/a
f：扁率 1：298.3
a: 长半轴 6378245m
b: 短半轴 6356863m
我国测制了全国1：5万和1：10万地形图的大量1：1万比例尺地形图，其计算的精度有限。
1．3．2、1980国家坐标系
1980年国家坐标系：其大地坐标原点位于陕西省泾阳县永乐镇，其原点简称西安原点，又称西安坐标系。
1978年，我国决定重新对全国天文大地网施行整体平差，并且建立新的国家大地坐标系统，整体平差在新大地坐标系统中进行。
1980年西安大地坐标系统所采用的地球椭球参数的四个几何和物理参数采用了IAG 1975年的推荐值，椭球的短轴平行于地球的自转轴（由地球质心指向1968.0 JYD地极原点方向），起始子午面平行于格林尼治平均天文子午面，椭球面同似大地水准面在我国境内符合最好。
高程系统以1956年黄海平均海水面为高程起算基准。
f：扁率 1：298.257
a: 长半轴 6378140 m
b: 短半轴 6356755.3 m
1．3．3、WGS-84国际坐标系
WGS-84坐标系是目前GPS所采用的坐标系统，GPS所发布的星历参数就是基于此坐标系统的。
WGS-84坐标系统的全称是World Geodical System-84（世界大地坐标系-84），它是一个地心地固坐标系统。WGS-84坐标系的坐标原点位于地球的质心，Z轴指向BIH1984.0定义的协议地球极方向，X轴指向BIH1984.0的起始子午面和赤道的交点，Y轴与X轴和Z轴构成右手系。
高程系统以1956年黄海平均海水面为高程起算基准。
1．3．4、地方独立坐标系
最初在建立坐标系时,由于技术条件的限制,定向、定位精度有限，导致最终所定义的坐标系与国家坐标系在坐标原点和坐标轴的指向上有所差异；
出于成果保密等原因，在按国家坐标系进行数据处理后，对所得的成果进行了一定的平移和旋转，得出独立坐标系；
Ⅰ、城市坐标系
通过其它坐标系经过一系列的投影、旋转、尺度变换，建立的一套适合该城市的坐标系．
Ⅱ、自定义坐标系
为了满足工程的需求和工程施工方便而建立独立坐标系。
2、投影面、投影带
2．1、高斯-克吕格投影
高斯-克吕格(Gauss-Kruger)投影简称“高斯投影”，又名“等角横切椭圆柱投影”，地球椭球面和平面间正形投影的一种。德国数学家、物理学家、天文学家高斯（Carl FriedrichＧauss，1777一 1855）于十九世纪二十年代拟定，后经德国大地测量学家克吕格（Johannes Kruger，1857～1928）于 1912年对投影公式加以补充，故名。
该投影按照投影带中央子午线投影为直线且长度不变和赤道投影为直线的条件，确定函数的形式，从而得到高斯一克吕格投影公式。投影后，除中央子午线和赤道为直线外， 其他子午线均为对称于中央子午线的曲线。设想用一个椭圆柱横切于椭球面上投影带的中央子午线，按上述投影条件，将中央子午线两侧一定经差范围内的椭球面正形投影于椭圆柱面。将椭圆柱面沿过南北极的母线剪开展平，即为高斯投影平面。
高斯克吕格平面直角坐标系：以中央子午线与赤道交点的投影为原点，中央子午线的投影为纵坐标x轴，赤道的投影为横坐标y轴。
高斯-克吕格投影在长度和面积上变形很小，中央经线无变形，自中央经线向投影带边缘，变形逐渐增加，变形最大之处在投影带内赤道的两端。由于其投影精度高，变形小，而且计算简便（各投影带坐标一致，只要算出一个带的数据，其他各带都能应用），因此在大比例尺地形图中应用，可以满足军事上各种需要，能在图上进行精确的量测计算。
2．1．1、高斯-克吕格投影分带
按一定经差将地球椭球面划分成若干投影带,这是高斯投影中限制长度变形的最有效方法。分带时既要控制长度变形使其不大于测图误差，又要使带数不致过多以减少换带计算工作，据此原则将地球椭球面沿子午线划分成经差相等的瓜瓣形地带,以便分带投影。通常按经差6度或3度分为六度带或三度带。
6度带：以0°子午线算起，每6°为一带，第一带的中央子午线为东经3°。
3度带：以东经1°30′开始，每隔3°为一带，第一带的中央子午线为东经3°。

