黄雅兰教案东莞一中.doc

课题：§1．2．1 任意角的三角函数
教材：《普通高中课程标准-数学必修④》（人教版）
授课教师：黄雅兰
一、教学目标：
1、知识与技能目标：
①全面理解并掌握任意角的三角函数的定义.②掌握三角函数值的符号的判定方法.
2、过程与方法目标：
①数形结合的方法.②由特殊到一般、再由一般到特殊的方法。
3、情感与价值观目标：
①通过初中的锐角三角函数的定义拓展到高中任意角的三角函数的定义，培养学生用发展的眼光看待问题、分析问题.②培养学生独立思考，交流合作，勇于创新的精神.
二、教学重点与难点：
重点：任意角的三角函数的定义
难点：①用单位圆上点的坐标刻画三角函数.②锐角的三角函数值推广到任意角，内容上是一个飞跃，导致了学生思维上难以逾越.
三、教学方法与手段：
本节课以 “教师主导、学生主体”为原则，采用“体验、探究”的教学方法，围绕学习目标设置了一系列符合学生认知规律的问题情景，辅助动画演示，拓展思维空间，力求全体学生主动思考，体会定义产生、发展的过程，获取知识、培养能力。
四、教学过程：
引入初中锐角三角函数的定义
在直角坐标系表示锐角三角函数
用单位圆定义锐角三角函数
定义任意角的三角函数
探究：①定义域 ②函数值的符号
例题与练习
回顾小结
锐角三角函数的定义

（一）复习引入-锐角的三角函数：
前一节课，我们把锐角推广到了任意角，学习了角度制和弧度制，这节课该研究什么呢？探索任意角的三角函数（板书课题），
活动1：我们在初中通过锐角三角形的边角关系，学习了锐角的正弦、余弦、正切等三个三角函数. 请回想：这三个三角函数分别是怎样规定的？
学生口述后再投影展示，教师再根据投影进行强调：
对
边
邻边
α

sinα=，cosα=，tanα=
（图1）

设计意图：复习初中所学习过的锐角三角函数，初中学习的三角函数定义是直角三角形中线段长度的比值。加深对锐角三角函数概念的理解，它是学习任意角三角函数的基础．
活动2：如果将锐角置于平面直角坐标系中，如何用直角坐标系中角的终边上的点的坐标表示锐角三角函数呢？请同学们用直角坐标系重新研究锐角三角函数定义！
（学生口述，教师板书图形和比值）：把锐角的顶点与原点重合，角的始边与x轴非负半轴重合，终边落在第一象限，在角终边上任取一点P，作PM⊥x轴于M，构造一个RtΔOMP，则∠ MOP=（锐角），设P（x,y）（x＞0、y＞0），的邻边OM =x、对边MP=y，斜边长|OP∣=r.
根据锐角三角函数定义用x、y、r列出锐角的正弦、余弦、正切三个比值，并补充对应列出三个比值：
O
M
P

x
O
·
M
P(x,y)
y
sinα==，cosα==，tanα==

（图2）

设计意图：初中以直角三角形边角关系来定义锐角三角函数，现在要用坐标系来研究，探索的结论既要满足任意角的情形，又要包容初中锐角三角函数定义. 这是理解任意角三角函数概念的关键之一，能够形成迁移能力。
活动3：三角函数值是否会随P点的移动而变化？当锐角大小发生变化时，比值会改变吗？
x
O
·
M
P
y
（图3）
P′
M′
α

联系相似三角形知识，探索发现：当P点在角的终边上运动时，3个比值都是确定的，不会随P的移动而变化.
再用几何画板动画演示，保持r不变，让P绕原点O旋转，即在锐角范围内变化，3个比值随之变化的直观形象。结论是：比值随的变化而变化.
得出结论(强调)：当为锐角时，3个三角函数随的变化而变化；但对于锐角α的每一个确定值，正弦、余弦以及正切值都是确定的，不会随P在终边上的移动而变化. 所以，正弦、余弦以及正切函数分别是以角为自变量、以比值为函数值的函数.
设计意图：通过上述探究，得到三角比值只与角的位置有关，符合函数定义.引导学生，推测出第一象限角的三角比值都可以用角终边上的点的坐标来表示，为推出其他象限，甚至任意角的三角比值都可用点的坐标来表示做铺垫.
活动4：当为锐角时，点P在哪个位置，比值会更简洁？
教师引导学生进行对比，学生通过对比发现：取到原点的距离为1的点可以使表达式简化（即分母变为1时为最简）。此时:、、
指出sinα＝y的函数依旧表示一个比值，分母为1而已。
设计意图： 体现简约思想，引入单位圆。深化对单位圆作用的认识，用数学的简洁美引导学生进行研究，为定义的拓展奠定基础。（在直角坐标系中，以原点为圆心，以单位长度1为半径的圆称为单位圆）
（二）分析归纳-任意角的三角函数：
活动5：锐角的三角比值可以用单位圆上点的坐标来表示，能否推广到任意角？
先让学生自己思考，角的终边落在第一、二、三、四象限时，
P(x,y)
y
x
O
y
x
P(x,y)
O
角α终边
P(x,y)
y
x
O
P(x,y)
y
x
O

A(1,0)
A(1,0)
A(1,0)
A(1,0)

·

P(0,-1)
P(1,0)
y
x
O

P(0,1)
y
x
O

P(-1,0)

