空间几何体的表面积和体积.ppt

,*,*,云在漫步,*,云在漫步,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,单击此处编辑母版标题样式,*,*,1.3,简单几何体的表面积和体积,1.3.1 柱体、锥体、台体,的表面积与体积,1、表面积：几何体表面的,大小,2、体积：几何体所占空间的大小。,表面积、全面积和侧面积,表面积,：,立体图形的所能触摸到的面积之和叫做它的表面积。,（每个面的面积相加）,全面积：,全面积是立体几何里的概念，相对于截面积（“截面积”即切面的面积）来说的，就是表面积总和,侧面积：,指,立体图形,的各个侧面的面积之和（除去底面）,棱柱、棱锥、棱台的侧面积,侧面积所指的对象分别如下：,棱柱-,直,棱柱。,棱锥-,正,棱锥。,棱台-,正,棱台,2.几何体的表面积,（1）棱柱、棱锥、棱台的表面积就是,.,（2）圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图分别是,、,、,；它们的表面积等于,.,各面面积,之和,矩,形,扇形,扇环形,侧面积,与底面面积之和,5,有关概念,1,、直棱柱：,2,、正棱柱：,3,、正棱锥：,4,、正棱台：,侧棱和底面,垂直,的棱柱叫直棱柱,底面是正多边形的,直,棱柱叫正棱柱,底面是正多边形,，,顶点在底面的射影是底面中心,的棱锥,正棱锥,被平行于底面的平面所截，截面和底面之间的部分叫正棱台,6,作直三棱柱、正三棱锥、正三棱台各一个，找出,斜高,C,O,B,A,P,D,斜高的概念,7,2,、分别作出一个圆柱、圆锥、圆台，并找出旋转轴,分别经过旋转轴作一个平面，观察得到的轴截面是,什么形状的图形,.,A,B,C,D,A,B,C,A,B,C,D,矩 形,等腰三角形,等腰梯形,8,直棱柱：设棱柱的高为,h,，底面多边形的周长为,c,，则,S,直棱柱侧,.,（类比矩形的面积）,圆柱：如果圆柱的底面半径为,r,，母线长为,l,，那么,S,圆柱侧,.,（类比矩形的面积）,ch,2,rl,知识点一：柱、锥、台、球的表面积与侧面积,(1),柱体的侧面积,把直三棱柱侧面沿一条侧棱展开，得到什么图形？,侧面积怎么求？,10,棱柱的侧面展开图是什么？如何计算它的表面积？,h,正棱柱的侧面展开图,2.棱柱、棱锥、棱台的展开图及表面积求法,思考：把圆柱、圆锥、圆台的侧面分别沿着一条母线,展开，分别得到什么图形,?,展开的图形与原图,有什么关系？,宽,长方形,12,圆柱的侧面展开图是矩形,3.圆柱、圆锥、圆台的展开图及表面积求法,圆柱,O,正棱锥：设正棱锥底面正多边形的周长为,c,，斜高为,h,，则,S,正棱锥侧,.,（类比三角形的面积）,圆锥：如果圆锥的底面半径为,r,，母线长为,l,，那么,S,圆锥侧,.,（类比三角形的面积）,12ch,rl,(2),锥体的侧面积,把正三棱锥侧面沿一条侧棱展开，得到什么图形？,侧面积怎么求？,15,棱锥的侧面展开图是什么？如何计算它的表面积？,正三棱锥的侧面展开图,棱锥的展开图,侧面展开,正五棱锥的侧面展开图,棱锥的展开图,思考：把圆柱、圆锥、圆台的侧面分别沿着一条母线,展开，分别得到什么图形,?,展开的图形与原图,有什么关系？,扇形,18,圆锥的侧面展开图是扇形,O,圆锥,正棱台：设正,n,棱台的上底面、下底面周长分别为,c,、,c,，斜高为,h,，则正,n,棱台的侧面积公式：,S,正棱台侧,.,圆台：如果圆台的上、下底面半径分别为,r,、,r,，母线长为,l,，则,S,圆台侧,12(,c,c,),h,l,(,r,r,),(3),台体的侧面积,注,：表面积侧面积底面积,把正三棱台侧面沿一条侧棱展开，得到什么图形？,侧面积怎么求？,（类比梯形的面积）,21,侧面展开,h,h,正四棱台的侧面展开图,棱台的侧面展开图是什么？如何计算它的表面积？,棱台的展开图,参照圆柱和圆锥的侧面展开图，试想象圆台的侧面展开图是什么,O,O,圆台的侧面展开图是,扇环,圆台,思考：把圆柱、圆锥、圆台的侧面分别沿着一条母线,展开，分别得到什么图形,?,展开的图形与原图,有什么关系？