                 椭球                   高斯-克吕格平面投影
2．1．2、高斯-克吕格投影坐标
我国通常采用6°分带法，将全球分为60个带，我国包括从13带到第23带共11个带

2．1．3、投影误差
当测区面积较小时，可以不考虑地球曲率的影响，把水准面当成平面看待：按数学方法推导，把球面当作平面而引起的相对误差△d/d按以下式计算：

当d=10km时，△d只有0.82cm,相对误差为1：120万。由此可见，当距离在10km以内时，完全可以不考虑曲率的影响。
2．1．4、高程系统
高程：就是地球上一点到大地水准面的铅垂距离．
由于各个海域的平平均海（水）面存在着差异（据研究在我国是南高北低，相差0.6m）
大地水准面基准：采用青岛验潮站1956处求得的黄海平均海（水）面，原点高程：72.289m。称1956年黄海高程系统。从1998年1月1日起，我国改用《1985年国家高程基准》，原点高程改为：72.26m
新旧系统相差0.029m
Ⅰ、高程系统之间的关系
H: 地球表面-参考椭球
Hg:地球表面-大地水准面
hg:大地水准面-参考椭球
Hy:地球表面-似大地水准面
S：似大地水准面-参考椭球

Ⅱ、高程误差
用水平面代替水准面对于高程测量会产生较显著的影响。
如下图：水准面上的N点投影到水平面上得到N′点，NN′=△h,即为这种代替所带来的高差误差。
设水准面与水平面的切点为M，MN=S，MN′=S′则由勾股定理得到：

例：
当S′= 1KM时，△h约为7.8cm ;
当S′= 5KM时，△h约为196cm;
当S′= 10KM时，△h约为785cm
2．2、工程测量中投影面、投影带的选择
2．2．1、 有关投影变形的基本概念
平面控制测量投影面和投影带的选择，主要是解决长度变形问题。这种投影变形主要由以下两方面因素引起：
Ⅰ、实量边长归算到参考椭球体面上的变形影响，其值有：
(2-1)
式中, 为归算边高出参考椭球面的平均高程；
s为归算边的长度 ；
R为归算边方向参考椭球法截弧的曲率半径。
归算边的相对变形为：
(2-2)
由公式可以看出：的值总为负，即地面实量长度归算至参考椭球体面上，总是缩短的；值与成正比，随增大而增大。
Ⅱ、将参考椭球面上边长归算到高斯投影面上的变形影响，其值有：
(2-3)
式中,，即为投影归算边长，
为归算边两端点横坐标平均值，
为参考椭球面平均曲率半径。
投影边的相对变形为：
(2-4)
由公式可以看出：的值总为正，即椭球面上长度归算至高斯面上，总是增大的，值与成正比而增大，离中央子午线愈远变形愈大。
2．2．2、工程测量投影面和投影带选择的基本出发点
Ⅰ、在满足精度要求的前提下，为使测量结果一测多用，应采用国家统一3°带高斯平面直角坐标系，将观测结果归算至参考椭球面上。即工程测量控制网应同国家测量系统相联系；
当边长的两次归算投影改正不能满足上述要求时，为保证测量结果的直接利用和计算的方便，可采用任意带的独立高斯平面直角坐标系，归算测量结果的参考面可自己选定。为此可用以下手段实现：(a) 通过改变从而选择合适的高程参考面，将抵偿分带投影变形（称为抵偿投影面的高斯正形投影）；(b) 改变从而对中央子午线作适当移动，以抵偿由高程面的边长归算到参考椭球面上的投影变形（称为任意带高斯正形投影）；(c) 通过既改变（选择高程参考面），又改变（移动中央子午线），来抵偿两项归算改正变形（称为具有高程抵偿面的任意带高斯正形投影）。
据计算，当测区平均高程在100m以下，且值不大于40km时，其投影变形值和均小于2.5cm，可以满足大比例尺测图和工程放样的精度要求。因此在偏离中央子午线不远和地面平均高程不大的地区，无需参考投影变形问题，直接采用国家统一的3°带高斯正形投影平面直角坐标系作为工程测量的坐标系，使两者一致。
Ⅱ、 抵偿投影面的3°带高斯正形投影平面直角坐标系
此时仍采用国家3°带高斯投影，但投影的高程面不是参考椭球面而是依据补偿高斯投影长度变形而选择的高程参考面。在该参考面上长度变形为零。当采用第一种坐标系时，有

