人教版九年级数学上册教案、例题全集.pdf

人教版九年级数学上册教案全集第二十一章二次根式教学目标1.知识与技能(1)理解二次根式的概念.(2)理解(a20)是一个非负数，()2=a(aO),J7=a(a20).(3)掌握G 4b=4ab(a0,b10),y/a=y/a ；-尸=J(a20,b0),J(a，0,b0).(4)了解最简二次根式的概念并灵活运用它们对二次根式进行加减.2.过程与方法(1)先提出问题，让学生探讨、分析问题，师生共同归纳，得出概念.再对概念的 内涵进行分析，得出几个重要结论，并运用这些重要结论进行二次根式的计算和化简.(2)用具体数据探究规律，用不完全归纳法得出二次根式的乘(除)法规定，并运 用规定进行计算.(3)利用逆向思维，得出二次根式的乘(除)法规定的逆向等式并运用它进行化简.(4)通过分析前面的计算和化简结果，抓住它们的共同特点，给出最简二次根式的 概念.利用最简二次根式的概念，来对相同的二次根式进行合并，达到对二次根式进行计 算和化简的目的.3.情感、态度与价值观通过本单元的学习培养学生：利用规定准确计算和化简的严谨的科学精神，经过探索 二次根式的重要结论，二次根式的乘除规定，发展学生观察、分析、发现问题的能力.教学重点1.二次根式(aNO)的内涵.&(a0)是一个非负数；(J；)2=a(aO)；(aO)及其运用.2.二次根式乘除法的规定及其运用.3.最简二次根式的概念.4.二次根式的加减运算.教学难点1.对北(a20)是一个非负数的理解；对等式(G)2=(220)及J/=a(a20）的理解及应用.2.二次根式的乘法、除法的条件限制.3.利用最简二次根式的概念把一个二次根式化成最简二次根式.教学关键1.潜移默化地培养学生从具体到一般的推理能力，突出重点，突破难点.2.培养学生利用二次根式的规定和重要结论进行准确计算的能力，培养学生一丝不 苟的科学精神.单元课时划分本单元教学时间约需11课时，具体分配如下:21.1二次根式 3课时21.2二次根式的乘法 3课时21.3二次根式的加减 3课时教学活动、习题课、小结 2课时21.1二次根式第一课时教学内容二次根式的概念及其运用教学目标理解二次根式的概念，并利用G（aO）的意义解答具体题目.提出问题，根据问题给出概念，应用概念解决实际问题.教学重难点关键1.重点：形如J；（a10）的式子叫做二次根式的概念；2.难点与关键：利用“&（a0）”解决具体问题.教学过程一、复习引入（学生活动）请同学们独立完成下列三个问题：3问题1：已知反比例函数丫=,那么它的图象在第一象限横、纵坐标相等的点的坐%标是.问题2：如图，在直角三角形A BC中，A C=3,BC=1,NC=90,那么A B边的长是问题3：甲射击6次，各次击中的环数如下：8、7、9、9、7、8,那么甲这次射击的 方差是S2,那么S=.老师点评：问题1：横、纵坐标相等，即*=丫，所以x2=3.因为点在第一象限，所以x=百，所以所求点的坐标（G，V3）.问题2：由勾股定理得A B=JiU问题3：由方差的概念得5=二、探索新知很明显6、Vio 都是一些正数的算术平方根.像这样一些正数的算术平方根的式子，我们就把它称二次根式.因此，一般地，我们把形如（aO）的式子叫做 二次根式，称为二次根号.（学生活动）议一议：L-1有算术平方根吗？2.0的算术平方根是多少？3.当a0）、xVo 蚯、-行、Jj r+y(x0,y 20).x+y分析：二次根式应满足两个条件：第一，有二次根号“”；第二，被开方数是正数 或0.解：二次根式有：V2 (x0)、Vo -V2 Jj r+y(xNO,y0)；不是二次根式的有：6、1、6、-x 1+P例2.当x是多少时，1在实数范围内有意义?分析：由二次根式的定义可知，被开方数一定要大于或等于0,所以3x-l20,疝二1 才能有意义.解：由3x-l20,得：x三,3当x N，时，J3%-1在实数范围内有意义.3三、巩固练习教材P练习1、2、3.四、应用拓展例3.当x是多少时，j 2%+3+，在实数范围内有意义?x+1分析：要使42%+3+，在实数范围内有意义,必须同时满足j 2%+3中的三0和 x+1一中的x+lWO.%+1解:依题意,2x+30%+1 w 03由得：X-2由得：xW-13 1当xN-且xW-1时，j 2%+3+在实数范围内有意义.2 x+1例4(1)已知y=j 2%+J%2+5,求二的值.(答案:2)y（2）若=1=0,求 a2004+b2004 的值.