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与圆的角度有关的中考探究题
在今年的中考试题中，出现一些与圆的角度有关的探究性试题，求解此类题应善于抓住图形在变化时的不变量去探究，现以几道中考试题为例予以说明．
例1、（大连市）如图1—1、1—2、1—3、…、1—4分别是⊙O的内接三角形ABC，正四边形ABCD，正五边形ABCDE、…、正n边形ABCD…，点M、N分别从B、C开始以相同的速度在⊙O上逆时针运动．
（1）求图1—1中∠APN的度数；
（2）求图1—2中，∠APN的度数是 ，求图1—3中∠APN的度数是 ．
（3）试探索∠APN的度数与多边形n的关系(直接写出答案)

解析：本题的几个图有一个共同的规律：即在各图中都有：∠APN=∠BAM+∠ABN，这是求解本题的突破口，由题意可得在各图中都有，则这两个弧的度数也相等，又因在各图中的度数，∠ABN的度数等于该角所对弧的度数的一半，由此可得在各图中的度数+∠ABN所对弧的度数的一半=∠ABC，即在各图中∠APN都等于它所在的圆中内接正多边形的内角的度数．这样便可求得（1）中∠APN=60°，（2）中∠APN=90°，（3）中∠APN=．
例2、（威海市）已知：如图1，在⊙O中，弦AB＝2，CD＝1，AD⊥BD．直线AD，BC相交于点E．
（1）求∠E的度数；
（2）如果点C，D在⊙O上运动，且保持弦CD的长度不变，那么，直线AD，BC相交所成锐角的大小是否改变? 试就以下三种情况进行探究，并说明理由（图形未画完整，请你根据需要补全）．
① 如图2，弦AB与弦CD交于点F；
② 如图3，弦AB与弦CD不相交；
③ 如图4，点B与点C重合．

A
B
C
D
E
O
例2图1

A
B(C)
D
O
例2图4

B
C
D
A
O
例2图2
F

解析：由AB＝2，CD＝1可得：弧DC的度数为60°，在图1中因∠ADB=∠E+∠DBC=∠E+×弧DC的度数，即∠E=（弧AB的度数－弧DC的度数）=60°，同样图2中也有这样的规律，可借助图2的补全图参考上面的证法去证明．在图3中，因∠APC=（弧BD的度数+弧AC的度数）=（弧AB的度数－弧CD的度数）=60°，即在图3中同样存在上面的规律，由图2可以看出，当线段BC的长度在此基础上逐渐减小时，AB和BC的夹角逐渐增大，直至B、C重合时，过点B的直线和AB的夹角为90°，见图4补全图，当点C在此基础上继续沿逆时针向上运动时，直线AB、BC的夹角又逐渐减小．这样便可得在图4的补全图中也存在：∠APC=（弧AB的度数－弧DC的度数）=60°的规律．