数学建模竞赛论文.doc

论文正文
目 录

1. 问题的提出 2
2. 问题分析 2
2.1 简单指标法检测房地产价格合理性 2
2.2 房价未来走势 2
2.3 房价措施分析 2
3. 符号说明 3
4. 模型建立与求解 3
4.1. 房价合理性模型的建立和求解 3
4.1.1. 房价收入比计算模型 3
4.1.2. 我国房价收入比合理区间的分析模型 5
4.1.3. 房价增长率与GDP增长率之比 7
4.2. 房价预测模型 9
4.2.1. 模型建立 9
4.2.2. 模型验证 10
4.2.3. 模型求解 10
1) 北京市房价预测 10
2) 西安市房价预测 12
3) 绵阳市房价预测 13
4.2.1. 结果分析 14
4.3. 房价合理性措施建议及分析 15
5. 模型评价 16
6. 参考文献 16
7. 附录 16

1. 问题的提出
房价问题事关国计民生，对国家经济发展和社会稳定有重大影响，一直是各国政府大力关注的问题。我国自从取消福利分房制度以来，随着房价的不断飙升，房价问题已经成为全民关注的焦点议题之一，从国家领导人、地方政府官员，到开发商、专家学者、普通百姓通过各种媒体表达各种观点，但对于房价是否合理、未来房价的走势等关键问题，至今尚未形成统一的认识。
请根据中国国情，收集建筑成本、居民收入等与房价密切相关的数据，选取我国具有代表性的几类城市对房价的合理性及房价的未来走势等问题进行定量分析。
根据分析结果，进一步探讨使得房价合理的具体措施，以及可能对经济发展产生的影响，并进行定量分析。
2. 问题分析
房价合理性以及房价预测问题是一个巨大的系统分析问题，涉及很多方面，而房价形成具有众多影响因素，房价是由这些因素交互影响汇聚而成的。本文将影响房价的因素主要归为三类，即经济因素、社会因素、政策因素。针对我国国情，根据我国城市传统的一二三线城市等级划分，分别选取了以北京，西安，绵阳为代表。
2.1 简单指标法检测房地产价格合理性
简单指标法是根据某个指标的值来判断房地产价格是否过高的方法，利用改进的房价收入比以及房价增长率与GDP增长率之比，通过所得比值是否在合理区间，来判断房价是否合理。
2.2 房价未来走势
为了探讨房价与各影响因素之间的关系，通过函数关系分析当影响因素发生变化时，商品住宅价格如何变化。对商品住宅价格进行定量分析的基本思路是以GDP、城市居民可支配收入、竣工面积等指标为自变量，以商品住宅价格为因变量建立多元线性回归模型(即确定函数关系)，通过模型来进行定量分析。
2.3 房价措施分析
根据与房价各参数的拟合情况，利用其与房价的相关性。通过分析现实中各种因素对相关参数的影响，分别针对三类城市实际情况制定相应的应对措施。
3. 符号说明
PIR
房价收入比
AHP
住宅平均价格
AFI
居民平均收入
QAHP
为了取得平均房屋价格的年贷款所得
α
全付款的比例
β
贷款付款的比例
P
住房单位面积售价
S
套建筑面积
k
家庭可接受的还款比例
A
家庭年可支配收入额
i
贷款利率
4. 模型建立与求解
1
2
3

4.1. 房价合理性模型的建立和求解
4.1.1. 房价收入比计算模型
传统的房价收入比（PIR）住宅平均价格（AHP）与居民平均年收入（AFI）的比值，如计算式（1）所示。在此对房价收入比计算式进行改进，增加了一手房与二手房的双重房屋结构，因此评价更加合理化。故改进的房价收入比的推导计算式为式（1）：
(1)
在考虑了市场金融因素能力的条件下，住宅平均价格就变为了取得平均房屋价格的年贷款所得即QAHP。

(2)
其中：
(3)