写出三角函数为:，，

任意角是否有遗漏？

当点P为（0，1）时，无意义
当点P为（0，-1）时，无意义
当点P为（1，0）时，
当点P为（-1，0）时，
互动设计：请同学分小组分别写出角α的终边位于第二、三、四象限和x轴、y轴上时的三角函数。
怎样刻画任意角的三角函数呢？（板书）设是一个任意角，终边与单位圆交于点，那么：、、（）（特别的，时，，比值无意义）思考：大小发生变化时，比值会改变吗？
先让学生思考，作出判断，再用几何画板动画演示，同时作好解释说明：使r保持不变，P绕原点O逆时针、顺时针旋转即角变化，3个比值随之改变的直观形象。结论是：各比值随的变化而变化. 且随着的确定，3个比值也唯一确定。
设计意图：大部分学生会只考虑其余三个象限，而把四个半轴的情况遗漏，这里引导学生完善任意角的概念，培养学生全面分析问题的能力. 进而为后续的三角函数定义域做准备。通过几何画板动画演示，深化理解三角函数内涵.
活动6：我们能否把分别叫做任意角的正弦、余弦、正切“函数”？函数概念的三要素是什么？
先由学生回想函数定义及函数三要素 (定义域、对应法则、值域)
自变量:由于角的集合和实数集之间可以建立一一对应的关系，因此，三角函数可以看成是以实数为自变量的函数。对应法则:如正弦函数,对α的每一个确定的值，有唯一确定的坐标值与之对应，即：→.
综上（强调），3个比值分别是以角为自变量、以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，统称为三角函数。
教师说明：不是与的乘积，是一个整体,相当于函数记号.
设计意图：对任意角的正弦、余弦、正切的定义是否符合函数的定义，这是本小节的核心问题.引导学生将三角比值的定义与函数的定义对照，在学生深刻的体会到数学定义的产生过程.函数概念与三角函数概念是一般与特殊的关系。（三）探索新知-三角函数的定义域、符号判断
活动7：三角函数的定义域是什么？填写下表：
三角函数
sinα
cosα
tanα
定义域

活动8：思考：根据定义，任意角三角函数值的符号如何判断？
①正弦值对于第一、二象限为正（），对于第三、四象限为负（）；
②余弦值对于第一、四象限为正（），对于第二、三象限为负（）；
③正切值对于第一、三象限为正（同号），对于第二、四象限为负（异号）．
说明：若终边落在轴线上，则可用定义求出三角函数值。
－
y
－
＋
＋
x
－
y
＋
－
＋
x
＋
y
－
－
＋
x

引导学生分析,三角函数值的符号决定于x、y值的正负，根据终边所在位置总结出形象的识记口诀：一全正，二正弦，三正切，四余弦
设计意图：引导学生抓住定义、数形结合判断和记忆三角函数值的正负符号。
（四）例题讲解-练习巩固
例1：已知角，求的正弦、余弦和正切值。
设计意图：巩固对定义的理解。先利用锐角三角函数知识求出点P的坐标，再根据定义求解。
解：如图5，可知在RTΔOPC中，∠OPC=30０，所以OC=，CP=，所以点P的坐标是
根据定义可得：
课堂练习1.（P15练习1）利用三角函数的定义求的三个三角函数值。
例2：已知角终边上的一点，求角的正弦、余弦及正切值。

设计意图：通过问题的转化，进一步加深对定义的理解。通过相似求出角α的终边与单位圆的交点坐标，之后再根据定义求解。

解：如图，由已知可得： |OP0|=
设角α的终边与单位圆交于点P（x，y）,
分别过点P和P0作x轴的垂线MP，M 0P0，则

又|OP|=1，根据∽，可得，即，
所以，
课堂练习2.（P15练习2）已知角终边过点，求角的正弦、余弦及正切值。
思考：计算什么，需要准备什么？模仿例2，巩固定义。
变式引申：已知角α的终边经过点，求α的三个三角函数值.
设计意图：解答中需要对变量的正负即角所在象限进行讨论，让学生意识到三角函数值的正负与角所在的象限有关，从而复习三角函数的符号判断方法。
（五）回顾再现
1．任意角的三角函数怎样计算？
2．正弦、余弦、正切函数的定义域是怎样的？
3．如何记忆正弦、余弦、正切函数值的符号？
4．你想过吗，这三个函数存在什么联系？
设计意图：通过回顾再现，使生成的知识及时得以总结识记.及时建构和优化知识网络.引导学生勤于思考.
（六）课外作业
1.P15练习3，5，6；习题1.2A组2。
2.课后查阅有关三角函数的背景知识，了解大数学家欧拉对于三角函数研究所做的贡献。
（设计意图：巩固和应用定义,培养学生类比、对比解决问题能力，同时增强数学史方面的知识）
附：教案设计说明
新教材的教学理念之一是让学生去体验新知识的发生过程，这节《任意角三角函数》的教案，主要围绕这一点来设计。
首先，角的概念推广了，那么锐角三角函数的定义是否也该推广到任意角的三角函数的定义呢？通过这个问题，让学生体会到新知识的发生是可能的，自然的。
其次，到底应该怎样合理定义任意角的三角函数呢？让学生提出自己的想法，同时让学生去辨证这个想法是否科学的？因为一个概念是严谨的，科学的，必须论证它的合理性，至少这种概念不能和锐角三角函数的定义有所冲突。在这个立－破的过程中，让学生去体验一个新的数学概念可能是如何形成的,这样也有助于学生对任意角三角函数概念的理解。
再次，让学生充分体会在任意角三角函数定义的推广中，是如何将直角三角形这个“形”的问题，转换到直角坐标系下点的坐标这个“数”的过程的。培养数形结合的思想。