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创新方案高考数学复习人教新课标对数函数高中数学
一、知识点回顾
1. 对数函数的概念和性质
对数函数 y=loga x 的定义：当 a>0 且 a≠1 时，由 x=a^y 得来的函数 y=logax，其中 x>0。
性质：
（1）定义域为 (0,+∞)，值域为 R。
（2）对于 a>1，随着 x 的增大，y 增大；对于 0<a<1，随着 x 的增大，y 减小。
（3）对于任意正数 a，有 loga 1=0，loga a=1。
（4）对于任意正数 a，b，c，有以下公式：
loga(bc)＝loga b＋loga c
loga(b/c)＝loga b－loga c
loga(b^c)＝c×loga b
2. 对数函数的图像
当底数 a 和 x 的取值范围确定时，对数函数 y=loga x 的图像和指数函数 y=a^x 的图像互为镜像。
如果底数 a>1，则 y=loga x 的图像为增函数，易知 y=loga x 的图像经过 (1,0)。
如果底数 0<a<1，则 y=loga x 的图像为减函数，易知 y=loga x 的图像经过 (1,0)。
3. 指数函数和对数函数之间的关系
若 y=loga x，则 x=a^y。
若 y=a^x，则 x=loga y。
二、创新方案
1. 利用对数函数性质求解实际问题
对数函数的性质可以应用到实际问题的求解中，例如生物学领域中的指数增长模型：
已知某种细菌数量的增长速率是一定的，每 10 小时数量增加一倍，初始数量为 1000。问 20 小时后数量为多少？
解：假设细菌数量为 y，则有 y=1000×2^(t/10)。当 t=20 时，可得到 y=1000×2^(20/10)=1000×2^2=4000。因此，在 20 小时后细菌数量为 4000。
2. 对数函数的优化模型
利用对数函数的特点，可以对一些优化问题进行建模和求解。例如，某城市每台机器每小时可处理 50 件商品，现有 50 台机器，某天需要处理 50000 件商品，问最少要用几个小时？
解：设所需的小时数为 x，则可得出处理商品的式子：50000=50×50x，即 x=log50 100。因此，需要使用约为 1.66 小时，即 1 小时 40 分钟的时间。
3. 对数函数与指数函数的综合应用
在实际问题中，常常需要用到对数函数和指数函数的综合应用情况。例如，在物理上，放射性元素的衰变模型：
已知某种元素的衰变速率是一定的，半衰期为 30 天，初始数目为 10000，问经过 90 天后还剩下多少？
解：假设元素的数量为 y，则有 y=10000×(1/2)^(t/30)。当 t=90 时，可得到 y=10000×(1/2)^(90/30)=10000×(1/2)^3=10000/8=1250。因此，在经过 90 天后，还剩下 1250 个元素。
三、总结
对数函数是高中数学中的一个重要知识点，它具有许多的性质和应用。学生在复习对数函数时，应该牢记其定义和常见的三个公式，同时注意对数函数的图像、指数函数和对数函数之间的关系以及对数函数的应用。掌握对数函数的基本知识点，可以更好地解决实际问题，同时提高解决问题的能力和思维能力。