将式（3）代入式（2）中的金融条件下的房价收入比指标。
(4)
那么，改进的房价收入比指标计算式为（1）+（4），可得式（5）：
(5)
式（5）中：
式中2.9表示我国城镇平均家庭人口（详见附录）；
PIR 为房价收入比指标；
AHP 为住宅平均价格；
AFI 为居民平均年收入；
K1 为一手房住宅购买所占的比例系数；
K2 为二手房住宅购买所占的比例系数；
AP 表示住宅的平均单价；
AF 表示每套住宅的平均面积；
为考虑市场金融因素下的房价收入比指标。
QAHP1 为一手房取得平均房屋价格的年贷款所得；
QAHP2 为二手房取得平均房屋价格的年贷款所得；
m 为人均年收入；
为首付额，i=1 为一手房的首付额，i=2 为二手房的首付额；
PIR 总为改进的房价收入比；
α为全付款的比例；
β为贷款付款的比例。
为年还款额；
银行房贷的基准年利率为6.6%，综合考虑银行优惠以及一些国家政策，将银行房贷年利率定为6%。由政府统计资料，一手房平均面积为85平方米，二手房平均面积为92平方米。房贷年限定为最常规的20年。
根据调查结果，一手房的指标比例系数为0.65，二手房的指标比例系数0.35。α比例系数为0.3，β比例系数为0.7。
通过公式和已知数据（详见附录）可得：
北京市历年的改进房价收入比
2005年
2006年
2007年
2008年
2009年
2010年
12.41409726
15.1047634
21.96904132
20.97026803
19.56816091
27.74909213
西安市历年的改进房价收入比
2005年
2006年
2007年
2008年
2009年
2010年
10.62852563
11.32887105
9.531725738
9.39970899
8.286463548
8.257579431
绵阳市历年的改进房价收入比
2005年
2006年
2007年
2008年
2009年
2010年
10.61778172
11.93742607
10.66719697
9.141012553
8.743690515
8.991325842

4.1.2. 我国房价收入比合理区间的分析模型
通过对我国具体的住房信贷金融政策及国民基本住房消费习惯，对适合我国的房价收入比区间进行分析。从现行房地产交易的基本状况来看，多数家庭单位在考虑首期支付后，仍然需要依靠金融机构的贷款，所以住房消费不仅要考虑现实支付能力，也要考虑未来的偿付能力。贷款利率和偿还年限作为资金使用的成本，也对居民购房能力产生重要影响。以当地居民家庭单位的住房金融贷款的抵押贷款的可提供性;抵押贷款的可获得性为出发点，按最常用的金融抵押贷款等额还款的方式来建立模型推算居民住房价格的可承受能力。在等额分付贷款的条件下，家庭单位所面对的房价与可支付购买力有如下关系:
(6)
z为住房首付款比例，P为住房单位面积售价，S为套建筑面积，k为家庭可接受的还款比例，A为家庭年可支配收入额，即为等额分付现值因子。
整理(6)式得
(7)
又得
(8)
(8)式即为微观条件下家庭单位在等额还款条件下可以接受的房价收入比模型。从全社会的角度出发，由于新建住宅和存量二手住宅共同组成住房市场。房价应以进入市场的新旧住宅加权平均价的方式得出。
因此(8)式的宏观表达式即为:

(9)
(9)式即为统计意义下全社会条件下不同家庭单位在等额还款条件下可以接受的房价收入比。Si为可交易住房不同面积，Ai为不同收入阶层家庭年户均可支配收入。
根据银监会2004年发布的《商业银行房地产贷款风险管理指引》中明确规定:借款人每月供房款(房屋贷款与物业费用之和)不得超过其月收入的50%。按黑马·恩德先生所确定的最低月还款额占月收入的15%为下限，最大贷款比例为房屋总值的70%的约束条件，以当前商业贷款利率6.8%，最长贷款年限30年计算房价收入比的允许限值，可得到居民可承受具有实际购买力的房价收入比合理区间
(10)
带入相应的参数得
(11)
由于上述计算结果采用中央银行和银监会向全国统一公布住房贷款利率和还款比例并由商业银行执行，因此求得的房价收入比区间是有全国适用范围的，〔2.7，9.0〕即为现阶段下我国房价收入比的合理区间。在此区间内，家庭对住房价格是有有效需求支持的。
考虑到部分家庭单位优惠贷款(住房公积金贷款)及其利率(2011年公积金利率为4.7)的可获得性时，这时数据区间上限为11.36。当家庭单位以这个区间上限支付住房消费价格时，家庭单位面对的还款压力是相当巨大的。
4.1.3. 房价增长率与GDP增长率之比
房价增长率与 GDP 增长率之比：该指标用来反映房地产价格与国民经济发展速度的关系， 判断其是否与国民经济发展速度相适应，其发展是否以宏观经济增长为基础。如果房地产价格增长速度明显快于国民经济发展速度，则说明房地产市场发展一定程度上脱离国民经济的支撑，房地产价格呈现虚高的态势。当房价上升幅度是 GDP 增幅的 2 倍以上时，一般认为房价很不正常，孕育着泡沫。该指标的计算公式为：