,扇环,24,O,O,侧,圆台侧面积公式的推导,O,O,圆柱、圆锥、圆台三者的表面积公式之间有什么关系？,O,r,r,上底扩大,O,r,0,上底缩小,棱柱、棱锥、棱台都是由多个平面图形围成的几何体，,h,棱柱、棱锥、棱台的表面积,它们的侧面展开图还是平面图形，,计算它们的,表面积就是计算它的各个侧面面积和底面面积,之和,例,1,：一个正三棱台的上、下底面边长分别是,3cm,和,6cm,，高是,3/2cm,，求三棱台的侧面积,.,分析：关键是求出斜高，注意图中的直角梯形,A,B,C,C,1,A,1,B,1,O,1,O,D,D,1,E,28,例,3,：圆台的上、下底面半径分别为,2,和,4,，高为 ，求其侧面展开图扇环所对的圆心角,分析：抓住相似三角形中的相似比是解题的关键,小结：,1,、抓住侧面展开图的形状，用好相应的计算公式，注意逆向用公式；,2,、圆台问题恢复成圆锥图形在圆锥中解决圆台问题，注意相似比,.,答：,180,0,29,例：圆台的上、下底半径分别是,10cm,和,20cm,，它的侧面展开图的扇环的圆心角是,180,0,，那么圆台的侧面积是多少？（结果中保留,）,30,小结：,1,、弄清楚柱、锥、台的侧面展开图的形状是关键；,2,、对应的面积公式,C=0,C=C,S,圆柱侧,=2rl,S,圆锥侧,=rl,S,圆台侧,=,（,r,1,+r,2,)l,r,1,=0,r,1,=r,2,31,例,1,：一个正三棱柱的底面是边长为,5,的正三角形，侧棱长为,4,，则其侧面积为,_;,答：,60,例,2,：正四棱锥底面边长为,6,高是,4,，中截面把棱锥截成一个小棱锥和一个棱台，求棱台的侧面积,32,例,3,已知棱长为,a,，各面均为等边三角形的四面体,S,-,ABC,，求它的表面积,D,B,C,A,S,分析：四面体的展开图是由四个全等的正三角形组成,因为,BC,=,a,，,所以：,因此，四面体,S,-,ABC,的表面积,交,BC,于点,D,解：先求 的面积，过点,S,作,，,33,例,4(2010,年广东省惠州市高三调研,),如图，已知正三棱柱,ABC,A,1,B,1,C,1,的底面边长是,2,，,D,，,E,是,CC,1,，,BC,的中点，,AE,DE,.,(1),求此正三棱柱的侧棱长；,(2),正三棱柱,ABC,A,1,B,1,C,1,的表面积,【,思路点拨,】,(1),证明,AED,为直角三角形，然后求侧棱长；,(2),分别求出侧面积与底面积,【,点评,】,求表面积应分别求各部分面的面积，所以应弄清图形的形状，利用相应的公式求面积，规则的图形可直接求，不规则的图形往往要再进行转化，常分割成几部分来求,思考：怎样求斜棱柱的侧面积？,1,）侧面展开图是,平行四边形,2,）,S,斜棱柱侧,=,直截面周长,侧棱长,3,）,S,侧,=,所有侧面面积之和,37,1,高考中对几何体的表面积的考查一般在客观题中，借以考查空间想象能力和运算能力，只要正确把握几何体的结构，准确应用面积公式，就可以顺利解决,几何体的表面积问题小结,2,多面体的表面积是各个面的面积之和圆柱、圆锥、圆台的侧面是曲面，计算侧面积时需要将这个曲面展为平面图形计算，而表面积是侧面积与底面圆的面积之和,3,几何体的表面积应注意重合部分的处理,几何体占有空间部分的大小叫做它的体积,一、体积的概念与公理:,公理1、长方体的体积等于它的长、宽、高的积。,V,长方体,=,abc,推论1、长方体的体积等于它的底面积,s,和高,h,的积。,V,长方体,=,sh,推论2、正方体的体积等于它的棱长,a,的立方。,V,正方体,=,a,3,公理2、夹在两个平行平面间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等。,P,Q,幂势既同，则积不容异,祖暅原理,定理1：柱体（棱柱、圆柱）的体积等于它的底面积,s,和高,h,的积。