（答案：g）五、归纳小结（学生活动，老师点评）本节课要掌握：1.形如北（a0）的式子叫做二次根式，称为二次根号.2.要使二次根式在实数范围内有意义，必须满足被开方数是非负数.六、布置作业1.教材P8复习巩固1、综合应用5.2.选用课时作业设计.3.课后作业：同步训练第一课时作业设计一、选择题1.下列式子中，是二次根式的是（）A.-V7 B.V7 C.Vx D.X2.下列式子中，不是二次根式的是（）A.V?B.V16 C.V8 D.-x3.已知一个正方形的面积是5,那么它的边长是（）A.5 B.V5 C.-D.以上皆不对二、填空题1.形如 的式子叫做二次根式.2.面积为a的正方形的边长为.3.负数 平方根.三、综合提高题1.某工厂要制作一批体积为In?的产品包装盒，其高为0.2m,按设计需要,做成正方形，试问底面边长应是多少？2.当X是多少时，0+3+x2在实数范围内有意义?X底面应3.若 J33 有意义,贝.4.使式子（%-5）2有意义的未知数x有（）个.A.0B.1C.2D.无数5.已知a、b为实数，且5+2 J10-24=b+4,求a、b的值.第一课时作业设计答案：一、1.A 2.D 3.B二、1.4a(a20)2.G 3.没有三、1.设底面边长为x,则02x2=1,解答：x=V5.2.依题意得:2%+3 2 0%。042%。03当 x-且 xWO 时,2口+3+x2在实数范围内没有意义.4.B5.a=5，b=-421.1二次根式(2)第二课时教学内容1.日(a0)是一个非负数；2.()2=a(a三0).教学目标理解北(aO)是一个非负数和(北)2=a(aNO),并利用它们进行计算和化简.通过复习二次根式的概念，用逻辑推理的方法推出G(a10)是一个非负数，用具 体数据结合算术平方根的意义导出(&)2=a(aO)；最后运用结论严谨解题.教学重难点关键1.重点：G（a0）是一个非负数；（北）2=a（a0）及其运用.2.难点、关键：用分类思想的方法导出G（a0）是一个非负数；用探究的方法导出（）2=a（a0）.教学过程一、复习引入（学生活动）口答1.什么叫二次根式？2.当a0时，G叫什么？当a0；(2)a20；(3)a2+2a+l=(a+1)20；(4)4x2-12x+9=(2x)2-2 2x,3+32=(2x-3)20.所以上面的4题都可以运用(G)2=a(a10)的重要结论解题.解：(1)因为x0,所以x+l0(J%+1)2=x+l(2),.*a20,)2=a2(3)*.*a2+2a+l=(a+1)2又,:(a+1)20,a2+2a+120,dd+20 B.aO C.a0 D.a=0二、填空题1.(-V3)2=.2.已知而1有意义，那么是一个 数.三、综合提高题1.计算(1)(V9)2(2)-(V3)2(3)(-V6)2(4)(-3A-)22 V3(2V3+3V2)(2V3-3V2)2.把下列非负数写成一个数的平方的形式：(1)5(2)3.4(3)-(4)x(x0)63.已知 Jj r-p+l+J%-3=0,求 xy 的值.4.在实数范围内分解下列因式：(1)x2-2(2)x4-9 3x2-5第二课时作业设计答案:、1.B 2.C二、1.3 2.非负数三、1.(1)(次)2=9(2)-(百)2=3(2 2(4)(-3 J-)2=9X-=6(5)-6V3 31 1 O(3)(6)2=X 62 4 22.5=(遂)2(2)3.4=(VT 4)2(3)=6(，上)2(4)x=()2(x10)x-y+=0(x=3 1%-3=0 1p=4xy=34=814.(1)x2-2=(x+-/2)(x-V2)(2)x4-9=(x2+3)(x2-3)=(x2+3)(x+百)(x-百)略21.1二次根式第三课时教学内容=a(a0)教学目标理解=a(aO)并利用它进行计算和化简.通过具体数据的解答，探究(aO),并利用这个结论解决具体问题.教学重难点关键1.重点：=a(a0).2.难点：探究结论.3.关键：讲清a0时，/=才成立.教学过程一、复习引入老师口述并板收上两节课的重要内容；1.形如G(aO)的式子叫做二次根式；2.4a(aNO)是一个非负数；3.(V)2=a(a0).那么，我们猜想当a0时，=a是否也成立呢？下面我们就来探究这个问题.二、探究新知(学生活动)填空：4=_；Vo.Ol2=_；J,(|)2=_；后=_；，(老师点评)：根据算术平方根的意义,7？