1）北京市

2）西安市

3）绵阳市

由图中数据分布可知：
北京房地产价格增长速度明显快于国民经济发展速度，房地产价格呈现虚高的态势。北京市房价上升幅度是 GDP 增幅的 2 倍以上，结合历年房价收入比可以得出北京房价很不合理。且根据房价收入比数据可知，北京房价收入比超过合理范围且有逐年扩大的趋势。
西安房地产价格增长速度与国民经济发展速度基本持平且略低。西安市房价上升幅度基本是GDP增幅的1倍以下，结合历年房价收入比可以得出西安房价合理。
绵阳房地产价格增长速度与国民经济发展速度基本持平。绵阳市房价上升幅度在GDP增幅的1倍左右浮动，结合历年房价收入比可以得出绵阳房价基本合理。
结论：有北京为代表的一线城市以及沿海热点城市房价不合理，有虚高的趋势。而二三线城市房价则基本合理。
4.2. 房价预测模型
探讨房价与各影响因素之间的关系，建立适当模型，通过各因素的变化趋势可以预测未来房价。即确定商品房价格(因变量)与影响因素(自变量)的函数关系，并通过函数关系分析当影响因素发生变化时，商品住宅价格如何变化。在这里，假设商品住宅价格(因变量)与影响因素(自变量)的函数关系是线性的，并引出多元线性回归模型。
多元线性回归模型是一元线性回归模型的自然推广。假设因变量Y是多个自变量X1，X2，X3，…XK和误差项的线性函数，将多元线性回归模型写成:
(12)
其中Y是因变量，x1i,x2i…xki是自变量，ui是误差项，b0是常数项，b1,b2,b3…bk是各自变量对应的系数。
1.
2.
3.
4.
4.1.
4.2.
4.2.1. 模型建立
使用多元回归分析法建立房价预测模型时，因变量为城市商品房平均价格AP，遇到的一个重要问题就是自变量的选择问题，选择什么变量进入模型直接影响分析结果。那么如何选择呢？
理论上影响房价格的变量很多，城市GDP、年人均可支配收入、非农业人口、商品住宅平均造价、商品住宅竣工面积、销售面积、人口密度、总人口等变量都会影响商品房价格。而实际理论证明：最优的线性回归模型应理解为①该模型中包含所有对因变量有显著影响的自变量；②该模型中包含的自变量个数尽可能地少；③进入模型的变量应该是确定性的变量。根据这三个条件，从众多变量中选出四个关键性变量：商品房竣工面积，销售面积，城市GDP，城市居民年人均可支配收入。
所以建立以下模型：

代表商品房价格，代表系数，代表商品房竣工面积，代表销售面积，代表城市GDP，代表市居民年人均可支配收入，为误差项。
4.2.2. 模型验证
通过运用SPSS软件的Liner过程，从几个城市的众多变量中筛选出线性依存关系最明显的四个数据进行线性拟合。
Variables Entered/Removed(b)

Model
Variables Entered
Variables Removed
Method
1
竣工面积,销售面积，人均可支配收入, GDP(a)
.
Enter
a All requested variables entered.
b Dependent Variable: 房价
由此可知所选四个参数确实与房价有相关关系，具有一定的统计性意义，模型合理。
4.2.3. 模型求解
根据模型知，解模型的关键在于解决系数，方法是用最小二乘法拟合数据，借助于MATLAB工具解出系数。由于模型中的系数因城市不同，而系数不同，此模型预测房价须分城市进行，所以对三个城市分别求解。
1) 北京市房价预测
2002-2010年北京市相关数据
年份
商品房价格
商品住宅竣工面积
销售面积
北京市GDP
城市居民年人均可支配收入
2002
4084
2384.4
1708.3
3130
12380
2003
4456
2593.6
1895.8
3202.21
13882
2004
4747
3067
2472
4283.3
16353
2005
6725
4679.2
2803.2
6814.5
17648
2006
8792
3193.9
2607.6
7720
19978
2007
14411
3128.9
2276.7
9006.2
21989
2008
16892
2659.1
1443.7
10488
24725
2009
15051
2908.1
2549.9
11866
26738
2010
22310
2683.1
1501.4
13777.94
29073

