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初三数学巧解代数问题
三角变换在数学中属于工具性的内容，通过三角代换把代数问题转化为三角问题，不仅可使题中各量之间的关系变得直接明了、结构特征显现，而且代数中原来繁琐、复杂的运算变成了简单、灵活多变的三角运算，因此在解代数问题时，要关于捕捉已知条件或结论中体现出的三角函数的各种信息，选取适当的三角代换，从而将代数问题转化为三角问题。
1. 捕捉“”的信息
例1. 解不等式。
分析：由于
于是令，则原不等式化为，所以：
两边平方并整理得
15<0，解得。由可得，，故原不等式的解集是。
例2. 给定正整数n和正数m，对于满足条件的所有等差数列的最大值。
分析：由，则由于是

其中。
当且仅当=1，
且时等式成立。
这时时，

2. 捕捉“”的信息
例3. 设，求证：
分析：由于，可设且，则

例4. 已知a、b为非负数，且求证=1.
分析：故可设，，由已知条件可得，
即

3. 捕捉“”的信息
例5. 数列满足，求证是单调数列。
分析：由于与余弦函数的半角公式的结构完全一致，
故可设
，
所以=，

即。故数列是单调数列。
4. 捕捉“”的信息
例6. 解不等式
分析：考虑到关键是去根号，联想到公式，
设，，
则原不等式可化为
即
解得，
原不等式的解为。
5. 捕捉“”的信息
例7. 数列，求。
分析：由联想到
，
由此可令

证明略。故所求通项公式为

6. 捕捉“”的信息
例8. 解方程组且。
分析：若把原式变形为则可发现它与正切函数的倍角公式结构一致，因此可令

因为，.
于是原方程组的解为

例9. 求的值域。
分析：将的表达式裂项变形得，

由此联想到万能公式，由令

当。
故的值域是
7. 捕捉“”的信息
例10. 已知求证：

分析：由等式的结构联想到△ABC中有。由此可设，则

由于

原式成立。

8. 捕捉“”的信息
例11. 已知的取值范围。
分析：由已知条件联想到公式，
即
由此可令，则