=2；a/o.012=0.01；,(7I 因此，一般地：J7=a(a20)g一-我们可以得到：；肾 j Ho；例1化简(1)V9(2),(-4)2(3)V25(4)分析：因为(1)9=02,(2)(-4)2=42,(3)25=52,(4)(-3)2=32,所以都可运用=a(aO)去化简.解：(1)V=a/=3(2)J(-4)2=/=4(3)y25=y/5=5(4)不(-3)2=a/1=3三、巩固练习教材P7练习2.四、应用拓展例2填空：当a0时，_；当aa,则a可以是什么数？分析：=a(a10),.要填第一个空格可以根据这个结论，第二空格就不行，应变形，使()2”中的数是正数，因为，当aWO时，=(_02,那么一(1)根据结论求条件；(2)根据第二个填空的分析，逆向思想；(3)根据(1)、(2)可知J=|a|,而|a|要大于a,只有什么时候才能保证呢？aa,即使aa所以a不存在;当aa,即使-aa,a0综上，a2,化简，(尸2)1-二分析：(略)五、归纳小结本节课应掌握：=a(aNO)及其运用，同时理解当ayl(-a)2 C.J(-02 0）及它们的运用.难点：发现规律，导出北,、历=a/五(aO,b0).关键：要讲清 Jab(aO,b、(或=”填空.V4 X V9 曲？,V16 X V25 V16x25,V100 XV36 V100 x362.利用计算器计算填空(1)V2 X V3 瓜,(2)V2 X V5 V10,(3)V5 X V6 同，(4)V4 X V5 V20,(5)V7 X V10 V70.老师点评(纠正学生练习中的错误)二、探索新知(学生活动)让3、4个同学上台总结规律.老师点评：(1)被开方数都是正数；(2)两个二次根式的乘除等于一个二次根式，并且把这两个二次根式中的数相乘，作为等号另一边二次根式中的被开方数.一般地，对二次根式的乘法规定为&,.(aNO,bNO)反过来：=”(a，0,b20)例L计算(1)V5 X V7(2)A X 次(3)V9 X V27(4)X 76分析：直接利用G,，=J益(aO,bNO)计算即可.解：(1)V5 X V7=V35 A X/=Jgx 9=(3)亚 X 际3x27=J92 义3=9百,X&=gx6=K例2化简(1)79x16(2)716x81(3),81x100(4)匹亍 V5 4分析：利用信=G-4b(aO,b0)直接化简即可.解：(1)j 9x l6=V X Vf=3X4=12(2)V16x81=V16 X VsT=4X9=36(3)81x100=781 X V100=9X10=90(4)版“2P2 X J%2 P2=X X=3xy(5)V5 4=a/9x6=X yj6=3y/6三、巩固练习(1)计算(学生练习，老师点评)y/16 X 8 3 y/-6 X2y/lQ J5（1 ay(2)化简：V20；V18;V24;V5 4;，12也为教材Pu练习全部四、应用拓展例3.判断下列各式是否正确，不正确的请予以改正：(1)J(4)x(9)=口义(2)J4 X V25 MX J X V25 MJ X V25 Ma/12=8 V3V 25 25 7 25解：(1)不正确.改正:y/(-4)x(-9)=V4x9=V4 X 49=2X3=6(2)不正确.改正：A 4 X=x 25=Vn2=716=477V 25 V 25 V 25五、归纳小结本节课应掌握：(1)G =ab=(aO,b0),yab=ya (a0,bNO)及其运用.六、布置作业1.课本 P15 1，4,5,6.(1)(2).2.选用课时作业设计.3.课后作业：同步训练第一课时作业设计一、选择题1.若直角三角形两条直角边的边长分别为 岳c m和巫c m,那么此直角三角形斜边长是（）.A.3 V2 c mB.3 V3 c mC.9c mD.27c m2.化简a JL的结果是（）.V aA.sjci B.C.-Jq D.-3.等式=成立的条件是（）A.xl B.x-1 C.T WxWlD.x21 或 x 0)，并验证你的结论.答案：一、1.B 2.C 3.A 4.D二、1.13 V6 2.12s三、1.设：底面正方形铁桶的底面边长为X,贝U x20),反过来(aNO,b0)及利用它们进行计算和化简.教学目标(aO,b0)(a20,b0)及利用它们进行运算.利用具体数据，通过学生练习活动，发现规律，归纳出除法规定，并用逆向思维写出 逆向等式及利用它们进行计算和化简.教学重难点关键(a0,b0),(aO,b0)及利用它们进行计算和化简.2.难点关键：发现规律，归纳出二次根式的除法规定.