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图形的分割与组合
图形的分割与组合是几何学中一个非常有趣味的课题，研究图形的分割与组合问题不仅可以增强几何图形的直观感觉和判断能力，丰富对图形的想象力，提高数学的思维能力，而且还有一定的实用价值，对工厂里的下料、工艺美术的图案设计都有一定的用处．
例1 将图12—1所示的图形分成两块，然后拼成一个正方形．
分析：如果我们假设每个小正方形的边长是1个单位，要拼成的正方形的面积为16，所以边长为4．而这个缺角的长方形的长为6，宽为3，切分后将右边向左平移2个单位，再向上平移1个单位，作切分时应注意到缺角的特点．

解：沿图12—2中的粗线将原图分割开，把右块推至左块之上，拼成一个边长为4的正方形，如图12—3．
例2 将图12—4中的图形分成四个形状相同，大小相等的四个部分，然后拼成一个正方形．
分析：先考虑面积，因为S型图案由16个大小一样的小正方形组成，所以拼成的正方形每边正好是4个小正方形．把图12—4分成大小相等的四个部分，每部分的面积都是4个小正方形．

　　再考虑形状．如果能将图12—4先分成两个面积相等、形状相同的图形，然后再将其中的一个再分成两个面积相等、形状相同的图形,那么达到目的了．

　　将图12—4先分成两个面积相等、形状相同的图形比较容易．只要沿图12—4中间的那条横线的中间剪开即可，见图12—5．现在再将图12—5分成两个面积相等、形状相同的图形，按图12—5粗线剪开即可．

解：按图12—6将它分成形状和面积都相同的四个部分，再按图12—7拼成一个正方形．

例3 有一块长6米、宽3米的长方形地毯，现要把它放到长4.5米、宽4米的房间中，能否将它剪成形状相同，大小相等的两块，使其正好铺满房间．

分析：因为原地毯的长比要拼成的长方形的长多1.5米，宽少1米，所以我们将原地毯分成长1.5米、宽1米的小长方形，如图12—8．这样分成12个小长方形．因为新的长方形的长为4.5米、宽4米，长应减少一个小长方形，宽应增

　　加一个小长方形．可以沿对角线的方向把它剪成呈阶梯状的两块，并使它们的形状和大小完全相同，如图12—9，然后把它们错位对齐，这样拼成了一个新的长方形，如图12—10．

解：按图12—9中的粗线将长方形分成两块，然后错位对齐，即可拼成新的长方形，见图12—10．
例4 图12—11是一块正中间开有长方形孔的长方形木板，尺寸如图所示（单位：厘米）．把它锯成两块，拼成一个面积为100平方厘米的桌面，如何切分．
分析：切分前木板面积为120×90-80×10=10000（平方厘米），与拼成后的正方形面积相等．拼成的正方形的边长为100厘米．由于大长方形的长比正中间的长方形的长的左右分别长20厘米，正中间的长方形的宽为10厘米，因此先将图12—11分成20×10的小长方形，如图12—12．因为拼成的正方形的边长为100厘米，将原大长方形的长去掉一个

　　小长方形的长，宽增加一个小长方形的宽，采用阶梯形分法，分到中间缺损地方时，要考虑到两块的形状必须相同，如图12—12中的粗线切分，最后拼成一个正方形，如图12—13．
解：按图12—12中的粗线分成两块，然后错位对齐，即可拼成新的正方形，如图12—13．
例5 将图12—14分成大小、形状相同的四块，每块带黑子和白子各一个．

分析：一个正方形分成四块，根据对称性，一般是从中心点分开的．图中有相同的符号挨在一起必须分开，因此可以先在它们中间画上切分线，并将这些切分线绕中心点旋转90°、180°和270°，得到另外三段切分线，如图12—15．按照上述方法，可以画出所有这样的切分线，如图12—16．

　　中间的四个小方格必然分属于四小块，不可能两格同属于一块，因此也要分开，由于这个正方形的面积是6×6=36个面积单位，因此切分后的每一块的面积为9个面积单位，即由9个小方格组成，不能断开．在图12—16的基础上，从最里层开始，沿着切分线，根据题目要求，就得到答案．

解：按图12—17中的粗线将正方形分成了大小、形状相同的四块，且每块带黑子和白子各一个．

图形的分割与组合<练习题>
1．将图12—18分成两块拼成一个正方形．

　　2．将图形12—19分成四个形状、大小相同的图形，然后拼成一个正方形．

　　3．将一块长6米、宽3.5米的长方形剪成形状相同、面积相等的两块，拼成一个长为5米、宽为4.2米的新的长方形．
　　4．有一个长100厘米、宽70厘米的长方形桌面，中间损坏了一块．现在想在中间挖去一个长60厘米，宽10厘米的小长方形，如图12—20，然后把它分成两块，拼成一个正方形桌子，应怎么切拼？

　　5．将图12—21所示的正方形分成两块，使得这两块的形状和大小都相同，并且每一块中只含有A、B、C、D、E五个字母．

　　6．如图12—22，有两个正方形．请把每一个正方形分成两块，两个正方形共分成四块，使这四块的形状和大小都相同，并且每一块中都有1、2、3、4四个数字．

答案仅供参考：
  1．切拼方法如图12—1’．

　　2．因为小方格的个数是36个，所以拼成的一个正方形的边长为6个小方格，将图12-19分成四个形状、大小相同的图形，只需将图12-19从图的对称中心切开即可，如图12-2’，然后按照图12-3’拼成一个正方形．

　　3．因为新长方形的长比原长方形的长少1米，宽多0.7米，因此将原长方形分成长为1米，宽为0.7米的小长方形，如图12-4’，按阶梯形分法分成相同的两块，然后错位对齐，即可拼成一个新的长方形，如图12-5’．
　　4．因为拼成的正方形的桌面的面积为：
　　100×70-60×10=6400（平方厘米）
　　所以正方形的桌子的边长为80厘米．

　　原长方形的长减少20厘米，宽增加10厘米．将原长方形分成长为20厘米，宽为10厘米的小长方形，利用阶梯形分法，分到中间缺损地方时，要考虑到两块的形状必须相同，按如图12-6’中的粗线切分，最后拼成一个正方形，如图12-7’

　　5．图中有相同的字母挨在一起时，要从它们之间切开，因此先在它们之间画上切分线，然后将这些切分线绕中心点旋转180°，得到一些切分线，根据切分线进行切分，分成形状、大小相同的两块，每块有18个小方格．本题有两种切法，如图12-8’（1）、（2）．
　　6．把两个正方形叠在一起考虑．为了便于区别，将其中一组数字1、2、3、4改写为A、B、C、D，如图12-9’，为

　　了使相同的数字不在同一块，可以先在它们之间画切分线，然后绕中心180°又可以找到一些切分线，根据这些切线将它分割成大小、形状相同的两部分，这两个正方形切分方法如图12-10’（1）、（2）．