第二章Hermit插值法教学资料.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,福州大学数学与计算机科学学院,第二章Hermit插值法,-(1),两点三次Hermite插值,F,例：,设,x,0,x,1,x,2,已知,f,(,x,0,),、,f,(,x,1,),、,f,(,x,2,),和,f,(,x,1,),求多项式,P,(,x,)满足,P,(,x,i,)=,f,(,x,i,),，,i,=0,1,2，且,P,(,x,1,)=,f,(,x,1,),并估计误差。,模仿 Newton 多项式的思想，设,解：,首先，,P,的阶数=,3,A为待定系数，可由,P,(,x,1,)=,f,(,x,1,),确定,与 Lagrange 分析完全类似,求Hermite多项式的基本步骤：,写出相应于条件的、的组合形式；,对每一个 找出尽可能多的条件给出的根；,其中,根据多项式的总阶数和根的个数写出表达式；,根据尚未利用的条件解出表达式中的待定系数；,由,可得,最后完整写出,H,(,x,)。,两点三次Hermite插值的误差为,构造辅助函数,均是,二重根,连续使用4次Rolle定理，可得，,使得,即,所以,两点三次Hermite插值的余项为,以上分析都能成立吗？,一般的，总认为次数越高，,逼近f(x)的精度就越好，,但实际上并非如此。,2.6,分段低次插值,/*piecewise polynomial approximation*/,Remember what I have said?,Increasing the degree of interpolating polynomial,will,NOT,guarantee a good result,since high-degree polynomials are,oscillating,.,例：,在,5,5,上考察 的,L,n,(,x,)。取,-,5,-,4,-,3,-,2,-,1,0,1,2,3,4,5,-,0.5,0,0.5,1,1.5,2,2.5,n,越大，,端点附近抖动,越大，称为,Runge 现象,L,n,(,x,),f,(,x,),分段,低次,插值,不同次数的Lagrange插值多项式的比较图,Runge现象,从上图可以看出，随着n的增加，L,n,(x)的计算结果和误差的绝对值几乎成倍的增加，这说明当n趋于无穷大时，L,n,(x)在-5，5上不收敛；,也称折线插值,如右图,曲线的光滑性较差,在节点处有尖点,但如果增加节点的数量,减小步长,会改善插值效果,因此,则,分段线性插值,/*piecewise linear interpolation*/,在每个区间 上，用,1阶多项式,(直线)逼近,f,(,x,),:,记 ，易证：当 时，,一致,失去了原函数的光滑性。,分段Hermite插值,/*Hermite piecewise polynomials*/,给定,在 上利用两点的,y,及,y,构造,3次Hermite函数,导数一般不易得到。,How can we make a smooth interpolation without asking too much from,f,?,Headache,此课件下载可自行编辑修改，仅供参考！感谢您的支持，我们努力做得更好！谢谢,