教学过程一、复习引入(学生活动)请同学们完成下列各题：1.写出二次根式的乘法规定及逆向等式.2.填空(1)(2)V16(3)V4V16(4)V9 规律：4=V16叵巫V36；V163.利用计算器计算填空:(1)V3石V2耳V2V3规律：77，(2)，(4)每组推荐一名学生上台阐述运算结果.（老师点评）二、探索新知刚才同学们都练习都很好，上台的同学也回答得十分准确，根据大家的练习和回答,我们可以得到：一般地，对二次根式的除法规定:反过来,(aO,b0)下面我们利用这个规定来计算和化简一些题目.a分析：上面4小题利用（a0,b0）便可直接得出答案.解：（1）屈叵=23x8=J3x4=C X=2 Vs(2)116分析：直接利用（a，0,b0）就可以达到化简之目的.三、巩固练习 教材P14练习1.四、应用拓展分析：式子只有a20,b0时才能成立.因此得到9-x 20且x-60,即6x W9,又因为x为偶数，所以x=8.A 一 9-x 0 x 9解：由题意得 ,即0 x 6A 6x0)(aO,b0)及其运用.六、布置作业1.教材 P15 习题 21.2 2、7、8、9.2.选用课时作业设计.3.课后作业：同步训练第二课时作业设计 一、选择题1计 算的结果是（）.A.一 B.C./27 72.阅读下列运算过程：1 _ V3 _ V3 2 _ 275 _2a/5 舟e-3 V5 V5 x V5-5数学上将这种把分母的根号去掉的过程称作“分母有理化”，那么，化简2y/6的结果是().A.2 B.6二、填空题1.分母有理化：(1)2.已知 x=3,y=4,三、综合提高题C.-/6 D.6 3i i Vio电:-;(2)T T T-;(3)-z=5,那么+的最后结果是.1.有一种房梁的截面积是一个矩形，且矩形的长与宽之比为百：1,现用直径为3 JBc m的一种圆木做原料加工这种房梁，那么加工后的房染的最大截面积是多少？2.计算答案：一、1.A 2.C3三、1.设：矩形房梁的宽为X(c m),则长为百x c m,依题意,得：(百x)2+x2=(3V15)2,3 _4x2=9X15,x=y5(c m),2V3 x,x=V3 x2=-V3(c m2).4n/773 厂 2 厂=-2x a/2=-7x=-m m m m m/小、3（加+）（加一）a a c3a 7（2）原式二-2j-彳-x-x-=-2 J76 a 2 加+mn V 221.2二次根式的乘除(3)第三课时教学内容最简二次根式的概念及利用最简二次根式的概念进行二次根式的化简运算.教学目标理解最简二次根式的概念，并运用它把不是最简二次根式的化成最简二次根式.通过计算或化简的结果来提炼出最简二次根式的概念，并根据它的特点来检验最后结 果是否满足最简二次根式的要求.重难点关键1.重点：最简二次根式的运用.2.难点关键：会判断这个二次根式是否是最简二次根式.教学过程一、复习引入(学生活动)请同学们完成下列各题(请三位同学上台板书)1 4 行,1、G/Q、3后、1.计算(1)-j=,(2)-j=,(3)V5 V27学师占、平V3 V15 372 V6老师点讦：一尸-，-j=-,V5 5 V27 32.现在我们来看本章引言中的问题:它们的传播半径的比是_.V8-41a a 如果两个电视塔的高分别是hikm,h2km,那么它们的比是2R R2世二、探索新知观察上面计算题1的最后结果，可以发现这些式子中的二次根式有如下两个特点:1.被开方数不含分母；2.被开方数中不含能开得尽方的因数或因式.我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式.那么上题中的比是否是最简二次根式呢？如果不是，把它们化成最简二次根式.学生分组讨论，推荐34个人到黑板上板书.老师点评：不是.例1.3拈;(2)次4+)；)府3例 2.如图，在 Rt A BC 中，ZC=90，A C=2.5 c m,BC=6c m,求 A B 的长.解：因为 A B2=A C2+BC2所以A B二石至百因此A B的长为6.5 c m.三、巩固练习教材巳4练习2、3四、应用拓展例3.观察下列各式，通过分母有理数，把不是最简二次根式的化成最简二次根式:1 _ ix(Gi)=母-1一6 jV2+1(V2+1)(72-1)-2-1i _ ix（V3-V2）V3-V2 仄 37T 77F（有物（可扬一同理可得:1=V4-V3,v4+V3从计算结果中找出规律，并利用这一规律计算（7+广1厂+厂+/-1 I_=）（V2002+1）的值.V2+1 V3+V2 V4+V3 V2002+V2001分析：由题意可知，本题所给的是一组分母有理化的式子，因此，分母有理化后就可 以达到化简的目的.