用最小二乘法拟合如下：
=0.4688 =-3.467 =0.7817 =0.5277

根据上图比较知，上述方程很好的拟合了实际的商品房价，可以用来做预测。现预测北京市未来两年的数据，其中每年的各自变量的值由其趋势确定，具体做法是用最小二乘法让历史数据与年份拟合(具体方法详见附录7.8)。
2011年预测：=2963.2 =2301 =15660 = 31706
AP=0.4688*2963.2-3.467*2301+0.7817*15660+0.5277*31706
所以， AP=22384 元
2012年预测：
=2610 =2277 =17696 =34211
AP=0.4688*2610-3.467*2277+0.7817*17696+0.5277*34211
所以， AP=25215 元

2) 西安市房价预测
西安市1991年-2007年经济数据
年份
商品房价格
商品住宅竣工面积
销售面积
西安市GDP
城市居民年人均可支配收入
2001
2017
396
192.2
734.86
6704.86
2002
2092
331.45
237.04
823.5
7183.54
2003
2148
387.82
230.3
941.6
7248.38
2004
2624
388.79
279.9
1095.87
8544.03
2005
2851
436.43
435.46
1270.14
9625.23
2006
3317
432.43
584.06
1450.02
10905.39
2007
3529
734.05
596.33
1737.1
12662
2008
4039
894
758.84
2190
15035
2009
4635
1527.91
1256.02
2719
18913
2010
5500
775.16
1587.81
3241.49
21807
用最小二乘法拟合如下：
=-0.3338 =-0.8348 =-0.1632 =0.3685

根据上图比较知，上述方程很好的拟合了实际的商品房价，可以用来做预测。
2011年预测：=1262 =1417 =3954 =23501
AP=-0.3338*1262-0.8348*1417-0.1632*3954+0.3685*23501
所以， AP=6410.7 元
2012年预测： =1143.1 =1273 =4632 =25102
AP=-0.3338*1143.1-0.8348*1273-0.1632*4632+0.3685*25102
所以，AP=7049.9元

3) 绵阳市房价预测
绵阳2004-2010经济数据
年份
商品房价格
商品住宅竣工面积万平方米
销售面积
绵阳市GDP
城市居民年人均可支配收入
2004
1974
150.9
148.16
455
7708
2005
2640
200.28
180.46
492.4
8472
2006
3047
310.2
233.82
560.84
9054
2007
3400
280.63
220.3
673.5
10473
2008
3240
320.54
210.2
716.78
12200
2009
3444
280.76
154
820.2
13701
2010
4150
666.03
311
960
15461

用最小二乘法拟合如下：
=-2.0258 =6.489 =6.2223 =-0.1579

根据上图比较知，上述方程很好的拟合了实际的商品房价，可以用来做预测。
2011年预测：=475.12 =322 =1132.8 =17212
AP=-2.0258*475.12+6.489*322+6.2223*1132.8-0.1579*17212
所以，AP=5457.2元
2012年预测： = 492.36 =367=1362.2 = 19783
AP=-2.0258*492.36+6.489*367+6.2223*1362.2-0.1579*19783
所以，AP=6773元
4.2.1. 结果分析
预测结果汇总
北京
西安
绵阳
年份
预测值（元）
增长率
年份
预测值（元）
增长率
年份
预测值（元）
增长率
2011
22384
0.003316
2011
6410.7
0.165581818
2011
5457.2
0.314988
2012
25215
0.12647
2012
7049.9
0.0997083
2012
6773
0.241113

由以上预测结果分析，在未来两年内，中国城市房价整体是呈现一个上涨趋势；以北京为代表的一线城市房价近期较稳定，会出现一个平稳期 ；以西安为代表的二线城市房价增长较快，增长率呈减缓趋势；以绵阳为代表的三线城市房房价近期增长速度最快。
4.3. 房价合理性措施建议及分析
根据4.1和4.2两个模型的结果，可知各个城市的房价的走势和影响因素不同，所以调控房价应针对不同的城市采取不同的措施。
1、由北京的房价的拟合公式：

