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第一章 集合与简易逻辑典型例题解析
例1 以下说法中正确的个数有（    ）
　　① 表示同一个集合
　　② 与 表示同一个集合；
　　③空集是唯一的；
　　④ 与 ，则集合 。
　　A﹒3个   B﹒2个    C﹒1个   D﹒0个
解：①集合M表示由点（1，2）组成的单点集，集合N表示点（2，1）组成的单点集。
　　②由集合元素无序性可知M，N表示同一个集合。
　　③由 且 （其中 、 均为空集）由集合相等定义可知 即证明空集唯一性。
　　④对于要认识一个集合，应从以下方面入手①判断集合元素是什么；②元素有何属性（如表示数集，点集等），表示集合时与代表元素采用的字母无关。而④中的集合都表示大于等于1的实数组成的集合，故相等，选A。
例2 若集合：
　　 ， ，则M，N，P的关系是（    ）
　　A﹒          B﹒  
　　C﹒          D﹒
　　解 对集合
　　　对集合
　　对于
　　∴ ，故选B。
例3  设全集 ， ， ，判断 与 之间的关系．
　　解：∵
　　∴
　　∵
　　∴
　　∴
例4. 如图所示，I是全集，M、P、S是I的3个子集，则阴影部分所表示的集合是（      ）

A﹒            B﹒
C﹒ IS          D﹒ IS
　　解 此阴影部分是属于M且属于P，即 。但又不属于S集，
所以为 IS，故选C。
例5  解不等式 ．
　　点拨一  这是一个含有两个绝对值的符号的不等式，为了使其转化为解不含绝对值符号的不等式，要进行分类讨论．
　　解法一 　由代数式 ， 知，－2，1把实数集分为三个区间： ， ， ．
　　当 时，原不等式变为 ，即 ；
　　当 时，原不等式变为 ，即 ；
　　当 时，原不等式变为 ，即 ．
　　综上，知原不等式的解集为 ．
　　点评  解这类绝对值符号里是一次式的不等式，其一般步骤是：
　　（1）令每个绝对值符号里的一次式为零，求出相应的根；
　　（2）把这些根由小到大排序并把实数集分为若干个区间；
　　（3）由所分区间去掉绝对值符号组成若干个不等式，解这些不等式，求出它们的解集；
　　（4）这些不等式的解集的并集就是原不等式的解集．

　　点拨二  不等式 的几何意义是表示数轴上与 及B（1）两点距离之和小于4的点．而A，B两点距离为3，因此线段AB上每一点到A，B的距离之和都等于3．如下图，要找到与A，B的距离这和为4的点，问题就迎刃而解了．

　　解法二  如上图，要找到与A，B距离之和为4的点，只需由点B向右移动 个单位，这时距离之和增加1个单位，即移到点 ．或由点A向左移动 个单位，即移到点 ．
　　可以看出，数轴上点 向左的点或者 向右的点到A，B两点的距离之和均小于4．
　　所以，原不等式的解集为 ．
　　点拨三  从函数的角度思考，可分别画出函数 和 的图象．观察即得．
解法三  如右图．

．
　　不难看出，要使 ，只须 ．
　　所以，原不等式的解集为 ．
　　点评  对于解法一，要孰记 或 两种类型的解法，关键是正确分类并转化为不含绝对值的不等式；对于解法二，要搞清它的几何意义是什么，并注意结论是否包括端点；对于解法三，关键是正确画出两个函数的图象，并准确写出它们交点的坐标．三种方法都比较直观、简捷，不同程度体现了分类讨论、函数与方程、数形结合等数学思想方法，各有千秋，都是我们应该熟练掌握的解题通性通法．
例6 解不等式 ．
　　解法一 原不等式等价于
（Ⅰ）
或（Ⅱ）
解（Ⅰ），得 ，或 ．解（Ⅱ），得解集为空集．
所以，原不等式的解集为 ．
　　解法二  原不等式等价于
　　 （Ⅰ），或 （Ⅱ）．
　　解（Ⅰ），得  ，或  ．解（Ⅱ），得解集为空集．
　　所以，原不等式的解集为 ．
　　点评  比较两种解法可以看出，第二种解法比较简便．在第二种解法中，用到了下列关系：
　　若 ，则 等价于 ，或 ．
　　解法三  在直角坐标系中分别画出 ， ， ．
　　如图，不难看出，要使 ，只须 ，或 ．
　　所以，原不等式的解集为 ．

例7 解不等式 （ 为参数）
　　分析 这是一个含有字母的一元二次不等式，在解题时要注意对字母的讨论．
　　解：原不等式可化为
　　若 ，则 ，即 ，原不等式的解集为 ；
　　若 ，即 或 ，则原不等式的解集为 ；
　　若 ，即 或 ，则原不等式的解集为
　　因此，当 时，原不等式的解集为 ；当 或 时，原不等式的解集为
    说明：此题是带字母问题，要涉及到分类讨论问题。讨论中又涉及到解二次不等式，所用到的知识比较多，条理也要求必须清楚，才能正确解决此题．
例8 不等式 的解是全体实数，求实数 的取值范围。
　　分析：此题应就所给不等式是一次还是二次进行分类讨论，针对二次的情形应结合二次函数的图象，知此时应有 且 ，特别要强调此时 。
　　解：若 ，不等式为 ，其解集为
　　若 ，不等式为 ，其解集显然不是全体实数，故 不符合条件。
　　若 ，不等式为二次不等式，有