,V,柱体,=,sh,二：柱体的体积,推论：底面半径为,r,，,高为,h,圆柱的体积是,V,圆柱,=,r,2,h,三:锥体体积,例2：,如图：三棱柱AD,1,C,1,-BDC,底面积为,S,高为,h,.,A,B,D,C,D,1,C,1,C,D,A,B,C,D,1,A,D,C,C,1,D,1,A,答:可分成,棱锥A-D,1,DC,棱锥A-D,1,C,1,C,棱锥A-BCD,.,问：（1）从,A,点出发棱柱能,分割,成几个三棱锥？,3.,1,锥体（棱锥、圆锥）的体积,（底面积,S，,高,h,）,注意,：三棱锥的顶点和底面可以根据需要变换，四面体的每一个面都可以作为底面，可以用来求点到面的距离,问题:锥体,(棱锥、圆锥）,的体积,44,定理如果一个锥体（棱锥、圆锥）的底面,积是，高是，那么它的体积是：,推论：如果圆锥的底面半径是,，高是,，,那么它的体积是：,h,S,S,锥体,圆锥,S,h,s,s,/,s,s,/,h,x,四.台体的体积,V,台体,=,上下底面积分别是s,/,s,高是h，则,推论：如果圆台的上,下底面半径是r,1,.r,2,高是,，那么它的体积是：,圆台,h,五.柱体、锥体、台体的体积公式之间有什么关系？,S,为底面面积，,h,为柱体高,S,分别为上、下,底面面积，,h,为台体高,S,为底面面积，,h,为锥体高,上底扩大,上底缩小,(1),长方体的体积,V,长方体,abc,.,(,其中,a,、,b,、,c,为长、宽、高，,S,为底面积，,h,为高,),(2),柱体,(,圆柱和棱柱,),的体积,V,柱体,Sh,.,其中，,V,圆柱,r,2,h,(,其中,r,为底面半径,),Sh,知识点二柱、锥、台、球的体积,(3),锥体,(,圆锥和棱锥,),的体积,V,锥体,Sh,.,其中,V,圆锥,，,r,为底面半径,13,r,2,h,(4),台体的体积公式,V,台,h,(,S,S,),注：,h,为台体的高，,S,和,S,分别为上下两个底面的面积,其中,V,圆台,注：,h,为台体的高，,r,、,r,分别为上、下两底的半径,(5),球的体积,V,球,.,13,h,(,r,2,rr,r,2,),13,R,3,例从一个正方体中，如图那样截去,4,个三棱锥后，得到一个正三棱锥,A,BCD,，求它的体积是正方体体积的几分之几？,52,1,求空间几何体的体积除利用公式法外，还常用分割法、补体法、转化法等，它们是解决一些不规则几何体体积计算问题的常用方法,几何体的体积小结,2,计算柱体、锥体、台体的体积关键是根据条件找出相应的底面面积和高，要充分利用多面体的截面及旋转体的轴截面，将空间问题转化为平面问题,R,R,球的体积,：,一个半径和高都等于R的圆柱，挖去一个,以上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥,后，所得的几何体的体积与一个半径为R的,半球的体积相等。,探究,54,R,R,55,第一步：分割,O,球面被分割成,n,个网格，,表面积分别为：,则球的表面积,：,则球的体积为：,设,“,小锥体,”,的体积,为：,O,知识点三、球的表面积和体积,（,56,O,第二步：求近似和,O,由第一步得,：,57,第三步：转化为球的表面积,如果网格分的越细,则,:,由 得,:,球的体积,:,的值就趋向于球的半径,R,O,“,小锥体,”,就越接近小棱锥。,58,设球的半径为,R,，则球的体积公式为,V,球,.,43,R,3,例,1,(2009,年高考上海卷,),若球,O,1,、,O,2,表面积之比,4,，则它们的半径之比,_.,(1),若球的表面积变为原来的,2,倍,则半径变为原来的,倍。,(2),若球半径变为原来的,2,倍，则表面积变为原来的,倍。,(3),若两球表面积之比为,1:2,，则其体积之比是,。,(4),若两球体积之比是,1:2,，则其表面积之比是,。,例,2,：,60,例,3.,如图，正方体,ABCD-A,1,B,1,C,1,D,1,的棱长为,a,它的各个顶点都在球,O,的球面上，问球,O,的表面积。,A,B,C,D,D,1,C,1,B,1,A,1,O,A,B,C,D,D,1,C,1,B,1,A,1,O,分析：正方体内接于球，则由球和正方体都是中心对称图形可知，它们中心重合，则正方体对角线与球的直径相等。