解：原式二（V2-1+V3-V2+V4-V3+V2002-V2001）X（V2002+1）=（V2002-1）（,2002+1）=2002-1=2001五、归纳小结本节课应掌握：最简二次根式的概念及其运用.六、布置作业1.教材 P15 习题 21.2 3、7、10.2.选用课时作业设计.3.课后作业：同步训练第三课时作业设计一、选择题i.如果#（y）是二次根式，那么，化为最简二次根式是（）.A.（y）o）B.yjxy（y0）C.（y 0）D.以上都不对2.把（a-1）J-L中根号外的（a-1）移入根号内得（）.V a-A.do 1 B.Jl q C.-Ja 1 D.-Jl Q3.在下列各式中，化简正确的是（）C.J?=maD.x=xy/x-l4.化简二厚的结果是(V27)V2 2 y/6 rrA.-B.-j=C.-D.-J 23 G 3二、填空题1.化简 J/+%2y2=.(xNO)2.a化简二次根式号后的结果是三、综合提高题1.已知a为实数，化简：J-,阅读下面的解答过程，请判断是否正确？V Q若不正确，请写出正确的解答过程：解：二a7q-a -yj (a-1)J2.若x、y为实数，且y=-一次,求 的值.%+2答案：一、1.C 2.D 3.C 4.C-*、1.X J/+p2 2.-J-1三、1.不正确，正确解答：-/0因为J 1,所以a0原式=v_-ax2-40 12.-.x-4=0,/.x=2,但.,x+2W0,.x=2,y=-4-0 421.3二次根式的加减(1)第一课时教学内容二次根式的加减教学目标理解和掌握二次根式加减的方法.先提出问题，分析问题，在分析问题中，渗透对二次根式进行加减的方法的理解.再 总结经验，用它来指导根式的计算和化简.重难点关键i.重点：二次根式化简为最简根式.2.难点关键：会判定是否是最简二次根式.教学过程一、复习引入学生活动：计算下列各式.(1)2x+3x；(2)2x2-3x2+5 x2；(3)x+2x+3y；(4)3a2-2a2+a3教师点评：上面题目的结果，实际上是我们以前所学的同类项合并.同类项合并就是 字母不变，系数相加减.二、探索新知学生活动：计算下列各式.(1)2a/2+372(2)2V8-3V8+5 V8(3)V7+2a/7+3V97(4)36-2百+血老师点评：(1)如果我们把行当成X,不就转化为上面的问题吗？2V2+3a/2=(2+3)V2=5a/2(2)把胡当成y；278-3a/8+5V8=(2-3+5)78=478=872(3)把J7当成z；V7+2V7+V9 V7=2a/7+2a/7+3a/7=(1+2+3)V7=6a/7(4)百看为x,、历看为y.3 V3-2 V3+a/2=(3-2)3+V2=a/3+a/2因此，二次根式的被开方数相同是可以合并的，如2行与魂表面上看是不相同的，但它们可以合并吗？可以的.(板书)30+岛3亚+2。5行3 3+V 27=3 3+3 V3=6 V3所以，二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同 的二次根式进行合并.例L计算(1)V8+V18(2)V16+V64r分析：第一步，将不是最简二次根式的项化为最简二次根式；第二步，将相同的最简 二次根式进行合并.解：(1)78+718=272+3a/2=(2+3)72=572(2)Jl6%+J64%=4G+8G=(4+8)yx=12yx例2.计算(1)3a/48-9(2)(V48+V20)+(V12-V5)解：(1)3748-91+3V12=12V3-3a/3+6a/3=(12-3+6)也二 156(2)(V48+V20)+(V12-V5)=V48+V20+V12-V5=4 V3+2 y/5+2 V3-y/5=6 V3+y/5三、巩固练习 教材已练习1、2.四、应用拓展例3.已知 4x?+y 2-4x-6y+10=0,求(2+y?：)一 J-5 x J)的值.3 y X V X分析：本题首先将已知等式进行变形，把它配成完全平方式，得(2x-l)2+(y-3)2=0,即x=,，y=3.其次，根据二次根式的加减运算，先把各项化成最简二次根式，再合并 2同类二次根式，最后代入求值.解：*.