高中数学数列题目精编 (2).doc

高中数学数列题目精选精编
【典型例题】
（一）研究等差等比数列的有关性质
1. 研究通项的性质
例题1. 已知数列满足.
（1）求；
（2）证明：.
解：（1）.
（2）证明：由已知，故
， 所以证得.

例题2. 数列的前项和记为
（Ⅰ）求的通项公式；
（Ⅱ）等差数列的各项为正，其前项和为，且，又成等比数列，求.
解：（Ⅰ）由可得，
两式相减得：，
又∴ 故是首项为1，公比为3的等比数列
∴
（Ⅱ）设的公比为，由得，可得，可得
故可设，又，
由题意可得，解得
∵等差数列的各项为正，∴ ∴
∴

例题3. 已知数列的前三项与数列的前三项对应相同，且
对任意的都成立，数列是等差数列.
⑴求数列与的通项公式；
⑵是否存在，使得，请说明理由.
点拨：（1）左边相当于是数列前n项和的形式，可以联想到已知求的方法，当时，.
（2）把看作一个函数，利用函数的思想方法来研究的取值情况.
解：（1）已知…）①
时，…）②
①－②得，，求得，
在①中令，可得得，
所以N*）.
由题意，，，所以，，
∴数列的公差为，
∴，

）.
（2），
当时，单调递增，且，
所以时，，
又，
所以，不存在，使得.

例题4. 设各项均为正数的数列{an}和{bn}满足：an、bn、an+1成等差数列，bn、an+1、bn+1成等比数列，且a1 = 1， b1 = 2 ， a2 = 3 ，求通项an，bn
解： 依题意得：
2bn+1 = an+1 + an+2 ①
a2n+1 = bnbn+1 ②
∵ an、bn为正数， 由②得，
代入①并同除以得： ，
∴ 为等差数列
∵ b1 = 2 ， a2 = 3 ， ，
∴ ，
∴当n≥2时，，
又a1 = 1，当n = 1时成立， ∴

2. 研究前n项和的性质
例题5. 已知等比数列的前项和为，且.
（1）求、的值及数列的通项公式；
（2）设，求数列的前项和.
解：（1）时，.而为等比数列，得，
又，得，从而.又.
（2），
） ，得，
.

例题6. 数列是首项为1000，公比为的等比数列，数列满足
，
（1）求数列的前项和的最大值；（2）求数列的前项和.
解：（1）由题意：，∴，∴数列是首项为3，公差为的等差数列，
∴，∴
由，得，∴数列的前项和的最大值为.
（2）由（1）当时，，当时，，
∴当时，
当时，

∴.

例题7. 已知递增的等比数列{}满足，且是，的等差中项.
（1）求{}的通项公式；（2）若，求使成立的的最小值.
解：（1）设等比数列的公比为q（q＞1），由
a1q+a1q2+a1q3=28，a1q+a1q3=2（a1q2+2），得：a1=2，q=2或a1=32，q=（舍）
∴an=2·2（n－1）=2n
（2） ∵，∴Sn=－（1·2+2·22+3·23+…+n·2n）
∴2Sn=－（1·22+2·23+…+n·2n+1），∴Sn=2+22+23+…+2n－n·2n+1=－（n－1）·2n+1－2，
若Sn+n ·2n+1＞30成立，则2n+1＞32，故n＞4，∴n的最小值为5.

例题8. 已知数列的前n项和为Sn，且成等差数列，. 函数.
（I）求数列的通项公式；
（II）设数列满足，记数列的前n项和为Tn，试比较
的大小.
解：（I）成等差数列，① 当时，②.
①－②得：，，
当n=1时，由①得， 又
是以1为首项3为公比的等比数列，
（II）∵，，
，

比较的大小，只需比较与312 的大小即可.

∵∴当时，
当时，
当时，.