,略解,：,变题,1.,如果球,O,和这个正方体的六个面都相切，则有,S=,。,变题,2.,如果球,O,和这个正方体的各条棱都相切，则有,S=,。,关键,：,找正方体的棱长,a,与球半径,R,之间的关系,61,O,A,B,C,例,4,已知过球面上三点,A,、,B,、,C,的截面到球心,O,的距离等于球半径的一半，且,AB=BC=CA=,cm,，求球的体积，表面积,解：如图，设球,O,半径为,R,，,截面,O,的半径为,r,，,62,例,5,、有三个球,一球切于正方体的各面,一球切于正方体的各侧棱,一球过正方体的各顶点,求这三个球的体积之比,.,作轴截面,63,规律方法总结,1,直棱柱的侧面展开图是一些矩形，正棱锥的侧面展开图是一些全等的等腰三角形，正棱台的侧面展开图是一些全等的等腰梯形,2,斜棱柱的侧面积等于它的直截面,(,垂直于侧棱并与每条侧棱都相交的截面,),的周长与侧棱长的乘积,3,如果直棱柱的底面周长是,c,，高是,h,，那么它的侧面积是,S,直棱柱侧,ch,.,4,应注意各个公式的推导过程，不要死记硬背公式本身，要熟悉柱体中的矩形、锥体中的直角三角形、台体中的直角梯形等特征图形在公式推导中的作用,规律方法总结,5,如果不是正棱柱、正棱锥、正棱台，在求其侧面积或全面积时，应对每一个侧面的面积分别求解后再相加,6,求球的体积和表面积的关键是求出球的半径反之，若已知球的表面积或体积，那么就可以得出其半径的大小,7,计算组合体的体积时，首先要弄清楚它是由哪些基本几何体构成，然后再通过轴截面分析和解决问题,8,计算圆柱、圆锥、圆台的体积时，关键是根据条件找出相应的底面面积和高，应注意充分利用多面体的截面和旋转体的轴截面，将空间问题转化为平面问题求解,题型一 几何体的展开与折叠,有一根长为3 cm，底面半径为1 cm的,圆柱形铁管，用一段铁丝在铁管上缠绕2圈，并,使铁丝的两个端点落在圆柱的同一母线的两端,则铁丝的最短长度为多少？,把圆柱沿这条母线展开，将问题转,化为平面上两点间的最短距离.,题型分类 深度剖析,66,解,把圆柱侧面及缠绕其上,的铁丝展开，在平面上得到,矩形,ABCD,（如图所示），,由题意知,BC,=3 cm，,AB,=4 cm，点,A,与点,C,分别是铁丝的起、止位,置，故线段,AC,的长度即为铁丝的最短长度.,故铁丝的最短长度为5 cm.,67,求立体图形表面上两点的最短距离,问题，是立体几何中的一个重要题型.这类题目的,特点是：立体图形的性质和数量关系分散在立体,图形的几个平面上或旋转体的侧面上.为了便于发,现它们图形间性质与数量上的相互关系，必须将,图中的某些平面旋转到同一平面上，或者将曲面,展开为平面，使问题得到解决.其基本步骤是：展,开（有时全部展开，有时部分展开）为平面图形，,找出表示最短距离的线段，再计算此线段的长.,68,题型二 旋转体的表面积及其体积,如图所示,半径为,R,的半圆内的,阴影部分以直径,AB,所在直线为轴,旋,转一周得到一几何体,求该几何体的,表面积(其中,BAC,=30)及其体积.,先分析阴影部分旋转后形成几何体的,形状,再求表面积.,69,解,如图所示,过,C,作,CO,1,AB,于,O,1,在半圆中可得,BCA,=90,BAC,=30,AB,=2,R,AC,=,BC,=,R,S,球,=4,R,2,70,解决这类题的关键是弄清楚旋转后所,形成的图形的形状，再将图形进行合理的分割，,然后利用有关公式进行计算.,71,知能迁移2,已知球的半径为,R,，在球内作一个内,接圆柱，这个圆柱底面半径与高为何值时，它,的侧面积最大？侧面积的最大值是多少？,解,如图为轴截面.,设圆柱的高为,h,，底面半径为,r,，,侧面积为,S,，则,72,知能迁移2,已知球的半径为,R,，在球内作一个内,接圆柱，这个圆柱底面半径与高为何值时，它,的侧面积最大？侧面积的最大值是多少？,解,如图为轴截面.,设圆柱的高为,h,，底面半径为,r,，,侧面积为,S,，则,73,题型三 多面体的表面积及其体积,一个正三棱锥的底面边长为6，侧棱长,为 ，求这个三棱锥的体积.,本题为求棱锥的体积问题.