*4x2+y2-4x-6y+10=0V4x2-4x+l+y2-6y+9=0(2x-l)2+(y-3)2=0,1 x=,y=323=2x G+xy-x G+5 xy=x G+6 xy当x=,y=3 时,2原式二，X 口+6、口二+3 加 2 V2 2 4五、归纳小结本节课应掌握：（1）不是最简二次根式的，应化成最简二次根式；（2）相同的最简二 次根式进行合并.六、布置作业1.教材 P21 习题 21.3 1、2、3、5.2.选作课时作业设计.3.课后作业：同步训练第一课时作业设计一、选择题1.以下二次根式：旧；后；Jg;后中，与百是同类二次根式的 是（）.A.和 B.和 C.和 D.和2.下列各式：3 V3+3=6-/3;a/7=1；V2+V6=a/8=2 V2；=2 V2 其中错误的有（）.A.3个 B.2个 C.1个 D.0个二、填空题1.在a、-V75 2历、V125 4也、工、-2/1中,与而是同 3 3 a V8类二次根式的有.2.计算二次根式5 G-3，-7+9”的最后结果是.三、综合提高题1.已知后比2.236,求(而-j*)(卜g+1V45)的值.（结果精确到0.01）2.先化简，再求值.（6xJ上 小城）（4x，+，36口），其中 x=3,y=27.V y V y 2答案：一、1.C 2.A 2 、1.-J75a 一,3/2.6 23 a二、1.原式=4-J5-一 y/5-=yfs 弋X 2.236 7 0.452.M=6 xy+3 xy-(45y+65y=(6+3-4-6)xy xy当x=3,y=27时，原式二-Jx27=-2 行2 V2 221.3二次根式的加减（2）第二课时教学内容利用二次根式化简的数学思想解应用题.教学目标运用二次根式、化简解应用题.通过复习，将二次根式化成被开方数相同的最简二次根式，进行合并后解应用题.重难点关键讲清如何解答应用题既是本节课的重点，又是本节课的难点、关键点.教学过程一、复习引入上节课，我们已经讲了二次根式如何加减的问题，我们把它归为两个步骤：第一步，先将二次根式化成最简二次根式；第二步，再将被开方数相同的二次根式进行合并，下面 我们讲三道例题以做巩固.二、探索新知例1.如图所示的Rt A BC中，NB=90,点P从点B开始沿BA边以1厘米/秒的速 度向点A移动；同时，点Q也从点B开始沿BC边以2厘米/秒的速度向点C移动.问：几 秒后4PBQ的面积为35平方厘米？PQ的距离是多少厘米？（结果用最简二次根式表示）c分析：设X秒后A PEQ的面积为35平方厘米，那么PB=X,BQ=2x,根据三角形面积 公式就可以求出x的值.解：设x后4PBQ的面积为35平方厘米.则有 PB=x,BQ=2x依题意，得：x 2x=352x2=35x=V35所以回秒后4PBQ的面积为35平方厘米.PQ=J/+M=4f=757=J5 x35=5/7答：4秒后4PBQ的面积为35平方厘米，PQ的距离为5 s 厘米.例2.要焊接如图所示的钢架，大约需要多少米钢材（精确到0.1m）?分析：此框架是由A B、BC、BD、A C组成，所以要求钢架的钢材，只需知道这四段的 长度.解：由勾股定理，得AB=V92+92=a/42+22=V20=275+3=M+T=出所需钢材长度为A B+BC+A C+BD=2a/5+V5+5+2=3a/5+7心3X2.24+7-13.7（m）答：要焊接一个如图所示的钢架，大约需要13.7m的钢材.三、巩固练习教材P19练习3四、应用拓展例3.若最简根式仪4+b与根式,242 +66是同类二次根式,求,、b的值.（同类二次根式就是被开方数相同的最简二次根式）分析：同类二次根式是指几个二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同；事实 上，根式,242不是最简二次根式,因此把,242化简成|b|，2一分+6，才由同类二次根式的定义得3a-b=2,2a-b+6=4a+3b.解：首先把根式出2-1+66化为最简二次根式:J242 +6送2=J/?(24一 1+6)二|b|2-1+6由题意得4+33=2-3+63-3=2.12+4方=613_3=2a=l,b=l五、归纳小结本节课应掌握运用最简二次根式的合并原理解决实际问题.六、布置作业1.教材P习题21.3 7.2.选用课时作业设计.3.课后作业：同步训练作业设计一、选择题1.已知直角三角形的两条直角边的长分别为5和5,那么斜边的长应为（）.（结 果用最简二次根式）A.5a/2 B.同 C.2 D.以上都不对2.