且超过允许的精度要求时(10～2.5cm)，我们可令，即
(2-5)
于是当一定时，由上式可求得：
(2-6)
比如某测区海拔=2000m，最边缘中央子午线100km，当s=1000m时，则有
, ,
而
超过允许值(10～2.5cm)。此时不改变中央子午线位置，而选择一个合适的高程参考面，使（2-5）式成立，于是依（2-6）式算得高差，即将地面实测距离归算到2000-780=1220(m)的高程面上，此时两项长度改正得到完全补偿。事实上：

即
Ⅲ、任意带高斯正形投影平面直角坐标系
该坐标系中，仍把地面观测结果归算到参考椭球面上，但投影带的中央子午线不按国家3°带的划分方法，而是依据补偿高程面归算长度变形而选择的某一条子午线作为中央子午线。即在（2-5）式中，保持不变，于是得
(2-7)
比如某测区相对参考椭球面的高程=500m，为抵偿地面观测值向参考椭球面上归算的改正值，依上式算得

即选择与该测区相距80km处的子午线。此时在=80km处，两项改正项得到完全补偿。事实上：

即
但在实际应用这种坐标系时，往往是选取过测区边缘、或测区中央、或测区内某一点的子午线作为中央子午线，而不经过上述计算。
2．2．3、工程测量投影面和投影带的选择
Ⅰ、当长度变形值不大于2.5cm/km时,应采用高斯正形投影统一3°带的平面直角坐标系统。统一3°带的主子午线经度由东经75°起,每隔3°至东经135°。
Ⅱ、当长度变形值大于2.5cm/km 时，可依次采用：
①投影于抵偿高程面上的高斯正形投影3°带的平面直角坐标系统；
②高斯正形投影任意带的平面直角坐标系统，投影面可采用黄海平均海水面或城市平均高程面。
Ⅲ、面积小于25km2的城镇,可不经投影采用假定平面直角坐标系统在平面上直接进行计算。
3、结束语
在工程测量中的坐标系，主要是满足各种工程建设和市政施工放样工作的要求。1954北京坐标系、1980国家坐标系、WGS-84国际坐标系以及建立的独立坐标系都是工程测量中常用的坐标系。特别是现代3S技术的发展，WGS-84坐标系更是经常用到。而坐标系的建立，关键是在于合适的选择投影面、投影带，我国大地测量法规和有关测量规范明确规定，国家大地测量控制网依高斯投影的方法按6°带和3°带进行分带和计算。如果能够正确的选择合适的投影面和投影带，这样就能经济合理的确立工程平面控制网的坐标系。
参考文献：
[1] 周建郑 GPS定位原理和技术 黄河水利出版社
[2] 李宝玉 控制测量 中国建筑出版社
[3] 孔祥元 梅是义 控制测量学 武汉大学出版社