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一、选择题
1．下列各点中，不在x＋y－1≤0表示的平面区域的是( )
A．(0,0) B．(－1,1)
C．(－1,3) D．(2，－3)
【解析】 ∵将x＝－1，y＝3代入x＋y－1
得－1＋3－1＝1>0，
故(－1,3)不在x＋y－1≤0表示的平面区域内．
【答案】 C
2．(2008年辽宁高考)已知变量x，y满足约束条件，则z＝2x＋y的最大值为( )
A．4 B．2
C．1 D．－4
【解析】 先作出约束条件满足的可行区域，由图形易得在点(1,0)处z＝2x＋y取得最大值2.
【答案】 B
3．(2009年汤阴模拟)已知点(x，y)在如图所示平面区域内运动(包含边界)，目标函数z＝kx－y.当且仅当x＝，y＝时，目标函数z取最小值，则实数k的取值范围是( )
【解析】 由题意可知，只需要目标函数y=kx-z的斜率比kAC大比kBC小即可．
【答案】 A
4．(2008年海南、宁夏高考)点P(x，y)在直线4x＋3y＝0上，且x，y满足－14≤x－y≤7，则点P到坐标原点距离的取值范围
是( )
A．[0,5] B．[0,10]
C．[5,10] D．[5,15]
【解析】
因x，y满足
-14≤x-y≤7，
则点P(x，y)在
所确定的区域内，
且原点也在这个区域内．
又点P(x，y)在直线4x+3y=0上，
解得A(-6,8)．解得B(3，-4)．
P到坐标原点的距离的最小值为0，
又|AO|=10，|BO|=5，
故最大值为10.∴其取值范围是[0,10]．
【答案】 B
5．如果点P在平面区域上，点Q在曲线
x2＋(y＋2)2＝1上，那么|PQ|的最小值
为( )
A.－1 B.－1
C．2－1 D.－1
【解析】
由图可知不等式组确定的区域为阴影部分包括边界，点P到Q的距离最小为到(0，-2)的最小值减去圆的半径1，由图可知
【答案】 A
二、填空题
6.
能表示图中阴影部分的二元一次不等式组是 .
【解析】 由阴影部分知
x≤0,0≤y≤1，
又2×0-0+2>0，
故2x-y+2≥0，
∴所求二元一次不等式组为 .
【答案】
7．若实数x，y满足，z＝3x＋2y，则z的取值范围是______．
【解析】
作出图象可知，此平面区域是以O(0,0)，A(0,1)，B为顶点的三角形内部(包括边界)，当x=0，y=0时，x+2y取得最小值0；当x=0，y=1时，x+2y取得最大值2.又因为指数函数y=3x在[0,2]上为增函数，故z=3x+2y的取值范围为[1,9]．
【答案】 [1,9]
8．若线性目标函数z＝x＋y在线性约束条件下取得最大值时的最优解只有一个，则实数a的取值范围是________．
【解析】 作出可行域如图：
由图可知直线y=-x与y=-x+3平行，若最大值只有一个，则直线y=a必须在直线y=2x与y=-x+3的交点(1,2)的下方，故a≤2.
【答案】 a≤2
三、解答题
9．(2009年黄冈模拟)某研究所计划利用“神七”宇宙飞船进行新产品搭载实验，计划搭载新产品A、B，该所要根据该产品的研制成本、产品重量、搭载实验费用和预计产生收益来决定具体安排，通过调查，有关数据如表：
产品A(件)
产品B(件)
研制成本与搭载
费用之和(万元/件)
20
30
计划最大资金额300万元
产品重量(千克/件)
10
5
最大搭载重量110千克
预计收益(万元/件)
80
60
试问：如何安排这两种产品的件数进行搭载，才能使总预计收益达到最大，最大收益是多少？
【解析】 设搭载产品Ax件，产品By件，
预计收益z＝80x＋60y.
则，作出可行域，如图
作出直线l0：4x+3y=0并平移，由图象得，当直线经过M点时z能取得最大值， ，
即M(9,4)．
所以zmax=80×9+60×4=960(万元)．
【答案】 搭载产品A 9件，产品B 4件，可使得总预计收益最大，为960万元．
10．已知实数x，y满足，
(1)若z＝2x＋y，求z的最大值和最小值；
(2)若z＝x2＋y2，求z的最大值和最小值
(3)若z＝，求z的最大值和最小值．
【解析】
不等式组
表示的平面区域如图阴影部分所示．
(1)∵z=2x+y，∴y=-2x+z，
当直线y=-2x+z经过可行域内点M(2,3)时，
直线在y轴上的截距最大，z也最大
此时zmax=2×2+3=7.
当直线y=-2x+z经过可行域内点A(1,2)时，
直线在y轴上的截距最小，z也最小
此时zmin=2×1+2=4.
所以z的最大值为7，最小值为4.
(2)过原点(0,0)作直线l垂直于直线x+y-3=0，垂足为N，则直线l的方程为y=x，
点在线段AB上，也在可行域内．
此时可行域内点M到原点的距离最大，点N到原点的距离最小．
所以，z的最大值为13，z的最小值为 .
所以z的最大值为2，z的最小值为. 高.考.资.源.网
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