已知底面,边长和侧棱长，可先求出三棱锥的底面面积,和高，再根据体积公式求出其体积.,解,如图所示，,正三棱锥,S,ABC,.,设,H,为正,ABC,的中心，,连接,SH,，,则,SH,的长即为该正三棱锥的高.,74,连接,AH,并延长交,BC,于,E,，,则,E,为,BC,的中点，且,AH,BC,.,ABC,是边长为6的正三角形，,75,求锥体的体积，要选择适当的底面和,高，然后应用公式 进行计算即可.常用方,法：割补法和等积变换法.,（1）割补法：求一个几何体的体积可以将这个几,何体分割成几个柱体、锥体，分别求出锥体和柱,体的体积，从而得出几何体的体积.,（2）等积变换法：利用三棱锥的任一个面可作为,三棱锥的底面.求体积时，可选择容易计算的方,式来计算；利用“等积性”可求“点到面的,距离”.,76,题型四 组合体的表面积及其体积,(12分)如图所示,在等腰梯形,ABCD,中,AB,=2,DC,=2，,DAB,=60，,E,为,AB,的中点，,将,ADE,与,BEC,分别沿,ED,、,EC,向上折起，,使,A,、,B,重合,求形成的三棱锥的外接球的体积.,易知折叠成的几何体是棱长为1的正,四面体，要求外接球的体积只要求出外接球的,半径即可.,解,由已知条件知，平面图形中,AE,=,EB,=,BC,=,CD,=,DA,=,DE,=,EC,=1.,折叠后得到一个正四面体.2分,77,方法一,作,AF,平面,DEC,，垂足为,F,，,F,即为,DEC,的中心.,取,EC,的中点,G,，连接,DG,、,AG,，,过球心,O,作,OH,平面,AEC,.,则垂足,H,为,AEC,的中心.4分,外接球半径可利用,OHA,GFA,求得.,在,AFG,和,AHO,中，根据三角形相似可知，,6分,10分,12分,78,方法二,如图所示，把正四面体放在正,方体中.显然，正四面体的外接球就,是正方体的外接球.3分,正四面体的棱长为1，,正方体的棱长为 ，6分,9分,12分,79,方法与技巧,1.对于基本概念和能用公式直接求出棱柱、棱,锥、棱台与球的表面积的问题，要结合它们的,结构特点与平面几何知识来解决.,2.要注意将空间问题转化为平面问题.,3.当给出的几何体比较复杂，有关的计算公式无,法运用，或者虽然几何体并不复杂，但条件中,的已知元素彼此离散时,我们可采用“割”、,“补”的技巧，化复杂几何体为简单几何体,（柱、锥、台），或化离散为集中，给解题提供,便利.,思想方法 感悟提高,80,（1）几何体的“分割”,几何体的分割即将已知的几何体按照结论的要,求,分割成若干个易求体积的几何体,进而求之.,(2)几何体的“补形”,与分割一样，有时为了计算方便，可将几何体补,成易求体积的几何体，如长方体、正方体等.另外,补台成锥是常见的解决台体侧面积与体积的方法,由台体的定义，我们在有些情况下，可以将台体,补成锥体研究体积.,（3）有关柱、锥、台、球的面积和体积的计算，,应以公式为基础，充分利用几何体中的直角三角,形、直角梯形求有关的几何元素.,81,失误与防范,1.将几何体展开为平面图形时,要注意在何处剪,开，多面体要选择一条棱剪开，旋转体要沿一,条母线剪开.,2.与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是,外接.解题时要认真分析图形，明确切点和接点,的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出,合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正,方体各个面的中心,正方体的棱长等于球的直,径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面,上，正方体的体对角线长等于球的直径.球与,旋转体的组合，通常作它们的轴截面进行解题,球与多面体的组合，通过多面体的一条侧棱和,球心，或“切点”、“接点”作出截面图.,82,