小明想自己钉一个长与宽分别为30c m和20c m的长方形的木框，为了增加其稳定 性，他沿长方形的对角线又钉上了一根木条，木条的长应为（）米.（结果同最简二次 根式表示）A.13/100 B.V1300 C.lo V13 D.5a/13二、填空题1.某地有一长方形鱼塘，已知鱼塘的长是宽的2倍，它的面积是1600m2,鱼塘的宽 是 m.（结果用最简二次根式）2.已知等腰直角三角形的直角边的边长为 血，那么这个等腰直角三角形的周长是.（结果用最简二次根式）三、综合提高题1.若最简二次根式2,3/-2与“04万10是同类二次根式,求m、n的值.32.同学们，我们以前学过完全平方公式a22ab+b2=（ab）2,你一定熟练掌握了吧!现在，我们又学习了二次根式，那么所有的正数（包括0）都可以看作是一个数的平方，如3二（百）2,5二（石）2,你知道是谁的二次根式呢？下面我们观察：（V2-1）2=（V2）2-2 1 V2+12=2-2 V2+l=3-2 V2反之，3-2=2-2+1=（V2-1）23-2 V2=（a/2-1）2/.V3-2V2=72-1求：73+272；(2),4+26；(3)你会算吗?(4)若2,土”，贝U m、n与a、b的关系是什么？并说明理由.答案：一、1.A 2.C二、1.20V2 2.2+2a/2三、1.依题意，得Vm%2=3m=+2V2=百3m-2=4加之-10772-1=22a/2 m=-2a/2所以 厂或 厂=，3=J3、m 22、m=22或，厂或V r-77=-V3 =32.(1)V3+2V2=7(2+1)2=V2+1(2)74+273=7(a/3+1)2=V3+1(3)a/4-V12=a/4-2V3=7(-I)2=V3-1(4)0)与a=(m(2)Vab=Va Q(a0,b0)与石 7b=Vab(a0,b0)；/=亲心迅心。)与太二怖(0,b0).7例如，化简，可以用3种方法：e直阚分不察-岳分母有理化了京1(3)看作二次根式的除法W=、佟=币.5.不一定能化成(、局2.当a0时，如(石)2=9=(道)*,(麻)2=7=(T o)2,此时，7?=(、2；当软0时，&-2尸=厉=(上产,但P无意义，所以，(-2尸产(产可 时.二、例题例1 x取什么值时，下列各式在实数范围内有意义:(1)J3-x+Jx 2；(2)-=；1-0.解因为1出0,3-a0,所以a V1,|a-2|-2-a.(a-l)(a-3)=-(l-a)-(3-a)=(l-a)(3-a)NO.|a2-4a+4 J3-a 1/(a-2)2 J3-a 1V a2-4a+3 a-2 Jl-a(a-l)(a-3)a-2 Jl-aJ(-2)2 71 1=_ Y _ _+.-7(a-l)(a-3)a-2 T T a|a-2|、/3-a 1=+A/(a-l)(a-3)a-2 Jl-a2-a J3 a 1a/1-a.*J3 a a-2 Jl-a1 t 1Jl-a Jl a=0.指出：由于二次根式的基本性质7?=|a|要由a的取值范围确定，即(a(a0),|a|=-a(a0及b0(a0,b0),因此在运.这些性质化简含二次根式的式子时，要注意上述条件，并要阐述清楚是怎样 满足这些条件的.例4已知”73+42!求小T+4-NT 7的值.问：上面的代数式中的两个二次根式的被开方数的式子如何化为完全平方 式？答:(a-：)+4=a2+p-+2=a+|j,a+|j-4=a2+p-2=(a-j.问：如何确定a+及软的值是正值还是负值?答：可由已知条件a=a1 a/3+72用一加0,-=V3+V2,知aH0.-万片=(V3-72)-(V3+V2)=-2V21+五+1 五J1+X+J1-X J _ X-1+x解Ji+x+71-x 7i+x2-i+x m+x i-xJl+x+Jl-x 4+/-1+x+X Jl-X=-+-,一+X+J1-X+X-J1-XJl+X(J1+X-J1 _ X)+Jl-L(J1+x+J _ x)(Jl+.+J _ x)(j+X-J _ x)Jl+X G/-x)/=-=+-=J1+X+Vl-X J(1-X)(l+x)-(71-X)27T (工行)2J1+X+J1-X J1-X(J1+X-J1-X)_ 1+X-J1+X J1-X+J1-X J1+X+(1-X)1+X-(1-X)2 1=-=2x x注意：1.因为第二个式子中的分母vr y i+x卢o,因此x卢1.所以在化简过程中，分子与分母可以同除以斤短.2.例5中运用了二次根式的基本性质,颂=五而（a0,b0和关系式a=（五）:（a0）进行二次根式的混合运算.