平行线、角平分线联手演绎等角对等边.doc

平行线、角平分线联手演绎等角对等边
平行线、角平分线联手作为条件，能解决许多问题。
二者联手演绎等角对等边，就是一个典型。
例1、如图1所示，BE是∠ABC的角平分线，点D是边BA上的一点，DF∥BC,交BE于点F, 请你猜一猜BD与DF有怎样的大小关系？证明你的猜想。
解：
猜想：BD=DF；
证明：
因为，BE是∠ABC的角平分线，
所以，∠ABF=∠CBF,
因为，DF∥BC,
所以，∠DFB=∠CBF,
所以，∠DFB=∠ABF
所以，BD=DF(等角对等边)
例2 如图2所示，BF是△ABC的角平分线，过点F作DF∥BC,交BA于点D,
请你猜一猜BD与DF有怎样的大小关系？证明你的猜想。
解：
猜想：BD=DF；
证明：
因为，BF是∠ABC的角平分线，
所以，∠ABF=∠CBF,
因为，DF∥BC,
所以，∠DFB=∠CBF,
所以，∠DFB=∠ABF
所以，BD=DF(等角对等边)
例3、如图3所示，BF、CF是△ABC的角平分线，过点F作DF∥BC,交BA于点D, 交BC于点E,
请你猜一猜DE与BD、CE之间有怎样的大小关系？证明你的猜想。
分析：
利用原题的结论，不难得到：BD=DF,CE=EF,
而DE=DF+EF,
所以，DE=BD+CE.

解：
猜想：DE=BD+CE.
证明：
因为，BF是∠ABC的角平分线，
所以，∠ABF=∠CBF,
因为，DF∥BC,
所以，∠DFB=∠CBF,
所以，∠DFB=∠ABF
所以，BD=DF(等角对等边)
同理可得：EF=CE,
因为，DE=DF+EF,
所以，DE=BD+CE.
例4、 如图4所示，BD是∠ABC的角平分线，AD∥BC,那么，△ABD是等腰三角形吗？为什么？证明你的猜想。
分析：根据我们对原题的剖析和结论，
应该比较容易得到：AB=AD，
根据等腰三角形的定义，知道△ABD是等腰三角形。
证明的过程读者可以自己完成。

例5、如图5所示，BE是∠ABC的角平分线，点D是边BA上的一点，DF∥BC,交BE于点F, 如果∠ABC=60°，BF=6cm，求:三角形BDF的面积。

解：
因为，BE是∠ABC的角平分线，
所以，∠ABF=∠CBF,
因为，DF∥BC,
所以，∠DFB=∠CBF,
所以，∠DFB=∠ABF
所以，BD=DF(等角对等边)，
所以，△BDF是等腰三角形,
如图6，过点D作DG⊥BF，垂足为G，
根据等腰三角形三线合一的性质，得：BG=GF,
因为，BF=6cm，所以，BG=GF=3cm,
因为，∠ABC=60°，所以，∠DBF=30°，
在直角三角形BDG中，设DG=xcm，则BD=2xcm，
根据勾股定理，得：（2x）2-x2=32=9，
解得，x=，
所以，三角形BDF的面积为：=3（cm）2。
例6、如图7所示，点P是∠AOB的角平分线上的一点，过点P作PC∥OA,交OB于点C,如果∠AOB=60°，OC=4cm，点P到OA的距离PD为 。
分析：因为OP平分∠AOB，∠AOB=60°，
所以，∠AOP =∠POB =30°，
因为，PC∥OA,得：
∠AOP =∠OPC =30°，
所以，PC=OC=4，
∠PCB=∠POB +∠OPC =60°，
点P是∠AOB的角平分线上的一点，PD⊥OA，
过点P作PE⊥OB，则PE=PD,
在直角三角形PCE中，
∠PCE=60°，所以，∠CPE=30°，
所以，CE==2,
根据勾股定理得：PE=2,
所以，点P到OA的距离PD为2。