3. 研究生成数列的性质
例题9. （I） 已知数列，其中，且数列为等比数列，求常数；
（II） 设、是公比不相等的两个等比数列，，证明数列不是等比数列.
解：（Ⅰ）因为{cn+1－pcn}是等比数列，故有
（cn+1－pcn）2=（ cn+2－pcn+1）（cn－pcn－1），
将cn=2n＋3n代入上式，得
[2n＋1+3n＋1－p（2n＋3n）]2
=[2n＋2+3n＋2－p（2n+1＋3n+1）]·[2n+3n－p（2n－1＋3n－1）]，
即[（2－p）2n+（3－p）3n]2
=[（2－p）2n+1+（3－p）3n+1][ （2－p）2n－1+（3－p）3n－1]，
整理得（2－p）（3－p）·2n·3n=0，
解得p=2或p=3.
（Ⅱ）设{an}、{bn}的公比分别为p、q，p≠q，cn=an+bn.
为证{cn}不是等比数列只需证≠c1·c3.
事实上，=（a1p＋b1q）2=p2＋q2＋2a1b1pq，
c1·c3=（a1＋b1）（a1 p2＋b1q2）= p2＋q2＋a1b1（p2＋q2）.
由于p≠q，p2＋q2>2pq，又a1、b1不为零，
因此c1·c3，故{cn}不是等比数列.

例题10. n2（ n≥4）个正数排成n行n列：其中每一行的数成等差数列，每一列的数成等比数列，并且所有公比相等已知a24=1，
求S=a11 + a22 + a33 + … + ann
解： 设数列{}的公差为d， 数列{}（i=1，2，3，…，n）的公比为q
则= a11 + （k－1）d ， akk = [a11 + （k－1）d]qk－1
依题意得：，解得：a11 = d = q = ±
又n2个数都是正数，
∴a11 = d = q = ， ∴akk =
，
，
两式相减得：

例题11. 已知函数的图象经过点和，记
（1）求数列的通项公式；
（2）设，若，求的最小值；
（3）求使不等式对一切均成立的最大实数.
解：（1）由题意得，解得，

（2）由（1）得， ①
② ①－②得
. ，
设，则由

得随的增大而减小
时，又恒成立，
（3）由题意得恒成立
记，则

是随的增大而增大
的最小值为，，即.

（二）证明等差与等比数列
1. 转化为等差等比数列.
例题12. 数列中，且满足，.
⑴求数列的通项公式；
⑵设，求；
⑶设=，是否存在最大的整数，使得对任意，均有成立？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
解：（1）由题意，，为等差数列，设公差为，
由题意得，.
（2）若，

时，

故
（3），

若对任意成立，即对任意成立，
的最小值是，的最大整数值是7.
即存在最大整数使对任意，均有

例题13. 已知等比数列与数列满足N*.
（1）判断是何种数列，并给出证明；
（2）若.
解：（1）设的公比为q，∵，∴。
所以是以为公差的等差数列.
（2）∵所以由等差数列性质可得
…

2. 由简单递推关系证明等差等比数列
例题14. 已知数列和满足：，，，（），
且是以为公比的等比数列.
（I）证明：；
（II）若，证明：数列是等比数列；
（III）求和：.
解法1：（I）证：由，有，.
（II）证：∵，
，，
.
是首项为5，公比为的等比数列.
（III）解：由（II）得，，于是

.
当时，.
当时，
.
故
解法2：（I）同解法1（I）.
（II）证： ，又，
是首项为5，公比为的等比数列.
（III）由解法1中（II）的类似方法得，
，
，.
∴.

例题15. 设数列
（1）证明：数列是等比数列；
（2）设数列的公比，数列满足，bn=f （bn－1）（n∈N*，n≥2），求数列的通项公式；
（3）设，，求数列的前n项和Ｔn.
（1）证明：由
相减得：∴数列是等比数列
（2）解：
是首项为，公差为1的等差数列，∴. .
（3）解：时
①
②
①－②得：
∴
所以：.

例题16. 的各个顶点分别为，设为线段的中点，为线段OC的中点，为线段的中点. 对每一个正整数为线段的中点. 令的坐标为，.

（1）求及；
（2）证明：
（3）记，证明：是等比数列.
（1）解：因为y1=y2=y4=1， y3=，y5=，所以 得a1=a2=a3=2.
又由，对任意的正整数n有
an+1====an
恒成立，且a1=2， 所以{an}为常数数列， an=2，（n为正整数）
（2）证明：根据， 及=an=2， 易证得yn+4=1－
（3）证明：因为bn+1==（1－）－（1－）=，
又由b1==1－y4=，
所以{bn}是首项为，公比为的等比数列.