解得

即
　　综上得，
　　说明：解含有字母的一元二次不等式要根据字母范围进行讨论，当二次系数含有字母时，应首先考虑其值是否为零。
例8 已知 ，且 ，（ ），求实数P的取值范围。
　　解：由 知，关于 的二次方程 无正根。
　　（1）若方程无实根：
，得 ；
　　（2）若方程有实根 ， ，但无正根；此时由 ，得 或 ，而由韦达定理

　　由 知两根均为正或均为负，由条件显然须 ， ，于是 ，
∴
　　因此
　　由上述的（1），（2）得 的取值范围是
　　注：要注意 的可能性，否则会“缩小”解的范围，特别对于 的存在，初学者往往容易忽略。
例9 解关于 的不等式：
　　分析：由于字母系数 的影响，不等式可以是一次的，也可以是二次的，在二次的情况下，二次项系数 可正、可负，且对应二次方程的两个根2， 的大小也受 的影响，这些都应予以考虑。
　　解：当 时，原不等式化为 ，其解集为
　　当 时，有 ，原不等式化为 ，其解集为
　　当 时， 。原不等式化为 ，其解集是
　　当 时，原不等式化为 ，其解集是
　　当 时，原不等式化为 ，其解集是
说明 对于二次项系数含有字母的不等式，一定要注意对二次项系数讨论，分为一元一次不等式和一元二次不等式两种情况．
　　例10 分别指出下列复合命题的形式及构成它的简单命题，并判断它们的真假．
　　（1）三个角相等的三角形不是直角三角形；
　　（2） 的元素既是 的元素又是 的元素；
　　（3）若 是 的元素或 是 的元素，则 是 的元素；
　　（4）两条对角线垂直的平行四边形是菱形或正方形；
　　（5） 不是方程 的解．
　　解：（1）这个命题是“非 ”的形式，其中 ：三个角相等的三角形是直角三角形．
　　因为 是假命题，所以这个命题是真命题．
　　（2）这个命题是“ 且 ”的形式，其中 ： 的元素是 的元素， ： 的元素是 的元素．
　　因为 、 都是真命题，所以这个命题是真命题．
　　（3）这个命题是“ 或 ”的形式，其中 ：若 是 的元素，则 是 的元素， ：若 是 的元素，则 是 的元素．
　　因为 、 都是真命题，所以这个命题是真命题．
　　（4）这个命题是“ 或 ”的形式，其中　 ：两条对角线垂直的平行四边形是菱形，
　　 ：两条对角线垂直的平行四边形是正方形．　因为 是真命题， 是假命题，所以这个命题是真命题．
　　（5）这个命题是“非 ”的形式，其中　 ： 是方程 的解．
　　因为 是真命题，所以这个命题是假命题．
例11  （1） 和 都是简单命题，那么下列结论正确的是（      ）．
　　A． 真，则“ 且 ”一定真          B． 假，则“ 且 ”不一定假
　　C．“ 且 ”真 一定真                D．“ 且 ”假，一定假
　　（2）命题“ 且 ”与命题“ 或 ”都是假命题，那么下列结论正确的是（     ）．
　　A．命题“非 ”与命题“非 ”其值不同；
　　B．命题“非 ”与命题“非 ”至少有一个为假命题；
　　C．命题“非 且非 ”是真命题；
　　D．命题 与命题“非 ”真值相同．
　　（3）若命题“ 或 ”与命题“ 且 ”都是真命题，那么下列四个结论中正确的个数是（     ）．
　　①命题 一定是真命题；         ②命题 不一定是真命题；
　　③命题 不一定是真命题；       ④命题 与 的真值相同．
　　A．1        B．2        C．3        D．4
　　分析  由真值表知：
　　（1）“非 ”形式复合命题的真假与 的真假相反；
　　（2）“ 或 ”形式复合命题当 与 同为假时为假，其他情况均为真；
　　（3）“ 且 ”形式复合命题当 与 同为真时为真，其他情况均为假．
解：（1）选（C）；（2）选（C）；（3）只有①、④正确．选（B）．
　例12 把下列命题改写成“ 则 ”的形式，并写出它们的逆命题、否命题与逆否命题：
　　（1）两条平行线不相交．（2）正数的算术平方根是正数．
　　分析：重点找出原命题的条件 与结论 ．
　　解：（1）原命题可写成：若两条直线平行，则两直线不相交；
　　逆命题：若两条直线不相交，则两直线平行；
　　否命题：若两直线不平行，则两直线必相交；
　　逆否命题：若两直线相交，则两直线不平行．
　　（2）原命题：若一个数是正数，则它的算术平方根是正数；
　　逆命题：若一个数的算术平方根是正数，则它是正数；
　　否命题：若一个数不是正数，则它的算术平方根不是正数；
　　逆否命题：若一个数的算术平方根不是正数，则它不是正数．
例13 判断下列命题的真假，并写出它的逆命题，否命题，逆否命题．同时，也判断这些命题的真假．
　　（1）若 ，则 或 ．
　　（2）若 ，则 ．
　　（3）若在二次函数 中 ，则该二次函数图像与 轴有公共点．
　　解：（1）该命题为真．
　　逆命题：若 或 ，则 ．为假．
　　否命题：若 ，则 ， ，为假．
　　逆否命题：若 ， ，则 ．为真．
　　（2）该命题为假．
　　逆命题：若 ，则 ．为真．
　　否命题：若 ，则 ．为真．
　　逆否命题：若 ，则 ．为假．
　　（3）该命题为假．
　　逆命题：若二次函数 的图像与 轴有公共点，则 ．为假．
　　否命题：若二次函数 中， ，则该二次函数图象与 轴没有公共点．为假．
　　逆否命题：若二次函数 的图像与 轴没有公共点，则 ．为假．
　　评注：（1）写出一个命题的逆命题、否命题及逆否命题的关键是正确找出原命题的条件和结论，然后依照定义来写．
　　（2）在判断原命题及其逆命题、否命题以及逆否命题的真假时，要应用“原命题与其逆否命题同真或同假；逆命题与否命题同真或同假”来判定．
例14 当 时，如果 ，那么 ．写出它们的逆命题、否命题、逆否命题，并分别判断它们的真假．
　　分析： 是原命题的大前提，故在给出其它三个命题时， 仍是它们的大前提．
　　解：逆命题：“当 时，若 ，则 ．”由 得 ，由 得 ，故 的分子可以是负数，即 不成立，即逆命题为假．
　　否命题：“当 时，若 ，那么 ．”由 得 ，由 得 ，即 ．因此， 不能成立，否命题也为假．
　　事实上，逆命题与否命题互为逆否命题，它们是等价命题，即它们同真、同假．
　　逆否命题：“当 时，如果 ，那么 ．”此命题为真．
　　由于 ，当 时， ，故 的分子为负，分母为正，即 ．
　　注：例题中，由于原命题的逆否命题为真，故原命题亦为真．“ ”是上述几个命题的大前提．
例15 已知三个关于 的方程： ， ， 中至少有一个方程有实数根，求实数 的取值范围．
　　点拨   这类求参数取值范围的问题，直接求需分类讨论，很繁冗．若用反证法的思想和补集的思想求解，就一目了然．
　　解  设三个关于 的方程均无实数根，则