房价与商品房竣工面积、GDP、城镇居民收入成正相关，与房屋销售面积成负相关，说明房产商囤地捂盘现象严重，商品房需求量高。针对性的建议措施：（1）处置囤地捂盘房企；（2）限定居民购房套数；（3）加快发展出租房行业发展。
2、由西安的房价的拟合公式：

房价与城镇居民收入成正相关，与商品房竣工面积、房屋销售面积、GDP成负相关，说明商品房需求较量高。针对性的建议措施：（1）适时适量地增加商品房开发；（2）一定时候内限定居民购房套数。
3、由绵阳的房价的拟合公式

房价与房屋销售面积、GDP成正相关，与商品房竣工面积、城镇居民收入成负相关，说明商品房需求量不高，其房价易被一线、二线城市房价快速拉高，投资机会较多。针对性建议措施：增加税收，限制跨地区投资热。
5. 模型评价
优点：（1）针对房价合理性，提出改进房价收入比，房价增长率同GDP增长率之比等多种方式评价，并在传统的房价收入比考虑金融、商品房分类等关键因素。通过计算合理区间，使房价合理性判断更具科学性。
（2）对房价预测，多次应用最小二乘法的原理，预测结果较为实际趋势相符。
缺点：模型中对每类城市选取的代表数过少，不能完全反应各类城市的房价问题。
6. 参考文献
[1]丁建国，西安市住房价格影响因素分析及预测，2009
[2]张会敏，赵君彦.房价收入比实证分析研究 以保定市为例[J]. 改革与发展， 2009
[3]杨文武.房价收入比指标的研究[J].统计研究，003 （1）
[4]虞晓芬.基于居民住宅负担能力的房价合理性评价研究[J].价格理与实践， 2005
[5] 陕西省统计局.陕西省统计年鉴[M].北京:中国统计出版社， 2010
[6] 北京市.北京市统计局

7. 附录
7.1. 北京市历年住房平均价格（单位：元/平方米）

2005年
2006年
2007年
2008年
2009年
2010年
一手房
6725
8792
14411
16892
15051
22310
二手房
4608
7155
10877
9230
12737
21179
7.2. 西安市历年住房平均价格（单位：元/平方米）

2005年
2006年
2007年
2008年
2009年
2010年
一手房
2851
3317
3529
4039
4635
5500
二手房
2657
2720
2840
3600
3651
3587
7.3. 绵阳市历年住房平均价格（单位：元/平方米）

2005年
2006年
2007年
2008年
2009年
2010年
一手房
2640
3047
3400
3240
3444
4150
二手房
2100
2560
2860
2765
2920
3125
7.4. 北京市历年人均可支配收入（单位：元）
2005年
2006年
2007年
2008年
2009年
2010年
17648
19978
21989
24725
26738
29073
7.5. 西安市历年人均可支配收入（单位：元）
2005年
2006年
2007年
2008年
2009年
2010年
9627
10074
12662
15200
19000
21400
7.6. 绵阳市历年人均可支配收入（单位：元）
2005年
2006年
2007年
2008年
2009年
2010年
8472
9054
10473
12200
13701
15461
7.7. 我国城市家庭人口分布
指标
总平均
最低收入户占10%
低收入户占10%
中等偏下户占20%
中等收入户占20%
中等偏上户占20%
高收入户占10%
最高收入户占10%
户均家庭人口
2.9
3.1
3.02
2.98
3.1
2.85
2.92
2.79
7.8. 用最小二乘法预测自变量方法：
(1)：采用最小二乘法用，用matlab拟合数据列与对应时间的函数，具体函数p=polyfit(x,y,n)；
(2):比较拟合曲线与实际数据分布，判断拟合效果，如效果差，可调节直到结果满以为止。
说明：由于预测的次数较多，因篇幅限制，现举例说明。
例代码：
x=[2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 ];
y=[2384.4 2593.6 3067 4679.2 3193.9 3128.9 2659.1 2908.1 2683.1];
p=polyfit(x,y,3);
　x1=x;
　y1=polyval(p,x1);
plot(x,y,'*r',x1,y1,'-b');
判断：图像合理，如不合理改变n=3,改为n=4…..逐渐调整图像
x1=2011;
y1=polyval(p,x1)
y1即是预测的2011年北京的商品房竣工面积。(计算中发现逐条执行语句，避免出错)

这个拟合度很高，所以可以求值得，y1=2963.2
=2963.2
同理求2012的x1值只需要 ：
输入x1=2012;
y1=polyval(p,x1)
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