例60匕 n+2+Jn，-4 n+2-Jn2-4计算-T=+-r=n+2-vn2-4 n+2+Jn2-4分析：如果把两个式子通分，或把每一个式子的分母有理化再进行计算，这 两种方法的运算量都较大，根据式子的结构特点，分别把两个式子的分母看作一 个整体，用换元法把式子变形，就可以使运算变为简捷.解设a=n+2+Jn。-4,b=n+2-Vn2-4,那么a+b=2(n+2),ab=(n+2)2-(n2-4)=4(n+2),所以原式=a b a2+b2-T=-b a ab(a+b)，-2ab_(a+b)，ab ab-2=4(n+2)2 4(n+2)-2三、课堂练习1.选择题：(l)7(a-2)2=2-a,a的取值范围是 A.a2 B.aN2C.aW2 D.a2(2)x.2时，J(x+2)a等于 A.x+2 B.-x-2C.-x+2 D.x-2(3)化简7(x-a)2+J(x+a/(Ox a)等于 A.2x B.2aC.-2x D.-2a(4)把根号外面的因式移入根号内，m栏=A.o/rn B.正 mC-m D-Jm(5)若0 x0,b0)=5(6)若a0,b0,则瓦叱=；(7)若|x-5|+j 2x+y+6=0,则3x+y-l=；若lx 0,a0)=Vm-n-3.求右万j n+2001a的值.4.计算:5 72+273 3-J3 4-272目+司+（二+|5.设：.上了，产匕与老，求（?+印的值.四、小结1.本节课复习的五个基本问题是“二次根式”这一章的主要基础知识，同学 们要深刻理解并牢固掌握.2.在一次根式的化简、计算及求值的过程中，应注意利用题中的使二次根式 有意义的条件（或题中的隐含条件），即被开方数为非负数，以确定被开方数中的 字母或式子的取值范围.3.运用二次根式的四个基本性质进行二次根式的运算时，一定要注意论述每 一个性质中字母的取值范围的条件.4.通过例题的讨论，要学会综合、灵活运用二次根式的意义、基本性质和法 则以及有关多项式的因式分解，解答有关含二次根式的式子的化简、计算及求值 等问题.五、作业1.X是什么值时，下列各式在实数范围内有意义？下事；V2x-1 J1-2xJE汽&胸 区(by).2.把下列各式化成最简二次根式：(1)再；J3a2b；唇；(4)产三飙力.第二十三章旋转单元要点分析教学内容1.主要内容：图形的旋转及其有关概念：包括旋转、旋转中心、旋转角.图形旋转的有关性质：对 应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角，旋转前、后 的图形全等.通过不同形式的旋转，设计图案.中心对称及其有关概念：中心对称、对称 中心、关于中心的对称点；关于中心对称的两个图形.中心对称的性质：对称点所连线段 都经过对称中心，而且被对称中心所平分；关于中心对称的两个图形是全等图形.中心对 称图形：概念及性质：包括中心对称图形、对称中心.关于原点对称的点的坐标：两个点 关于原点对称时，它们的坐标符号都相反，即点p（X,y）关于原点的对称点为P，（-X,-y）.课题学习.图案设计.2.本单元在教材中的地位与作用：学生通过平移、平面直角坐标系，轴对称、反比例函数、四边形等知识的学习，初步 积累了一定的图形变换数学活动经验.本章在此基础上，让学生进行观察、分析、画图、简单图案的欣赏与设计等操作性活动形成图形旋转概念.它又对今后继续学习数学，尤其 是几何，包括圆等内容的学习起着桥梁铺垫之作用.教学目标1.知识与技能了解图形的旋转的有关概念并理解它的基本性质.了解中心对称的概念并理解它的基本性质.了解中心对称图形的概念；掌握关于原点对称的两点的关系并应用；再通过几何操作 题的练习，掌握课题学习中图案设计的方法.2.过程与方法（1）让学生感受生活中的几何，通过不同的情景设计归纳出图形旋转的有关概念，并用这些概念来解决一些问题.（2）通过复习图形旋转的有关概念从中归纳出“对应点到旋转中心的距离相等，对 应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角，旋转前后的图形全等”等重要性质，并运用 它解决一些实际问题.（3）经历复习图形的旋转的有关概念和性质，分析不同的旋转中心，不同的旋转角，出现不同的效果并对各种情况进行分类.（4）复习对称轴和轴对称图形的有关概念，通过知识迁移讲授中心对称图形和对称 中心的有关内容，并附加练习巩固这个内容.（5）通过几何操作题，探究猜测发现规律，并给予证明，附加例题进一步巩