　　解①，得   ；
　　解②，得   ，或 ；
　　解③，得    ．
　　取①，②，③的交集，即不等式组的解集为
　                         ．
　　则使三个方程中至少有一个方程有实根的实数 的取值范围应为 ，即
　                          ．
例16 已知关于 的一元二次方程（ ）
                      ①
             ②
　　求方程①和②的根都是整数的充要条件。
　　解  方程①有实数根的充要条件是 ，解得 ；
　　方程②有实数根的充要条件是 ，解得 。
　　所以 。而 ，得 ，或 ，或 。
　　当 时，方程①为 ，无整数根；
　　当 时，方程②为 ，无整数根；
　　当 时，方程①为 ，方程②为 ，①和②的根都是整数。
　　从而，①和②的根都是整数 ；反之， ①和②的根都是整数。
　　所以方程①和②的根都是整数的充要条件是 。
例17 若甲是乙的充分条件，乙是丙的充要条件，丙是丁的必要条件，丁是乙的必要条件，问甲是丙的什么条件？乙是丁的什么条件？
　　解：由题意，分析如下图所示。

　　根据图示得：甲是丙的充分条件，乙是丁的充要条件．
常见错误及分析：
　　错解1：由图知，甲是丙的充分不必要条件，产生错误的原因是把“甲 乙”理解成了
　　错解2：判为“乙是丁的充分条件”．产生错误的原因是只看出“ ”，而没有根据推理“ ”得出“ ”．
　例18  已知 ： ； ： ．若 是 的必要而不充分条件，求实数 的取值范围．
　　点拨  可以有两个思路：
　　（1）先求出 和 ，然后根据 ， ，求得 的取值范围；
　　（2）若原命题为“若 ，则 ”，其逆否命题是“若 则 ”，由于它们是等价的，可以把求 是 的必要而不充分条件等价转换为求 是 的充分而不必要条件．
　　解法一  求出 ： 或 ，
　　　　　           ： 或 ．
　　由 是 的必要而不充分条件，知B A，它等价于

　　同样解得 的取值范围是 ．
　　解法二  根据思路二， 是 的必要而不充分条件，等价于 是 的充分而不必要条件．设
　　 ： ；
　　 ： ；
　　所以，A B，它等价于

　　同样解得 的取值范围是 ．